Hopf cebiri - Hopf algebra

Gelen matematik bir Hopf cebir adını, Heinz Hopf , bir (aynı zamanda bir yapıdır unital birleştirici) cebir ve (counital coassociative) coalgebra bu yapıların uyumluluğu ile, bir hale bialgebra ve bu ayrıca, bir ile donatılmıştır antiautomorphism belirli bir özelliği tatmin etmek. Temsil teorisi uyumlu comultiplication, counit ve antipodunu varlığı tensör temsillerinin ürünleri, önemsiz temsiller ve çift temsiller inşası için izin verdiği bir Hopf cebir, özellikle güzel.

Hopf cebirleri doğal olarak cebirsel topolojide ortaya çıktıkları ve H-uzay kavramıyla ilişkili oldukları, grup şeması teorisinde, grup teorisinde (bir grup halkası kavramı aracılığıyla ) ve birçok başka yerde, muhtemelen onları en iyi yapan şeydir. tanıdık bialgebra türü . Hopf cebirleri, bir yandan belirli örnek sınıfları ve diğer yandan sınıflandırma problemleri üzerinde çok fazla çalışma ile kendi başlarına da incelenir. Bunlar arasında değişen çeşitli uygulamalara sahip yoğun madde fiziği ve kuantum alan teorisi için sicim teorisi ve LHC fenomenolojisiyle .

Resmi tanımlama

Biçimsel olarak, bir Hopf cebri, bir K alanı üzerinde bir (birleşik ve koassosiyatif) H ikili cebiridir ve bir K- doğrusal haritası S : H → H ( antipode olarak adlandırılır ) öyle ki aşağıdaki diyagram değişir :

Burada Δ iki cebirin çarpımı, ∇ çarpımı, η birimi ve ε onun birimidir. Toplamsız Sweedler notasyonunda bu özellik şu şekilde de ifade edilebilir:

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ tümü için } }c\in H.}$

Cebirlere gelince , yukarıdaki tanımda temel alan K , değişmeli R halkası ile değiştirilebilir .

Hopf cebirinin tanımı kendi kendine çifttir (yukarıdaki diyagramın simetrisinde yansıtıldığı gibi), bu nedenle eğer bir kişi H'nin bir ikilisini tanımlayabilirse (ki bu, H sonlu boyutlu ise her zaman mümkündür ), o zaman otomatik olarak bir Hopf cebiridir. .

Yapı sabitleri

Altta yatan vektör uzayı için bir temel sabitleyerek, cebir çarpma için yapı sabitleri cinsinden tanımlanabilir : ${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

ortak çarpma için:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

ve antipod:

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

İlişkilendirme o zaman bunu gerektirir

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{ m}}$

birliktelik bunu gerektirirken

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\; nj}}$

Bağlantı aksiyomu şunu gerektirir:

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;pm}^{n}=\nu _{k}^{\; jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;pm}^{n}}$

antipodun özellikleri

Antipod S bazen olması gereklidir K sonlu boyutlu durumda otomatik olarak -linear ters, ya da, eğer , H olduğu değişmeli veya cocommutative (ya da daha genel olarak quasitriangular ).

Genel olarak, S , bir olan antihomomorphism nedenle, S ² a, homomorfizması bu nedenle bir otomorfizm olduğu, S (gerekli olduğu takdirde) ters çevrilebilir olmuştur.

Eğer S ² = id _{, H} , daha sonra Hopf cebri olduğu söylenir involutive (ve gerilemesi ile altta yatan cebir a, * cebiri ). Eğer H sonlu boyutlu yarı basit karakteristik sıfır, değişmeli veya cocommutative bir alan üzerinde, o zaman involutive olup.

Eğer bir iki cebir B bir antipodu S kabul ediyorsa , o zaman S benzersizdir ("bir ikili cebir en fazla 1 Hopf cebir yapısını kabul eder"). Böylece antipod, seçebileceğimiz ekstra bir yapı oluşturmaz: Hopf cebri olmak, bialcebra'nın bir özelliğidir.

Antipod gönderen bir grup ters haritaya bir analogudur g etmek g ^-1 .

