Unipotentní - Unipotent

V matematiky , je unipotentní prvek r z kruhu R je takové, že r  - 1 je nilpotentní prvek ; jinými slovy, ( r  - 1) ⁿ je nula pro některá n .

Zejména je čtvercová matice , M , je unipotentní matice , a to pouze v případě, jeho charakteristický polynom , P ( t ), je síla t  - 1. Tak všechny vlastní hodnoty unipotentní matice jsou 1.

Termín kvazi-unipotent znamená, že nějaká moc je unipotentní, například pro diagonalizovatelnou matici s vlastními hodnotami, které jsou kořeny jednoty .

V unipotentní afinní algebraické skupině jsou všechny prvky unipotentní (definice prvku, který je v takové skupině unipotentní, viz níže).

Definice

Definice pomocí matic

Zvažte skupinu horních trojúhelníkových matic s 's podél diagonály, takže jsou skupinou matic${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} 1 &*& \ cdots &*&*\\ 0 & 1 & \ cdots &*&*\\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 &*\\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}} | \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

pak může být unipotentní skupina definována jako podskupina některých . Pomocí teorie schémat lze skupinu definovat jako skupinové schéma${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [x_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {nn}, {\ frac {1} { \ text {det}}} \ right]} {(x_ {ii} = 1, x_ {i> j} = 0)}} \ right)}$

a schéma afinní skupiny je unipotentní, pokud se jedná o schéma uzavřené skupiny tohoto schématu.

Definice s prstencovou teorií

Prvek x afinní algebraické skupiny je unipotentní, když jeho přidružený pravý operátor translace, r _x , na afinním souřadnicovém kruhu A [ G ] z G je lokálně unipotentní jako prvek kruhu lineárního endomorfismu A [ G ] . (Lokálně unipotentní znamená, že jeho omezení na jakýkoli konečný rozměrný stabilní subprostor A [ G ] je unipotentní v obvyklém prstencovém smyslu.)

Afinní algebraická skupina se nazývá unipotentní, pokud jsou všechny její prvky unipotentní. Jakákoli unipotentní algebraická skupina je izomorfní vůči uzavřené podskupině skupiny horních trojúhelníkových matic s diagonálními vstupy 1 a naopak každá taková podskupina je unipotentní. Zejména jakákoli unipotentní skupina je nilpotentní skupina , ačkoli konverzace není pravdivá (protipříklad: diagonální matice GL _n ( k )).

Například standardní reprezentace na standardním základě má pevný vektor . ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle k^{n}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {1}}$

Definice s teorií reprezentace

Působí-li unipotentní skupina na afinní odrůdu, všechny její oběžné dráhy jsou uzavřeny, a pokud působí lineárně na vektorový prostor konečných rozměrů, pak má nenulový pevný vektor. Ve skutečnosti tato druhá vlastnost charakterizuje unipotentní skupiny. Zejména to znamená, že neexistují netriviální polořadovky .

Příklady

U _n

Skupina matric je samozřejmě unipotentní. Použití Lower Central Series${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ mathbb {U} _ {n}^{(0)} \ supset \ mathbb {U} _ {n}^{(1)} \ supset \ mathbb { U} _ {n}^{(2)} \ supset \ cdots \ supset \ mathbb {U} _ {n}^{(m)} = e}$

kde

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}^{(1)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}]}$ a ${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}^{(2)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}^{(1)}]}}$

existují přidružené unipotentní skupiny. Například na , centrální řady jsou maticové skupiny${\ displaystyle n = 4}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 &*&*&*\\ 0 & 1 &*&*\\ 0 & 0 & 1 &*\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$, , A${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(1)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 &*&*\\ 0 & 1 & 0 &*\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ že jo\}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(2)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 &*\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ right \} }$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(3)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$

vzhledem k některým indukovaným příkladům unipotentních skupin.

G _a ⁿ

Skupina aditiv je prostřednictvím vkládání unipotentní skupina${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ displaystyle a \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Všimněte si, že násobení matice dává

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

proto se jedná o skupinové vkládání. Obecněji řečeno, je zde vložení z mapy${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}^{n} \ to \ mathbb {U} _ {n+1}}$

${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a_ {1} & a_ {2} & \ cdots & a_ {n-1} & a_ {n} \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Použití teorie schémat je dáno funktorem${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}}: {\ text {Sch}}^{op} \ to {\ text {Sets}}}$

kde

${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (X)}$

Jádro Frobenius

Zvažte funktor v podkategorii , tam je subfunktor kde${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle {\ text {Sch}}/\ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ Displaystyle \ alpha _ {p} (X) = \ {x \ in {\ mathcal {O}} (X): x^{p} = 0 \}}$

je to tedy dáno jádrem Frobeniusova endomorfismu .

