Konvoluutioteho - Convolution power

On matematiikka , konvoluutio teho on n kertainen iterointia konvoluution itsensä kanssa. Näin ollen, jos on funktio on euklidinen avaruus R ^d ja on luonnollinen luku , sitten konvoluutio teho on määritelty ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle x^{*n} = \ underbrace {x*x*x*\ cdots*x*x} _ {n}, \ quad x^{*0} = \ delta _ {0}}$

jossa * tarkoittaa konvoluutio toimintaa toimintoja, R ^d ja δ ₀ on Diracin delta jakelu . Tämä määritelmä on järkevä, jos x on integroitava funktio ( L ^{1: ssä} ), nopeasti pienenevä jakauma (erityisesti kompakti tuettu jakauma) tai jos se on rajallinen Borel -mitta .

Jos x on jakelu funktio satunnaismuuttuja reaaliakselilla, niin n ^{: nnen} konvoluutio voima x antaa kertymäfunktio summan n riippumattomia satunnaismuuttujia identtiset jakelu x . Keskeinen raja lause todetaan, että jos x on L ¹ ja L ² , jonka keskiarvo on nolla ja varianssi σ ² , sitten

${\ displaystyle P \ vasen ({\ frac {x^{*n}} {\ sigma {\ sqrt {n}}}} <\ beta \ right) \ to \ Phi (\ beta) \ quad {\ rm { {as} \ n \ to \ infty}}}$

jossa Φ on kumulatiivinen normaali normaalijakauma todellisella viivalla. Vastaavasti pyrkii heikosti normaaliin normaalijakaumaan. ${\ displaystyle x^{*n}/\ sigma {\ sqrt {n}}}$

Joissakin tapauksissa on mahdollista määrittää tehot x ^{* t} mielivaltaiselle todelliselle t  > 0. Jos μ on todennäköisyysmittari , μ on ääretön jaollinen, jos jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n on todennäköisyysmittari μ _{1/ n} sellainen että

${\ displaystyle \ mu _ {1/n}^{*n} = \ mu.}$

Toisin sanoen mitta on äärettömän jaollinen, jos on mahdollista määrittää kaikki n. Juuret. Kaikki todennäköisyysmittarit eivät ole äärettömän jakautuvia, ja äärettömän jakautuvien mittausten karakterisointi on keskeisessä asemassa stokastisten prosessien abstraktissa teoriassa . Intuitiivisesti mitta tulee olla äärettömän jaollinen, jos sillä on hyvin määritelty "konvoluutiolgaritmi". Luonnollinen ehdokas toimenpiteille, joilla on tällainen logaritmi, ovat (yleistettyjä) Poisson -tyyppisiä, muodossa

${\ displaystyle \ pi _ {\ alpha, \ mu} = e^{-\ alpha} \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {\ alpha^{n}} {n!}} \ mu ^{*n}.}$

Itse asiassa Lévy – Khinchin -lause toteaa, että välttämätön ja riittävä edellytys toimenpiteen jakamiselle loputtomasti on, että sen on sijaittava Poisson -mittariluokan epämääräisen topologian suhteen ( Stroock 1993 , kohta 3.2) ).

Monet sovellukset konvoluution vallan luottaa pysty määrittelemään analogi analyyttisten funktioiden kuin virallisia potenssisarjat valtuudet korvata sijastaan konvoluutio valtaa. Jos siis on analyyttinen funktio, halutaan pystyä määrittelemään ${\ displaystyle \ texttyle {F (z) = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} z^{n}}}$

${\ displaystyle F^{*} (x) = a_ {0} \ delta _ {0}+\ summa _ {n = 1}^{\ infty} a_ {n} x^{*n}.}$

Jos x  ∈  L ¹ ( R ^d ) tai yleisemmin on äärellinen Borel -mitta R ^{d: llä} , jälkimmäinen sarja yhtyy ehdottomasti normaaliin edellyttäen, että x: n normi on pienempi kuin alkuperäisen sarjan ( F ( z) ). Erityisesti tällaisilla toimenpiteillä on mahdollista määritellä konvoluution eksponentiaali

${\ displaystyle \ exp^{*} (x) = \ delta _ {0}+\ summa _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {x^{*n}} {n!}}. }$

Tätä määritelmää ei ole yleisesti mahdollista laajentaa mielivaltaisiin jakaumiin, vaikka Ben Chrouda, El Oued & Ouerdiane (2002) yksilöivät jakeluluokan, johon tämä sarja edelleen sopivassa heikossa mielessä yhtyy .