Hopf alt cebirleri

Bir alt cebiri A bir Hopf cebri bir H bunun bir subcoalgebra ise bir Hopf alt cebiri olan H ve antipodu S harita A içine A . Çarpımı, comultiplication, counit ve antipodu Diğer bir deyişle, bir Hopf alt cebiri A, kendi başına bir Hopf cebir H ile sınırlandırılmıştır A (ve buna ek olarak kimliği 1 H A'da olması gerekmektedir). Nichols–Zoeller serbestlik teoremi (1989'da), eğer H sonlu boyutluysa , doğal A- modül H'nin sonlu rütbeden bağımsız olduğunu ortaya koydu : alt gruplar için Lagrange teoreminin bir genellemesi . Bu ve integral teorisinin bir sonucu olarak, yarıbasit sonlu boyutlu bir Hopf cebirinin bir Hopf alt cebiri otomatik olarak yarıbasittir.

Bir Hopf alt cebiri A bir Hopf cebir doğru normal olarak söz konusu olan , H bunun tatmin stabilite durum ise, reklam _R ( h ) ( bir ) ⊆ bir tüm saat içinde H doğru Dönüşümler, reklam _R ile tanımlanır reklamın _r ( h ) ( bir ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎ hepsi için a içinde a , H olarak , H . Benzer şekilde, ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h ₍₂₎ ) tarafından tanımlanan sol birleşik eşleme altında kararlıysa , bir Hopf alt cebiri A H'de normal bırakılır . S antipodu bijektif ise, normalliğin iki koşulu eşdeğerdir , bu durumda A'nın normal bir Hopf alt cebiri olduğu söylenir.

H'deki normal bir Hopf alt cebiri A ( H'nin alt kümelerinin eşitliği) koşulunu karşılar: HA ⁺ = A ⁺ H burada A ⁺ , K üzerindeki sayının çekirdeğini gösterir . Bu normallik koşulu, HA ^+' nın H'nin bir Hopf ideali olduğunu ima eder (yani, sayının çekirdeğinde bir cebir ideali, bir kömür-cebri koideali ve antipodun altında kararlı). Sonuç olarak, bir H / HA ⁺ bölümü Hopf cebiri ve H → H / A ⁺ H epimorfizmi vardır , bu teori, grup teorisindeki normal alt gruplara ve bölüm gruplarına benzer bir teoridir .

Hopf siparişleri

Bir Hopf sipariş O aşırı tamlık R ile fraksiyonların alan K bir bir düzen bir Hopf cebri olarak H üzerinde K cebir ve coalgebra işlemleri altında kapatılır: özellikle, comultiplication Δ haritalar O için O ⊗ O .

Grup benzeri öğeler

Bir grup benzeri eleman , sıfır olmayan bir elemanıdır x öyle ki Δ ( x ) = x ⊗ x . Grup benzeri elemanlar, antipod tarafından verilen tersi ile bir grup oluşturur. Bir ilkel eleman x tatmin Δ ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x .

Örnekler

	Bağlı olarak	çarpma	Kont	antipod	değişmeli	birlikte değişmeli	Uyarılar
grup cebiri KG	G grubu	Δ ( g ) = gr ⊗ gr tüm g olarak G	ε ( g ) tüm 1 = g olarak G	S ( g ) = gr -1 tüm g olarak G	eğer ve sadece G değişmeli ise	Evet
fonksiyonları f için bir sonlu grup K , K , G (noktasal ek ve çarpma)	sonlu grup G	Δ( f )( x , y ) = f ( xy )	ε ( f ) = f (1 G )	S ( f )( x ) = f ( x −1 )	Evet	eğer ve sadece G değişmeli ise
Kompakt bir grupta temsili işlevler	kompakt grup G	Δ( f )( x , y ) = f ( xy )	ε ( f ) = f (1 G )	S ( f )( x ) = f ( x −1 )	Evet	eğer ve sadece G değişmeli ise	Tersine, sonlu bir Haar integrali ile C üzerinde her değişmeli involütif indirgenmiş Hopf cebiri bu şekilde ortaya çıkar ve Tannaka-Krein ikiliğinin bir formülasyonunu verir .
Bir cebirsel grupta düzenli fonksiyonlar		Δ( f )( x , y ) = f ( xy )	ε ( f ) = f (1 G )	S ( f )( x ) = f ( x −1 )	Evet	eğer ve sadece G değişmeli ise	Tersine, bir alan üzerindeki her değişmeli Hopf cebiri , bu şekilde bir grup şemasından ortaya çıkar ve kategorilerin bir anti-eşdeğerliğini verir .
Tensör cebiri T( V )	vektör uzayı V	Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x , x in V , Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε ( x ) = 0	S ( X ) = - X tüm x 'T 1 ( V ) (ve daha yüksek tensör güçleri uzatıldı)	Eğer ve sadece dim( V )=0,1 ise	Evet	simetrik cebir ve dış cebir (tensör cebirinin bölümleridir) aynı zamanda bu çarpma, sayı ve antipod tanımıyla Hopf cebirleridir.
Evrensel zarflama cebiri U(g)	yalan cebir g	Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x her için x de gr (bu kural uyumlu kollektörler ve bu nedenle benzersiz tümüne uzatılabilir U )	ε ( x ) için = 0, tüm X olarak gr (yine genişletilmiş U )	S ( x ) = - x	eğer ve sadece g değişmeli ise	Evet
Sweedler'in Hopf cebiri H = K [ c , x ]/ c 2 = 1, x 2 = 0 ve xc = − cx .	K , karakteristiği 2'den farklı olan bir alandır	Δ( c ) = c ⊗ c , Δ( x ) = c ⊗ x + x ⊗ 1, Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε ( c ) = 1 ve ε ( x ) = 0	S ( c ) = c −1 = c ve S ( x ) = − cx	numara	numara	Temel vektör uzayı {1, c , x , cx } tarafından oluşturulur ve dolayısıyla 4 boyutuna sahiptir. Bu, hem değişmeli hem de değişmeli olmayan bir Hopf cebirinin en küçük örneğidir.
simetrik fonksiyonlar halkası		tam homojen simetrik fonksiyonlar açısından h k ( k ≥ 1): Δ( h k ) = 1 ⊗ h k + h 1 ⊗ h k −1 + ... + h k −1 ⊗ h 1 + h k ⊗ 1.	ε ( h k ) = 0	S ( h k ) = (−1) k e k	Evet	Evet

