Unipotent - Unipotent

I matematik er et unipotent element r i en ring R sådan, at r  - 1 er et nilpotent element ; med andre ord, ( r  - 1) ⁿ er nul for nogle n .

Især en firkantmatrix , M , er en unipotent matrix , hvis og kun hvis dens karakteristiske polynom , P ( t ), er en effekt på t  - 1. Således er alle egenværdierne for en unipotent matrix 1.

Udtrykket kvasi-unipotent betyder, at en vis magt er unipotent, for eksempel for en diagonaliserbar matrix med egenværdier , der alle er rødder til enhed .

I en unipotent affin algebraisk gruppe er alle elementer unipotente (se nedenfor for definitionen af ​​et element, der er unipotent i en sådan gruppe).

Definition

Definition med matricer

Overvej gruppen af øverste trekantede matricer med 's langs diagonalen, så de er gruppen af ​​matricer${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} 1 &*& \ cdots &*&*\\ 0 & 1 & \ cdots &*&*\\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 &*\\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}} | \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

derefter kan en unipotent gruppe defineres som en undergruppe af nogle . Ved hjælp af skemateori kan gruppen defineres som gruppeskemaet${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [x_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {nn}, {\ frac {1} { \ tekst {det}}} \ højre]} {(x_ {ii} = 1, x_ {i> j} = 0)}} \ højre)}$

og en affin -gruppeskema er unipotent, hvis det er en lukket gruppeskema for denne ordning.

Definition med ringteori

Et element, x , i en affin algebraisk gruppe er unipotent, når dets tilknyttede højre oversættelsesoperator, r _x , på affin koordinatringen A [ G ] i G er lokalt unipotent som et element i ringen af ​​lineær endomorfisme af A [ G ] . (Lokalt unipotent betyder, at dets begrænsning til ethvert endelig-dimensionelt stabilt underrum af A [ G ] er unipotent i den sædvanlige ringforstand.)

En affin algebraisk gruppe kaldes unipotent, hvis alle dens elementer er unipotente. Enhver unipotent algebraisk gruppe er isomorf i forhold til en lukket undergruppe af gruppen af ​​øvre trekantede matricer med diagonale poster 1, og omvendt er enhver sådan undergruppe unipotent. Især enhver unipotent gruppe er en nilpotent gruppe , selvom det modsatte ikke er sandt (modeksempel: de diagonale matricer i GL _n ( k )).

For eksempel har standardrepræsentationen af on with standard basis den faste vektor . ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle k^{n}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {1}}$

Definition med repræsentationsteori

Hvis en unipotent gruppe virker på en affin sort, lukkes alle dens baner, og hvis den virker lineært på et endeligt dimensionelt vektorrum, har den en ikke-nul fast vektor. Faktisk kendetegner sidstnævnte ejendom unipotente grupper. Dette indebærer især, at der ikke er nogen ikke-trivielle halvenkelige fremstillinger .

Eksempler

U _n

Gruppen af ​​matricer er selvfølgelig enmagtig. Brug af Lower Central Series${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ mathbb {U} _ {n}^{(0)} \ supset \ mathbb {U} _ {n}^{(1)} \ supset \ mathbb { U} _ {n}^{(2)} \ supset \ cdots \ supset \ mathbb {U} _ {n}^{(m)} = e}$

hvor

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}^{(1)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}]}$ og ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}^{(2)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}^{(1)}]}$

der er tilknyttede unipotente grupper. For eksempel, den centrale serie er matrixgrupperne${\ displaystyle n = 4}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} = \ venstre \ {{\ begin {bmatrix} 1 &*&*&*\\ 0 & 1 &*&*\\ 0 & 0 & 1 &*\\ 0 & 0 & 0 & 1 & slut {bmatrix}} \ højre \}}$, , , Og${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(1)} = \ venstre \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 &*&*\\ 0 & 1 & 0 &*\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ slut {bmatrix}} \ ret\}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(2)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 &*\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ right \} }$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(3)} = \ venstre \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ slut {bmatrix}} \ højre \}}$

givet nogle inducerede eksempler på unipotente grupper.