Ominaisuudet

Jos x on itsessään sopivasti eriytettävä, niin konvoluution ominaisuuksilla on

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} {\ big \ {} x^{*n} {\ big \}} = ({\ mathcal {D}} x)*x^{*(n-1)} = x*{\ matematiikka {D}} {\ iso \ {} x^{*(n-1)} {\ iso \}}}$

jossa tarkoittaa johdannaisoperaattoria . Tämä pätee erityisesti, jos x on kompaktisti tuettu jakauma tai se sijaitsee Sobolevin tilassa W ^1,1 sen varmistamiseksi, että derivaatta on riittävän säännöllinen konvoluution määrittämiseksi. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Sovellukset

Kokoonpanon satunnaiskaaviossa kytkettyjen komponenttien kokojakauma voidaan ilmaista ylimääräisen asteen jakauman konvoluutioteholla ( Kryven (2017) ):

${\ displaystyle w (n) = {\ begin {tapauksissa} {\ frac {\ mu _ {1}} {n-1}} u_ {1}^{*n} (n-2), & n> 1, \\ u (0) & n = 1. \ loppu {tapaukset}}}$

Tässä on kytkettyjen komponenttien kokojakauma, ylimääräinen astejakauma ja asteen jakauma . ${\ displaystyle w (n)}$${\ displaystyle u_ {1} (k) = {\ frac {k+1} {\ mu _ {1}}} u (k+1),}$${\ displaystyle u (k)}$

Kuten konvoluutio algebrojen ovat erikoistapauksia Hopfin algebras , konvoluution teho on erikoistapaus (tavallinen) tehon Hopf algebran. Kvanttikenttäteorian sovelluksissa konvoluution eksponentiaalinen, konvoluutiologaritmi ja muut konvoluutioon perustuvat analyyttiset funktiot rakennetaan muodollisiksi tehosarjoiksi algebran elementeissä ( Brouder, Frabetti & Patras 2008 ). Jos algebra on lisäksi Banach -algebra , sarjan lähentyminen voidaan määrittää edellä kuvatulla tavalla. Muodollisessa ympäristössä tutut identiteetit, kuten

${\ displaystyle x = \ log ^{*} (\ exp ^{*} x) = \ exp ^{*} (\ log ^{*} x)}$

pitää kiinni. Lisäksi toiminnallisten suhteiden pysyvyydellä ne pysyvät toimintojen tasolla edellyttäen, että kaikki lausekkeet on määritelty hyvin läheisessä sarjassa.

Katso myös

• Konvoluutio
• Konvoluution lause
• Fourier -muunnos
• Taylor -sarja

Viitteet

• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tome II , Herman, Pariisi.
• Horváth, John (1966), Topologiset vektorivälit ja jakaumat , Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, USA.
• Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), "Convolution calculus and Applications to stokastiset differentiaaliyhtälöt", Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). "Hajoaminen yhden hiukkasen pelkistämättömiksi vihreiksi funktioiksi monen kehon fysiikassa". arXiv : 0803.3747 ..
• Feller, William (1971), Johdatus todennäköisyysteoriaan ja sen sovelluksiin. Voi. II. , Toinen painos, New York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), Todennäköisyysteoria, analyyttinen näkemys , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR  1267569.
• Kryven, I (2017), "General ilmaisu komponenttia-kokojakauma ääretön kokoonpano verkoissa", Physical Review E , 95 : 052303, arXiv : 1703,05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10,1103 / physreve.95.052303 , PMID  28618550.