Sonlu bir gruptaki fonksiyonların grup halkası ile tanımlanabileceğini unutmayın, ancak bunlar daha doğal olarak ikili olarak düşünülür - grup halkası sonlu eleman toplamlarından oluşur ve böylece toplamdaki fonksiyonu değerlendirerek grup üzerindeki fonksiyonlarla çiftler. elementler.

Lie gruplarının kohomolojisi

Bir Lie grubunun kohomoloji cebri (bir alan üzerinde ) bir Hopf cebridir : çarpma, cup çarpımı tarafından sağlanır ve çarpım ${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G, K)}$

grup çarpımı ile . Bu gözlem aslında Hopf cebiri kavramının bir kaynağıydı. Bu yapıyı kullanarak Hopf, Lie gruplarının kohomoloji cebiri için bir yapı teoremi kanıtladı. ${\displaystyle G\times G\to G}$

Teoremi (Hopf) Izin sonlu boyutlu olması değişmeli kademeli , sonra karakteristik 0 bir alan üzerinde cocommutative Hopf cebir derecelendirildi (bir cebri olarak) tek derece jeneratörler ile bir serbest dış cebiridir. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$

Kuantum grupları ve değişmeli olmayan geometri

Tüm örnekler, yukarıda ya da değişmeli (yani çarpma olan değişmeli eş değişmeli (yani Δ =) veya T ∘ Δ burada büküm harita T : 'H ⊗ H → H ⊗ H ile tanımlanır T ( x ⊗ y ) = y ⊗ X ). Diğer ilginç Hopf cebirleri, örnek 3'tekilerin ne değişmeli ne de ko- değişmeli olan belirli "deformasyonları" veya " kuantizasyonları "dır. Bu Hopf cebirlerine genellikle kuantum grupları denir , bu şimdiye kadar yalnızca gevşek bir şekilde tanımlanmış bir terimdir. Değişmeli olmayan geometride önemlidirler , fikir şudur: standart bir cebirsel grup, düzenli fonksiyonların standart Hopf cebiri tarafından iyi tanımlanmıştır; daha sonra bu Hopf cebirinin deforme olmuş versiyonunun belirli bir "standart dışı" veya "niceleştirilmiş" cebirsel grubu (ki bu hiç cebirsel bir grup değildir) betimlediğini düşünebiliriz. Bu standart olmayan nesneleri tanımlamanın veya manipüle etmenin doğrudan bir yolu yok gibi görünse de, yine de Hopf cebirleriyle çalışılabilir ve aslında onları Hopf cebirleriyle tanımlayabiliriz . Bu nedenle "kuantum grubu" adı.

temsil teorisi

Let bir bir Hopf cebir olabilir ve izin M ve N olduğu bir -modüller. O halde M ⊗ N aynı zamanda bir A- modülüdür.