Klasifikace unipotentních skupin nad charakteristikou 0

Přes charakteristiku existuje pěkná klasifikace unipotentních algebraických skupin s ohledem na nilpotentní algebry lži . Připomeňme si, že nilpotentní algebra lži je subalgebra některých takových, že iterovaná pomocná akce nakonec skončí na nulové mapě. Pokud jde o matic, to znamená, že je podalgebry of , matric s pro . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$${\ Displaystyle i \ leq j}$

Potom existuje ekvivalence kategorií konečných dimenzionálních nilpotentních Lieových algeber a unipotentních algebraických skupin ^{strana 261} . To lze zkonstruovat pomocí řady Baker – Campbell – Hausdorff , kde je dána mapa s konečnou dimenzí nilpotentní Lieovy algebry.${\ displaystyle H (X, Y)}$

${\ Displaystyle H: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} {\ text {where}} (X, Y) \ mapsto H (X, Y) }$

dává Unipotentní algebraickou skupinovou strukturu na . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

V opačném směru exponenciální mapa převede jakoukoli nilpotentní čtvercovou matici na unipotentní matici. Navíc, pokud U je komutativní unipotentní skupina, exponenciální mapa indukuje izomorfismus z Lieovy algebry U do U samotného.

Poznámky

Unipotentní skupiny nad algebraicky uzavřeným polem jakékoli dané dimenze lze v zásadě klasifikovat, ale v praxi se složitost klasifikace s dimenzí velmi rychle zvyšuje, takže lidé mají tendenci se vzdát někde kolem dimenze 6.

Unipotentní radikál

Unipotentní zbytek z algebraické skupiny G je soubor unipotentní prvků v radikálu z G . Je to spojená unipotentní normální podskupina G a obsahuje všechny ostatní takové podskupiny. Skupina se nazývá reduktivní, pokud je její unipotentní radikál triviální. Pokud je G reduktivní, pak je jeho radikál torus.

Rozklad algebraických skupin

Algebraické skupiny lze rozložit na unipotentní skupiny, multiplikativní skupiny a abelianské odrůdy, ale prohlášení o tom, jak se rozkládají, závisí na charakteristikách jejich základního pole.

Charakteristika 0

Příliš charakteristická je pěkná věta o rozkladu algebraické skupiny, která spojuje její strukturu se strukturou lineární algebraické skupiny a abelianské odrůdy . Na ^{stránce 8} je krátký přesný sled skupin${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle 0 \ to M \ times U \ to G \ to A \ to 0}$

kde je abelianská odrůda, je multiplikativního typu, což znamená, a je unipotentní skupinou. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$

Charakteristický p

Když charakteristika základního pole existuje, existuje analogické tvrzení pro algebraickou skupinu : existuje nejmenší podskupina , která ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

1. ${\ displaystyle G/H}$ je unipotentní skupina
2. ${\ displaystyle H}$je rozšíření abelianské odrůdy o skupinu multiplikativního typu.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$
3. ${\ displaystyle M}$je jedinečná až souměřitelnost v a je jedinečná až Isogeny .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$

Jordánský rozklad

Jakýkoli prvek g lineární algebraické skupiny přes dokonalé pole může být zapsán jednoznačně jako součin g = g _u g _s dojíždějících unipotentních a semimplementárních prvků g _u a g _s . V případě skupiny GL _n ( C ) to v podstatě říká, že jakákoli invertibilní komplexní matice je konjugována k produktu diagonální matice a horní trojúhelníkové matice, což je (víceméně) multiplikativní verze Jordan – Chevalley rozklad .

Existuje také verze Jordanova rozkladu pro skupiny: jakákoli komutativní lineární algebraická skupina nad dokonalým polem je výsledkem unipotentní skupiny a poloprosté skupiny.

Viz také

• Redukční skupina
• Unipotentní zastoupení
• Teorie Deligne – Lusztig

Reference

• A. Borel, Lineární algebraické skupiny , ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), „Groupes linéaires algébriques“, Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi : 10.2307/1969949 , JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], „unipotent element“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], „unipotentní skupina“ , encyklopedie matematiky , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], „unipotentní matice“ , encyklopedie matematiky , EMS Press