unipotente - Unipotent

In matematica , un elemento unipotente r di un anello R è tale che r  −1 è un elemento nilpotente ; in altre parole, ( r  − 1) ⁿ è zero per qualche n .

In particolare, una matrice quadrata , M , è una matrice unipotente , se e solo se il suo polinomio caratteristico , P ( t ), è una potenza di t  − 1. Quindi tutti gli autovalori di una matrice unipotente sono 1.

Il termine quasi unipotente significa che una certa potenza è unipotente, ad esempio per una matrice diagonalizzabile con autovalori che sono tutte radici dell'unità .

In un gruppo algebrico affine unipotente , tutti gli elementi sono unipotenti (vedi sotto per la definizione di un elemento che è unipotente in un tale gruppo).

Definizione

Definizione con matrici

Considera il gruppo di matrici triangolari superiori con 's lungo la diagonale, quindi sono il gruppo di matrici${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{A={\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}|\det(A)\neq 0\right\}}$

quindi, un gruppo unipotente può essere definito come un sottogruppo di alcuni . Usando la teoria dello schema il gruppo può essere definito come lo schema di gruppo${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{ \text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

e uno schema di gruppo affine è unipotente se è uno schema di gruppo chiuso di questo schema.

Definizione con la teoria degli anelli

Un elemento, x , di un gruppo algebrico affine è unipotente quando il suo operatore di traslazione destro associato, r _x , sull'anello di coordinate affine A [ G ] di G è localmente unipotente come elemento dell'anello di endomorfismo lineare di A [ G ] . (Localmente unipotente significa che la sua restrizione a qualsiasi sottospazio stabile a dimensione finita di A [ G ] è unipotente nel consueto senso dell'anello.)

Un gruppo algebrico affine si dice unipotente se tutti i suoi elementi sono unipotenti. Qualsiasi gruppo algebrico unipotente è isomorfo a un sottogruppo chiuso del gruppo di matrici triangolari superiori con entrate diagonali 1, e viceversa tale sottogruppo è unipotente. In particolare ogni gruppo unipotente è un gruppo nilpotente , sebbene non sia vero il contrario (controesempio: le matrici diagonali di GL _n ( k )).

Ad esempio, la rappresentazione standard di on con base standard ha il vettore fisso . ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{1}}$

Definizione con teoria della rappresentazione

Se un gruppo unipotente agisce su una varietà affine, tutte le sue orbite sono chiuse, e se agisce linearmente su uno spazio vettoriale a dimensione finita, allora ha un vettore fisso diverso da zero. Infatti, quest'ultima proprietà caratterizza i gruppi unipotenti. In particolare, ciò implica che non esistono rappresentazioni semisemplici non banali .

Esempi

Un _n

Ovviamente il gruppo delle matrici è unipotente. Utilizzo della serie centrale inferiore${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb { U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

dove

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$ e ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

ci sono gruppi unipotenti associati. Ad esempio, su , le serie centrali sono i gruppi di matrici${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right \}}$, , , e${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\ Giusto\}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\} }$${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

dato alcuni esempi indotti di gruppi unipotenti.

G _un ⁿ

Il gruppo additivo è un gruppo unipotente attraverso l'incorporamento${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Notare che la moltiplicazione matriciale dà

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1 \end{bmatrice}}}$

quindi questo è un incorporamento di gruppo. Più in generale, c'è un inserimento dalla mappa${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\ cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Utilizzando la teoria dello schema, è dato dal funtore${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\text{Sch}}^{op}\to {\text{Sets}}}$

dove

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Nocciolo del Frobenius

Considera il funtore sulla sottocategoria , c'è il sottofuntore dove${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

quindi è dato dal nucleo dell'endomorfismo di Frobenius .