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\ bazen a_{2}n)}$

için m ∈ M , N ∈ N ve A ( a () = bir ₁ , bir ₂ ). Ayrıca, taban alanı olarak önemsiz temsil tanımlayabilir K ile

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

için m ∈ K . Son olarak, A'nın ikili gösterimi tanımlanabilir: eğer M bir A- modülüyse ve M* onun ikili uzayıysa , o zaman

${\görüntüleme stili (af)(m):=f(S(a)m)}$

nerede f ∈ M* ve m ∈ M .

Δ, ε ve S arasındaki ilişki , vektör uzaylarının belirli doğal homomorfizmalarının gerçekten de A- modüllerinin homomorfizmaları olmasını sağlar. Örneğin, M → M ⊗ K ve M → K ⊗ M vektör uzaylarının doğal izomorfizmleri de A -modüllerinin izomorfizmalarıdır . Ayrıca, f ⊗ m → f ( m ) ile M* ⊗ M → K vektör uzaylarının haritası da A- modüllerinin bir homomorfizmidir . Ancak, M ⊗ M* → K haritası mutlaka A -modüllerinin bir homomorfizmi değildir .

Ilgili kavramlar

Dereceli Hopf cebirleri genellikle cebirsel topolojide kullanılır : bir H uzayının tüm homoloji veya kohomoloji gruplarının doğrudan toplamı üzerindeki doğal cebirsel yapıdır .

Yerel olarak kompakt kuantum grupları, Hopf cebirlerini genelleştirir ve bir topoloji taşır . Bir Lie grubundaki tüm sürekli fonksiyonların cebiri, yerel olarak kompakt bir kuantum grubudur.

Quasi-Hopf cebirleri , birlikteliğin yalnızca bir bükülmeye dayandığı Hopf cebirlerinin genellemeleridir. Knizhnik-Zamolodchikov denklemlerinin çalışmasında kullanılmıştır .

Alfons Van Daele tarafından 1994 yılında tanıtılan Çarpan Hopf cebirleri , bir cebirden (birimli veya birimsiz) cebirin kendisiyle tensör çarpım cebirinin çarpan cebirine çarpma işleminin yapıldığı Hopf cebirlerinin genellemeleridir .

2000 yılında VG Turaev tarafından tanıtılan Hopf grup-(ko)cebirleri de Hopf cebirlerinin genellemeleridir.

Zayıf Hopf cebirleri

Zayıf Hopf cebirleri veya kuantum grupoidleri, Hopf cebirlerinin genellemeleridir. Hopf cebirleri gibi, zayıf Hopf cebirleri de kendinden ikili bir cebir sınıfı oluşturur; yani eğer, H , bir (zayıf) Hopf cebir, so H *, ilgili doğrusal biçimlerde çift boşluk H (doğal eşleştirme elde edilen cebri-coalgebra yapısına göre , H ve coalgebra cebir yapısı). Zayıf bir Hopf cebiri H genellikle bir olarak alınır.

• Δ: H → H ⊗ H ve ε: H → k birimi ile birlikte sonlu boyutlu cebir ve toplam cebir, Hopf cebirinin muhtemelen Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 veya ε( ab ) ≠ ε( a )ε hariç tüm aksiyomlarını karşılar ( b ) H içinde bazı a,b için . Bunun yerine aşağıdakileri gerektirir:

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{ (1)}c)}$

tüm bir , b , ve c de H .

• H , şu aksiyomları karşılayan zayıf bir antipoda sahiptir S : H → H :

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$tüm a olarak H (sağ taraftaki genellikle Π ile gösterilen ilginç projeksiyonu ^R ( a ) ya da ε _s ( bir görüntü ile temsil edilen bir ayrılabilir alt cebiri) ile , H ^{, R} veya H _s );
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$tüm a olarak H (genellikle Π ile gösterilen bir başka ilginç çıkıntı ^R ( a ) ya da ε _t ( bir görüntünün bir ayrılabilir cebir ile) H ^L ya da H _t anti-izomorfik, H ^{, L} ile S );
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$tüm a olarak H .

Δ(1) = 1 ⊗ 1 ise, bu koşulların bir Hopf cebirinin antipodu üzerindeki iki olağan koşula indirgendiğine dikkat edin.

Aksiyonları kısmen çok kategorisi şekilde seçilir H -modüller a, sert monoidal kategori . Birim , H Modül ayrılabilir cebir lH ^L yukarıda.