G _a ⁿ

Den additive gruppe er en unipotent gruppe gennem indlejringen${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ displaystyle a \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Bemærk, at matrixmultiplikationen giver

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

derfor er dette en indlejring af en gruppe. Mere generelt er der en indlejring fra kortet${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}^{n} \ to \ mathbb {U} _ {n+1}}$

${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a_ {1} & a_ {2} & \ cdots & a_ {n-1} & a_ {n} \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Ved hjælp af skemateori er givet af funktoren${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}}: {\ text {Sch}}^{op} \ to {\ text {Sets}}}$

hvor

${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (X)}$

Kernen af ​​Frobenius

Overvej funktoren på underkategorien , der er subfunktoren, hvor${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle {\ text {Sch}}/\ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {p} (X) = \ {x \ i {\ mathcal {O}} (X): x^{p} = 0 \}}$

så det er givet af kernen i Frobenius endomorfisme .

Klassificering af unipotente grupper over karakteristisk 0

Over karakteristisk er der en pæn klassificering af unipotente algebraiske grupper med hensyn til nilpotent lie algebras . Husk, at en nilpotent lie algebra er en subalgebra af nogle, så den itererede tilstødende handling til sidst ender til nulkortet. Med hensyn til matricer betyder det, at det er en subalgebra af , matricerne med for . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$${\ displaystyle i \ leq j}$

Derefter er der en ækvivalens af kategorier af endelig-dimensionelle nilpotente Lie-algebraer og unipotente algebraiske grupper ^{side 261} . Dette kan konstrueres ved hjælp af Baker – Campbell – Hausdorff-serien , hvor kortet får en endelig-dimensionel nilpotent Lie-algebra, kortet${\ displaystyle H (X, Y)}$

${\ displaystyle H: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ til {\ mathfrak {g}} {\ tekst {hvor}} (X, Y) \ mapsto H (X, Y) }$

giver en Unipotent algebraisk gruppestruktur på . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

I den anden retning tager det eksponentielle kort enhver nilpotent kvadratmatrix til en unipotent matrix. Desuden, hvis U er en kommutativ unipotent gruppe, fremkalder det eksponentielle kort en isomorfisme fra Lie -algebraen til U til U selv.

Bemærkninger

Unipotente grupper over et algebraisk lukket felt af en given dimension kan i princippet klassificeres, men i praksis øges klassificeringens kompleksitet meget hurtigt med dimensionen, så folk har en tendens til at give op et sted omkring dimension 6.

Unipotent radikal

Den unipotente gruppe af en algebraisk gruppe G er mængden af unipotente elementer i gruppe af G . Det er en forbundet unipotent normal undergruppe af G og indeholder alle andre sådanne undergrupper. En gruppe kaldes reduktiv, hvis dens unipotente radikal er triviel. Hvis G er reduktiv, er dens radikal en torus.

Nedbrydning af algebraiske grupper

Algebraiske grupper kan opdeles i unipotente grupper, multiplikative grupper og abelske sorter, men udsagnet om, hvordan de nedbrydes, afhænger af karakteristikken af ​​deres basisfelt.

Karakteristisk 0

Over karakteristisk er der en flot nedbrydningssætning af en algebraisk gruppe, der relaterer dens struktur til strukturen i en lineær algebraisk gruppe og en abelsk variant . Der er en kort nøjagtig sekvens af grupper ^{side 8}${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle 0 \ til M \ gange U \ til G \ til A \ til 0}$

hvor er en abelsk sort, er af multiplikativ type, betydning og er en enmægtig gruppe. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$

Karakteristisk s

Når egenskaberne ved basisfeltet er der, er der en analog sætning for en algebraisk gruppe : der findes en mindste undergruppe, således at ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

1. ${\ displaystyle G/H}$ er en enmægtig gruppe
2. ${\ displaystyle H}$er en udvidelse af en abelsk sort med en gruppe af multiplikativ type.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$
3. ${\ displaystyle M}$er unik op til Commensurability i og er unik op til Isogeny .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$

Jordens nedbrydning

Ethvert element g af en lineær algebraisk gruppe over en perfekt felt kan skrives entydigt som produktet g = g _u g _s pendling unipotente og semisimple elementer g _u og g _r . I tilfælde af gruppen GL _n ( C ) siger dette i det væsentlige, at enhver inverterbar kompleks matrix er konjugeret til produktet af en diagonal matrix og en øvre trekantet, som (mere eller mindre) er den multiplikative version af Jordan - Chevalley nedbrydning .

Der er også en version af Jordans dekomponering for grupper: enhver kommutativ lineær algebraisk gruppe over et perfekt felt er produktet af en unipotent gruppe og en semi -simpel gruppe.

Se også

• Reduktiv gruppe
• Enmægtig repræsentation
• Deligne -Lusztig teori

Referencer

• A. Borel, Lineære algebraiske grupper , ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi : 10.2307/1969949 , JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], "unipotent element" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "unipotent group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "unipotent matrix" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press