evrişim gücü - Convolution power

Gelen matematik , konvolüsyon güç olduğu , n ve kat yineleme konvolüsyon kendisi ile. Bu nedenle, eğer bir olan fonksiyonu ile Öklid alan R, ^d ve a, doğal sayı daha sonra büklüm gücü ile tanımlanır, ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}$

burada * , fonksiyonların R ^d üzerindeki evrişim işlemini belirtir ve δ ₀ , Dirac delta dağılımıdır . Bu tanım mantıklı X bir bir entegre edilebilir (fonksiyon L ¹ , bir hızla düşen) dağılımı (özellikle bir kompakt desteklenen dağıtım) ya da bir sonlu Borel ölçer .

Eğer X bir dağılımı fonksiyonudur rastgele değişkenin gerçek hattı üzerinde, daha sonra n- ^inci evrişim güç x toplamının dağıtım fonksiyonunu verir , n aynı dağıtım bağımsız rastgele değişken x . Merkezi sınır teoremi durumları, eğer X L olduğu ¹ ve L, ² σ ortalama sıfır ve varyansı ² , daha sonra

${\displaystyle P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}<\beta \sağ)\to \Phi (\beta )\quad {\rm { {as}\ n\to \infty }}}$

burada Φ, gerçek hat üzerindeki kümülatif standart normal dağılımdır . Eşdeğer olarak, standart normal dağılıma zayıf bir eğilim gösterir. ${\displaystyle x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}}$

Bazı durumlarda, keyfi gerçek t  > 0 için x ^{* t} güçlerini tanımlamak mümkündür. Eğer μ bir olasılık ölçüsü ise , o zaman μ sonsuz bölünebilirdir , yeter ki her pozitif tamsayı n için , μ _{1/ n} gibi bir olasılık ölçüsü vardır. o

${\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu .}$

Bu ölçer her tanımlamak mümkündür, eğer sonsuz bölünebilir dir, n kökleri inci. Her olasılık ölçüsü sonsuz bölünebilir değildir ve sonsuz bölünebilir ölçülerin karakterizasyonu stokastik süreçlerin soyut teorisinde merkezi öneme sahiptir . Sezgisel olarak, iyi tanımlanmış bir "evrişim logaritmasına" sahip olması koşuluyla, bir ölçü sonsuz bölünebilir olmalıdır. Böyle bir logaritmaya sahip ölçümler için doğal aday , formda verilen (genelleştirilmiş) Poisson tipindekilerdir.

${\displaystyle \pi _{\alpha ,\mu }=e^{-\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}} \mu ^{*n}.}$

Aslında, Lévy-Khinchin teoremi , bir ölçünün sonsuz bölünebilir olması için gerekli ve yeterli koşulun , Poisson ölçüleri sınıfının belirsiz topolojisine göre kapalı olması gerektiğini belirtir ( Stroock 1993 , §3.2). ).

Evrişim gücünün birçok uygulaması, analitik fonksiyonların analoğunu, güçler yerine evrişim gücü ile değiştirilen resmi güç serileri olarak tanımlayabilmeye dayanır . Bu nedenle, eğer analitik bir fonksiyon ise, o zaman tanımlayabilmek istenir. ${\displaystyle \textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}}$

${\displaystyle F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.}$

Eğer X  ∈  L ¹ ( R, ^D daha genel olarak) ya da bir sonlu Borel ölçüsüdür R, ^d , o zaman ikinci seriye ait yakınsak kesinlikle normunda normu kaydıyla x az tanımlayan orijinal serisi yakınsama daha F ( z ). Özellikle, bu tür önlemlerin evrişimsel üstel tanımlamayı yapması mümkündür.

${\displaystyle \exp ^{*}(x)=\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{*n}}{n!}}. }$

Ben Chrouda, El Oued & Ouerdiane (2002) tarafından bu serinin hala uygun bir zayıf anlamda yakınsadığı bir dağılım sınıfı tanımlansa da, bu tanımı keyfi dağılımlara genişletmek genellikle mümkün değildir .

Özellikler

Eğer x kendisi daha sonra uygun olarak ayırt edilebilirdir özellikleri konvolüsyon, bir yer alır

${\displaystyle {\mathcal {D}}{\big \{}x^{*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)} =x*{\matematik {D}}{\big \{}x^{*(n-1)}{\big \}}}$

burada türev operatörünü belirtir . Özellikle, bu tutan X bir kompakt desteklenen dağıtımı ya da yatıyor sobolev alan B ^1,1 evrişim iyi tanımlanmış olması için türevinin yeterli düzenli olmasını sağlamak için. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {D}}}$

Uygulamalar

Konfigürasyon rastgele grafiğinde, bağlı bileşenlerin boyut dağılımı , aşırı derece dağılımının evrişim gücü ile ifade edilebilir ( Kryven (2017) ):

${\displaystyle w(n)={\begin{kasalar}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1, \\u(0)&n=1.\end{durumlar}}}$

Burada, bağlı bileşenler için boyut dağılımı , aşırı derece dağılımı ve derece dağılımını ifade eder . ${\görüntüleme stili w(n)}$${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),}$${\görüntüleme stili u(k)}$

As konvolüsyon cebiri özel durumlarıdır Hopf cebirlerin , büklüm güç bir Hopf cebir içinde (olağan) bir güç özel bir durumudur. Kuantum alan teorisi uygulamalarında , evrişim üstel, evrişim logaritması ve evrişime dayalı diğer analitik fonksiyonlar, cebirin elemanlarında formel güç serileri olarak yapılandırılır ( Brouder, Frabetti & Patras 2008 ). Buna ek olarak, cebir bir Banach cebiri ise, serinin yakınsaklığı yukarıdaki gibi belirlenebilir. Resmi ortamda, tanıdık kimlikler, örneğin

${\displaystyle x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)}$

tutmaya devam edin. Ayrıca, tüm ifadelerin yakınsak seriler tarafından açık bir kümede iyi tanımlanması şartıyla, fonksiyonel ilişkilerin kalıcılığı ile fonksiyonlar düzeyinde tutulurlar.

Ayrıca bakınız

• evrişim
• evrişim teoremi
• Fourier dönüşümü
• Taylor serisi

Referanslar

• Schwartz, Laurent (1951), Theorie des Distributions, Cilt II , Herman, Paris.
• Horváth, John (1966), Topolojik Vektör Uzayları ve Dağılımları , Addison-Wesley Yayıncılık Şirketi: Reading, MA, ABD.
• Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), "Konvolüsyon hesabı ve stokastik diferansiyel denklemlere uygulamaları", Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frederic (2008). "Birçok vücut fiziğinde tek parçacık indirgenemez Yeşil fonksiyonlara Ayrışma". arXiv : 0803.3747 ..
• Feller, William (1971), Olasılık teorisine ve uygulamalarına giriş. Cilt II. , İkinci baskı, New York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), Olasılık teorisi, analitik bir bakış , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR  1267569.
• Kryven, I (2017), "Sonsuz konfigürasyon ağlarında bileşen boyutu dağılımı için genel ifade", Physical Review E , 95 : 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID  28618550.