Örneğin, sonlu bir grupoid cebir, zayıf bir Hopf cebiridir. Özellikle, ters çevrilebilir oklar olan bir çift [n] ile grupoid cebir e _ij ve e _ji arasında i ve j [olarak n ] cebir izomorf H ve n, X , n matrisler. Bu özel H üzerindeki zayıf Hopf cebir yapısı, Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij , sayı ε( e _ij ) = 1 ve antipod S ( e _ij ) = e _{ji ile verilir} . Ayrılabilir alt cebirler H ^L ve H ^R çakışır ve bu özel durumda merkezi olmayan değişmeli cebirlerdir (köşegen matrislerin alt cebiri).

Zayıf Hopf cebirlerine erken teorik katkılar

Hopf cebirleri

Hopf cebirini görün

gruplarla analoji

Gruplar, G'nin bir modül yerine bir küme olarak alındığı bir Hopf cebiri ile aynı diyagramlarla (eşdeğer olarak işlemler) aksiyomatize edilebilir. Bu durumda:

• K alanı 1 noktalı set ile değiştirilir
• doğal bir sayı var (1 noktaya eşle)
• doğal bir çarpma var (köşegen harita)
• birim, grubun kimlik öğesidir
• çarpma, gruptaki çarpmadır
• antipod tersidir

Bu felsefede bir grup, " bir elemanlı alan " üzerinde bir Hopf cebiri olarak düşünülebilir .

Örgülü monoidal kategorilerde Hopf cebirleri

Hopf cebirinin tanımı doğal olarak keyfi örgülü monoidal kategorilere genişletilir . Böyle bir kategorideki bir Hopf cebiri, içinde bir nesnenin bulunduğu bir altılı sayıdır ve ${\ Displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$ (çarpma işlemi),

${\displaystyle \eta :I\to H}$ (birim),

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$ (çarpma),

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$ (sayı),

${\ Displaystyle S:H\'den H'ye}$ (antipod)

- morfizmalar öyle ki ${\görüntüleme stili C}$

1) üçlü monoid kategorisinde bir monoiddir , yani aşağıdaki diyagramlar değişmelidir:${\görüntüleme stili (H,\nabla ,\eta )}$${\ Displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) üçlü monoidal kategoride bir komonoiddir , yani aşağıdaki diyagramlar değişmelidir:${\görüntüleme stili (H,\Delta ,\varepsilon )}$${\ Displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) monoid ve komonoidin yapıları uyumludur: çarpma ve birim komonoidlerin morfizmleridir ve (bu durumda bu eşdeğerdir) aynı zamanda çarpma ve sayı monoidlerin morfizmleridir; bu, aşağıdaki diyagramların değişmeli olması gerektiği anlamına gelir:${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili\nabla }$${\görüntüleme stili \eta }$${\görüntüleme stili\Delta }$${\görüntüleme stili\varepsilon }$

1),2),3) özelliklerine sahip beşli , kategorisinde bialgebra olarak adlandırılır ;${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\ Displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) antipod diyagramı değişmeli:

Tipik örnekler aşağıdaki gibidir.