Classificazione dei gruppi unipotenti sulla caratteristica 0

Sopra caratteristica c'è una bella classificazione dei gruppi algebrici unipotenti rispetto alle algebre di lie nilpotenti . Ricordiamo che un'algebra di lie nilpotente è una sottoalgebra di alcuni tale che l'azione aggiunta iterata alla fine termina con la zero-map. In termini di matrici, ciò significa che è una sottoalgebra di , le matrici con for . ${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\leq j}$

Quindi, c'è un'equivalenza di categorie di algebre di Lie nilpotenti di dimensione finita e gruppi algebrici unipotenti ^{pagina 261} . Questo può essere costruito usando la serie Baker-Campbell-Hausdorff , dove data un'algebra di Lie nilpotente a dimensione finita, la mappa${\displaystyle H(X,Y)}$

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ dove }}(X,Y)\mapsto H(X,Y) }$

dà una struttura di gruppo algebrico Unipotente su . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Nell'altra direzione la mappa esponenziale porta qualsiasi matrice quadrata nilpotente in una matrice unipotente. Inoltre, se U è un gruppo unipotente commutativo, la mappa esponenziale induce un isomorfismo dall'algebra di Lie di U a U stesso.

Osservazioni

I gruppi unipotenti su un campo algebricamente chiuso di qualsiasi dimensione possono in linea di principio essere classificati, ma in pratica la complessità della classificazione aumenta molto rapidamente con la dimensione, quindi le persone tendono a rinunciare da qualche parte intorno alla dimensione 6.

Radicale unipotente

Il radicale unipotente di un gruppo algebrico G è l'insieme degli elementi unipotenti nel radicale di G . È un sottogruppo normale unipotente connesso di G e contiene tutti gli altri sottogruppi simili. Un gruppo si dice riduttivo se il suo radicale unipotente è banale. Se G è riduttivo allora il suo radicale è un toro.

Scomposizione di gruppi algebrici

I gruppi algebrici possono essere scomposti in gruppi unipotenti, gruppi moltiplicativi e varietà abeliane, ma l'affermazione di come si decompongono dipende dalle caratteristiche del loro campo base.

Caratteristica 0

Sopra caratteristica c'è un bel teorema di scomposizione di un gruppo algebrico che mette in relazione la sua struttura con la struttura di un gruppo algebrico lineare e una varietà abeliana . C'è una breve sequenza esatta di gruppi ^{pagina 8}${\displaystyle 0}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

dove è una varietà abeliana, è di tipo moltiplicativo, significato, ed è un gruppo unipotente. ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$

Caratteristica p

Quando la caratteristica del campo base è c'è un'affermazione analoga per un gruppo algebrico : esiste un sottogruppo più piccolo tale che ${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

1. ${\displaystyle G/H}$ è un gruppo unipotente
2. ${\displaystyle H}$è un'estensione di una varietà abeliana da parte di un gruppo di tipo moltiplicativo.${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$
3. ${\displaystyle M}$è unico fino alla Commensurabilità in ed è unico fino all'Isogenia .${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

decomposizione della Giordania

Qualsiasi elemento g di un gruppo algebrico lineare su un campo perfetto può essere scritto in modo univoco come il prodotto g = g _u g _s di elementi unipotenti e semisemplici commutanti g _u e g _s . Nel caso del gruppo GL _n ( C ), questo dice essenzialmente che qualsiasi matrice complessa invertibile è coniugata al prodotto di una matrice diagonale e di una triangolare superiore, che è (più o meno) la versione moltiplicativa del metodo Jordan-Chevalley decomposizione .

Esiste anche una versione della decomposizione di Jordan per gruppi: qualsiasi gruppo algebrico lineare commutativo su un campo perfetto è il prodotto di un gruppo unipotente e un gruppo semisemplice.

Guarda anche

• Gruppo riduttivo
• Rappresentazione unipotente
• Teoria di Deligne-Lusztig

Riferimenti

• A. Borel, Gruppi algebrici lineari , ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi : 10.2307/1969949 , JSTOR  19699949
• Popov, VL (2001) [1994], "elemento unipotente" , Enciclopedia della matematica , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "gruppo unipotente" , Enciclopedia della matematica , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "matrice unipotente" , Enciclopedia della matematica , EMS Press