Convolutiekracht - Convolution power

In de wiskunde is de convolutiekracht de n- voudige iteratie van de convolutie met zichzelf. Dus als is een functie op Euclidische ruimte R ^d en is een natuurlijk getal , dan wordt de convolutiekracht gedefinieerd door ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}$

waarbij * de convolutiebewerking van functies op R ^d aangeeft en δ ₀ de Dirac-deltaverdeling is . Deze definitie is zinvol als x een integreerbare functie is (in L ¹ ), een snel afnemende verdeling (in het bijzonder een compact ondersteunde verdeling) of een eindige Borel-maat is .

Als x de verdelingsfunctie is van een willekeurige variabele op de reële lijn, dan geeft de n ^de convolutiemacht van x de verdelingsfunctie van de som van n onafhankelijke willekeurige variabelen met identieke verdeling x . De centrale limietstelling stelt dat als x in L ¹ en L ^{2 is} met gemiddelde nul en variantie σ ² , dan

${\displaystyle P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}<\beta \right)\to \Phi (\beta)\quad {\rm { {als}\ n\to \infty }}}$

waarbij Φ de cumulatieve standaardnormale verdeling op de reële lijn is. Equivalent neigt zwak naar de standaard normale verdeling. ${\displaystyle x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}}$

In sommige gevallen is het mogelijk om krachten te definiëren x ^{* t} voor willekeurige real t  > 0. Als μ een waarschijnlijkheidmaat , dan μ is oneindig deelbaar ontvangen bestaat voor elk positief geheel getal n , een waarschijnlijkheidmaat μ _{1 / n} zodanig Dat

${\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu.}$

Dat wil zeggen, een maat is oneindig deelbaar als het mogelijk is om alle n de wortels te definiëren . Niet elke kansmaat is oneindig deelbaar, en een karakterisering van oneindig deelbare maten is van centraal belang in de abstracte theorie van stochastische processen . Intuïtief zou een maat oneindig deelbaar moeten zijn, op voorwaarde dat deze een goed gedefinieerde 'convolutielogaritme' heeft. De natuurlijke kandidaat voor maten met een dergelijke logaritme zijn die van het (gegeneraliseerde) Poisson- type, gegeven in de vorm

${\displaystyle \pi _{\alpha,\mu}=e^{-\alpha}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\alpha ^{n}}{n!}} \mu ^{*n}.}$

In feite stelt de stelling van Lévy-Khinchin dat een noodzakelijke en voldoende voorwaarde om een ​​maat oneindig deelbaar te maken, is dat deze moet liggen in de afsluiting, met betrekking tot de vage topologie , van de klasse van Poisson-maten ( Stroock 1993 , §3.2). ).

Veel toepassingen van de convolutiekracht zijn afhankelijk van het kunnen definiëren van de analoog van analytische functies als formele machtreeksen met bevoegdheden die in plaats daarvan worden vervangen door de convolutiekracht. Dus als is een analytische functie, dan zou men willen kunnen definiëren: ${\displaystyle \textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}}$

${\displaystyle F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.}$

Als x  ∈  L ¹ ( R ^d ) of meer in het algemeen een eindige Borel-maat is op R ^d , dan convergeert de laatste reeks absoluut in norm op voorwaarde dat de norm van x kleiner is dan de convergentiestraal van de oorspronkelijke reeks die F definieert ( z ). In het bijzonder is het voor dergelijke maatregelen mogelijk om de convolutionele exponentiële . te definiëren

${\displaystyle \exp ^{*}(x)=\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{*n}}{n!}}. }$

Het is over het algemeen niet mogelijk om deze definitie uit te breiden tot willekeurige verdelingen, hoewel Ben Chruda, El Oued & Ouerdiane (2002) een klasse van verdelingen waarnaar deze reeks nog steeds in een geschikte zwakke zin convergeert, wordt geïdentificeerd .

Eigendommen

Als x zelf voldoende differentieerbaar is, dan hebben de eigenschappen van convolutie, één:

${\displaystyle {\mathcal {D}}{\big \{}x^{*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)} =x*{\wiskundig {D}}{\big \{}x^{*(n-1)}{\big \}}}$

waarbij de afgeleide operator aangeeft . Dit geldt in het bijzonder als x een compact ondersteunde verdeling is of in de Sobolev-ruimte W ^{1,1 ligt} om ervoor te zorgen dat de afgeleide voldoende regelmatig is om de convolutie goed te definiëren. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Toepassingen

In de configuratie willekeurige grafiek, de grootteverdeling van verbonden componenten kan worden uitgedrukt via de convolutie kracht van de overmaat graaddistributie ( Kryven (2017) ):

${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1, \\u(0)&n=1.\end{cases}}}$

Hier is de grootteverdeling voor aangesloten componenten, is de overtollige graadverdeling en geeft de graadverdeling aan . ${\displaystyle w(n)}$${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),}$${\displaystyle u(k)}$

Omdat convolutie-algebra 's speciale gevallen van Hopf-algebra's zijn , is de convolutiekracht een speciaal geval van de (gewone) macht in een Hopf-algebra. In toepassingen op de kwantumveldentheorie worden de exponentiële convolutie, convolutielogaritme en andere analytische functies op basis van de convolutie geconstrueerd als formele machtreeksen in de elementen van de algebra ( Bouder, Frabetti & Patras 2008 ). Als bovendien de algebra een Banach-algebra is , kan de convergentie van de reeks worden bepaald zoals hierboven. In de formele setting zijn bekende identiteiten zoals:

${\displaystyle x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)}$

blijven houden. Bovendien houden ze, door de duurzaamheid van functionele relaties, stand op het niveau van functies, op voorwaarde dat alle uitdrukkingen goed gedefinieerd zijn in een open verzameling door convergente reeksen.

Zie ook

• Convolutie
• convolutie stelling
• Fourier-transformatie
• Taylor-serie

Referenties

• Schwartz, Laurent (1951), Theorie des Distributions, Tome II , Herman, Parijs.
• Horváth, John (1966), Topologische vectorruimten en distributies , Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, USA.
• Ben Chruda, Mohammed; El Oued, Mohammed; Ouerdiane, Habib (2002), "Convolutierekening en toepassingen op stochastische differentiaalvergelijkingen", Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375-388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Broer, christen; Frabetti, Alessandra; Patras, Frederic (2008). "Ontbinding in one-particle onherleidbare groene functies in veellichamenfysica". arXiv : 0803.3747 ..
• Feller, William (1971), Een inleiding tot de kansrekening en de toepassingen ervan. Vol. II. , Tweede editie, New York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), Kansrekening, een analytische kijk , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR  1267569.
• Kryven, I (2017), "Algemene uitdrukking voor componentgrootteverdeling in oneindige configuratienetwerken", Physical Review E , 95 : 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID  28618550.