• Gruplar . Monoidal kategorisinde ait setleri (ile kartezyen çarpım tensör ürün olarak ve keyfi bir singletone, demek üçlü ünite nesnesi olarak) bir olduğunu kategorik anlamda monoid bir ve sadece eğer olağan cebirsel içinde monoid sense , yani işlemler ve normal çarpma ve birim gibi davranırsa (ancak muhtemelen öğelerin tersine çevrilemezliği olmadan ). Aynı zamanda, üçlü , köşegen işlem ise kategorik anlamda bir komonoiddir (ve işlem de benzersiz olarak tanımlanır: ). Ve böyle bir komonoid yapısı, tanımın 3. bölümündeki diyagramların her zaman yer değiştirmesi anlamında herhangi bir monoid yapısıyla uyumludur . Bir sonuç olarak, her monoid olarak , doğal olarak, bir bialgebra olarak kabul edilebilir olarak tersine, ve yardımcısı. Böyle bir çift cebirin antipodunun varlığı, tam olarak her elemanın çarpmaya göre bir ters elemana sahip olduğu anlamına gelir . Bu nedenle, kümeler kategorisinde Hopf cebirleri , genel cebirsel anlamda tam olarak gruplardır .${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\görüntüleme stili \kez }$${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$${\görüntüleme stili (H,\nabla ,\eta )}$${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$${\görüntüleme stili \eta (1)}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili x\H}$${\görüntüleme stili (H,\Delta ,\varepsilon )}$${\görüntüleme stili\Delta }$${\görüntüleme stili \Delta (x)=(x,x)}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon (x)=1}$${\görüntüleme stili (H,\Delta ,\varepsilon )}$${\görüntüleme stili (H,\nabla ,\eta )}$${\görüntüleme stili (H,\nabla ,\eta )}$${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$${\ Displaystyle S:H\'den H'ye}$${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$${\görüntüleme stili x\H}$${\displaystyle x^{-1}\H}$${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• Klasik Hopf cebirleri . Belirli bir alan üzerindeki vektör uzaylarının kategorisi olduğu özel durumda , içindeki Hopf cebirleri tam olarak yukarıda açıklanan klasik Hopf cebirleridir .${\görüntüleme stili (C,\otimes ,s,I)}$${\görüntüleme stili K}$${\görüntüleme stili (C,\otimes ,s,I)}$
• Gruplarda fonksiyonel cebirler . Gruplardaki standart fonksiyonel cebirler , , , (sürekli, düzgün, holomorfik, düzenli fonksiyonların) stereotip uzayların ( Ste , ) kategorisindeki Hopf cebirleridir ,${\görüntüleme stili {\matematiksel {C}}(G)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {E}}(G)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}(G)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}(G)}$${\ ekran stili \ nokta }$
• Grup cebirleri . Klişe grubu cebir , , , gruplar (önlemler, dağılımlar, analitik fonksiyonelleri ve akımların) kategori (Hopf cebirleridir Ste , arasında) klişe boşluk . Bu Hopf cebirleri, değişmeli olmayan gruplar için dualite teorilerinde kullanılır .${\görüntüleme stili {\matematiksel {C}}^{\yıldız }(G)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {E}}^{\yıldız }(G)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}^{\yıldız }(G)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}^{\yıldız }(G)}$${\displaystyle \circledast }$

Ayrıca bakınız

• Quasitriguler Hopf cebiri
• Cebir/küme analojisi
• Hopf cebirlerinin temsil teorisi
• Şerit Hopf cebiri
• süpercebir
• süper grup
• Anyonik Lie cebiri
• Sweedler'ın Hopf cebiri
• Permütasyonların Hopf cebiri
• Milnor-Moore teoremi

Notlar ve referanslar

Notlar

Referanslar

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Şerban (2001), Hopf Cebirleri. Bir giriş , Saf ve Uygulamalı Matematik, 235 (1. baskı), Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-0481-0, Zbl  0962.16026.
• Cartier, Pierre (2007), "A Primer of Hopf Cebirleri", Cartier, P.; Musa, P.; Julia, B.; Vanhove, P. (eds.), Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry , II , Berlin: Springer, pp. 537–615, doi : 10.1007/978-3-540-30308-4_12 , ISBN 978-3-540-30307-7
• Fuchs, Jürgen (1992), Afin Lie cebirleri ve kuantum grupları. Uyumlu alan teorisindeki uygulamalara giriş , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48412-1, Zbl  0925.17031
• Heinz Hopf , Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Annals of Mathematics 42 (1941), 22–52. Selecta Heinz Hopf, s. 119-151, Springer, Berlin'de (1964) yeniden basılmıştır. MR 4784 , Zbl  0025.09303
• Montgomery, Susan (1993), Hopf cebirleri ve halkalar üzerindeki eylemleri , Matematikte Bölgesel Konferans Dizisi, 82 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0738-5, Zbl  0793.16029
• Street, Ross (2007), Kuantum grupları: Güncel Cebire Giden Yol , Avustralya Matematik Derneği Ders Dizisi, 19 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69524-4, MR  2294803 , Zbl  1117.16031.
• Sweedler, Moss E. (1969), Hopf cebirleri , Matematik Ders Notu Serisi, WA Benjamin, Inc., New York, ISBN 9780805392548, MR  0252485 , Zbl  0194.32901
• Underwood, Robert G. (2011), Hopf cebirlerine giriş , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl  1234.16022
• Turayev, Vladimir; Virelizier, Alexis (2017), Monoidal Kategoriler ve Topolojik Alan Teorisi , Matematikte İlerleme, 322 , Springer, doi : 10.1007/978-3-319-49834-8 , ISBN 978-3-319-49833-1.
• Akbarov, SS (2003). "Topolojik vektör uzayları teorisinde ve topolojik cebirde Pontryagin ikiliği". Matematik Bilimleri Dergisi . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067 .
• Akbarov, SS (2009). "Kimliğin cebirsel bağlantılı bileşeni ile Stein grupları için üstel tip ve dualitenin holomorfik fonksiyonları". Matematik Bilimleri Dergisi . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID  115153766 .