Poder de convolución - Convolution power

En matemáticas , el poder de convolución es la iteración n veces de la convolución consigo misma. Por lo tanto, si es una función en el espacio euclidiano R ^d y es un número natural , entonces la potencia de convolución se define por ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle x ^ {* n} = \ underbrace {x * x * x * \ cdots * x * x} _ {n}, \ quad x ^ {* 0} = \ delta _ {0}}$

donde * denota la operación de convolución de funciones en R ^d y δ ₀ es la distribución delta de Dirac . Esta definición tiene sentido si x es una función integrable (en L ¹ ), una distribución rápidamente decreciente (en particular, una distribución con soporte compacto) o es una medida de Borel finita .

Si x es la función de distribución de una variable aleatoria en la línea real, entonces el n ^º potencia convolución de x da la función de distribución de la suma de n variables aleatorias independientes con idéntica distribución x . El teorema del límite central establece que si x está en L ¹ y L ² con media cero y varianza σ ² , entonces

${\ Displaystyle P \ left ({\ frac {x ^ {* n}} {\ sigma {\ sqrt {n}}}} <\ beta \ right) \ to \ Phi (\ beta) \ quad {\ rm { {as} \ n \ to \ infty}}}$

donde Φ es la distribución normal estándar acumulada en la línea real. De manera equivalente, tiende débilmente a la distribución normal estándar. ${\ Displaystyle x ^ {* n} / \ sigma {\ sqrt {n}}}$

En algunos casos, es posible definir poderes x ^{* t} de verdad arbitrario t  > 0. Si μ es una medida de probabilidad , a continuación, μ es divisible infinitamente siempre que no existe, para cada entero positivo n , una medida de probabilidad μ _{1 / n} tales ese

${\ Displaystyle \ mu _ {1 / n} ^ {* n} = \ mu.}$

Es decir, una medida es infinitamente divisible si es posible definir todas las raíces n . No todas las medidas de probabilidad son infinitamente divisibles, y una caracterización de medidas infinitamente divisibles es de importancia central en la teoría abstracta de los procesos estocásticos . Intuitivamente, una medida debe ser infinitamente divisible siempre que tenga un "logaritmo de convolución" bien definido. El candidato natural para las medidas que tienen tal logaritmo son las de tipo Poisson (generalizado) , dadas en la forma

${\ Displaystyle \ pi _ {\ alpha, \ mu} = e ^ {- \ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {n!}} \ mu ^ {* n}.}$

De hecho, el teorema de Lévy-Khinchin establece que una condición necesaria y suficiente para que una medida sea infinitamente divisible es que debe estar en el cierre, con respecto a la topología vaga , de la clase de medidas de Poisson ( Stroock 1993 , §3.2 ).

Muchas aplicaciones del poder de convolución se basan en poder definir el análogo de las funciones analíticas como series de poder formales con poderes reemplazados por el poder de convolución. Por tanto, si es una función analítica, entonces uno quisiera poder definir ${\ Displaystyle \ textstyle {F (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}}$

${\ Displaystyle F ^ {*} (x) = a_ {0} \ delta _ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {* n}.}$

Si x  ∈  L ¹ ( R ^d ) o más generalmente es una medida de Borel finita en R ^d , entonces la última serie converge absolutamente en la norma siempre que la norma de x sea ​​menor que el radio de convergencia de la serie original que define F ( z ). En particular, es posible que tales medidas definan el exponencial convolucional

${\ Displaystyle \ exp ^ {*} (x) = \ delta _ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {* n}} {n!}}. }$

En general, no es posible extender esta definición a distribuciones arbitrarias, aunque Ben Chrouda, El Oued y Ouerdiane (2002) identifican una clase de distribuciones en las que esta serie aún converge en un sentido débil apropiado .

Propiedades

Si x es en sí mismo adecuadamente diferenciable, entonces las propiedades de convolución, uno tiene

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} {\ big \ {} x ^ {* n} {\ big \}} = ({\ mathcal {D}} x) * x ^ {* (n-1)} = x * {\ mathcal {D}} {\ big \ {} x ^ {* (n-1)} {\ big \}}}$

donde denota el operador derivado . Específicamente, esto es válido si x es una distribución con soporte compacto o se encuentra en el espacio de Sobolev W ^1,1 para garantizar que la derivada sea lo suficientemente regular para que la convolución esté bien definida. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Aplicaciones

En el gráfico aleatorio de configuración, la distribución de tamaño de los componentes conectados se puede expresar a través del poder de convolución de la distribución de grados en exceso ( Kryven (2017) ):

${\ Displaystyle w (n) = {\ begin {cases} {\ frac {\ mu _ {1}} {n-1}} u_ {1} ^ {* n} (n-2), & n> 1, \\ u (0) & n = 1. \ end {cases}}}$

Aquí, es la distribución de tamaño para los componentes conectados, es la distribución de grados en exceso y denota la distribución de grados . ${\ Displaystyle w (n)}$${\ Displaystyle u_ {1} (k) = {\ frac {k + 1} {\ mu _ {1}}} u (k + 1),}$${\ Displaystyle u (k)}$

Como las álgebras de convolución son casos especiales de las álgebras de Hopf , el poder de convolución es un caso especial de la potencia (ordinaria) en un álgebra de Hopf. En aplicaciones a la teoría cuántica de campos , la convolución exponencial, el logaritmo de convolución y otras funciones analíticas basadas en la convolución se construyen como series de potencias formales en los elementos del álgebra ( Brouder, Frabetti & Patras 2008 ). Si, además, el álgebra es un álgebra de Banach , entonces la convergencia de la serie se puede determinar como se indicó anteriormente. En el entorno formal, identidades familiares como

${\ Displaystyle x = \ log ^ {*} (\ exp ^ {*} x) = \ exp ^ {*} (\ log ^ {*} x)}$

continuar aguantando. Además, por la permanencia de las relaciones funcionales, se mantienen a nivel de funciones, siempre que todas las expresiones estén bien definidas en un conjunto abierto por series convergentes.

Ver también

• Circunvolución
• Teorema de convolución
• Transformada de Fourier
• Serie de taylor

Referencias

• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tome II , Herman, París.
• Horváth, John (1966), Espacios y distribuciones vectoriales topológicas , Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, EE. UU..
• Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), "Cálculo de convolución y aplicaciones a ecuaciones diferenciales estocásticas", Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). "Descomposición en funciones verdes irreductibles de una partícula en la física de muchos cuerpos". arXiv : 0803.3747 ..
• Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Vol. II. , Segunda edición, Nueva York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), teoría de la probabilidad, una visión analítica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR  1267569.
• Kryven, I (2017), "Expresión general para la distribución del tamaño de los componentes en redes de configuración infinita", Physical Review E , 95 : 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103 / physreve.95.052303 , PMID  28618550.