Мощность свертки - Convolution power

В математике , то мощность свертки является п - кратная итерация свертки с самим собой. Таким образом, если - функция на евклидовом пространстве R ^d и является натуральным числом , то степень свертки определяется как ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle x ^ {* n} = \ underbrace {x * x * x * \ cdots * x * x} _ {n}, \ quad x ^ {* 0} = \ delta _ {0}}$

где * обозначает операцию свертки функций на R ^d, а δ ₀ - дельта-распределение Дирака . Это определение имеет смысл, если x - интегрируемая функция (в L ¹ ), быстро убывающее распределение (в частности, распределение с компактным носителем) или конечная борелевская мера .

Если x является функцией распределения случайной величины на действительной прямой, то n- ^я степень свертки x дает функцию распределения суммы n независимых случайных величин с идентичным распределением x . В центральной предельной теоремы гласит , что если х находится в L ¹ и L ² с нулевым средним и дисперсией сг ² , то

${\ displaystyle P \ left ({\ frac {x ^ {* n}} {\ sigma {\ sqrt {n}}}} <\ beta \ right) \ to \ Phi (\ beta) \ quad {\ rm { {as} \ n \ to \ infty}}}$

где Φ - кумулятивное стандартное нормальное распределение на реальной прямой. Эквивалентно слабо стремится к стандартному нормальному распределению. ${\ displaystyle x ^ {* n} / \ sigma {\ sqrt {n}}}$

В некоторых случаях можно определить степени x ^{* t} для произвольного вещественного t  > 0. Если μ - вероятностная мера , то μ бесконечно делима при условии, что для каждого натурального числа n существует вероятностная мера μ _{1 / n,} такая что

${\ displaystyle \ mu _ {1 / n} ^ {* n} = \ mu.}$

То есть мера безгранично делима, если можно определить все корни n- й степени. Не всякая вероятностная мера бесконечно делима, и характеристика безгранично делимых мер имеет центральное значение в абстрактной теории случайных процессов . Интуитивно мера должна быть бесконечно делимой при условии, что она имеет четко определенный «логарифм свертки». Естественным кандидатом для мер, имеющих такой логарифм, являются меры (обобщенного) пуассоновского типа, представленные в форме

${\ displaystyle \ pi _ {\ alpha, \ mu} = e ^ {- \ alpha} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {n!}} \ mu ^ {* n}.}$

Фактически, теорема Леви – Хинчина утверждает, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы мера была бесконечно делимой, состоит в том, что она должна лежать в замыкании по отношению к нечеткой топологии класса пуассоновских мер ( Stroock 1993 , §3.2). ).

Многие применения сверточной мощности полагаются на возможность определять аналог аналитических функций как формальные степенные ряды с заменой степеней на степень свертки. Таким образом, если - аналитическая функция, то можно было бы определить ${\ displaystyle \ textstyle {F (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}}$

${\ displaystyle F ^ {*} (x) = a_ {0} \ delta _ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {* n}.}$

Если x  ∈  L ¹ ( R ^d ) или, в более общем смысле, является конечной борелевской мерой на R ^d , то последний ряд сходится абсолютно по норме при условии, что норма x меньше радиуса сходимости исходного ряда, определяющего F ( z ). В частности, такие меры могут определять сверточную экспоненту

${\ displaystyle \ exp ^ {*} (x) = \ delta _ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {* n}} {n!}}. }$

Обычно невозможно распространить это определение на произвольные распределения, хотя класс распределений, на которых этот ряд все еще сходится в подходящем слабом смысле, идентифицирован Беном Хроудой, Эль Уэдом и Уэрдианом (2002) .

Характеристики

Если x сам подходяще дифференцируем, то свойства свертки:

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} {\ big \ {} x ^ {* n} {\ big \}} = ({\ mathcal {D}} x) * x ^ {* (n-1)} = х * {\ mathcal {D}} {\ big \ {} x ^ {* (n-1)} {\ big \}}}$

где обозначает производный оператор. В частности, это верно, если x является распределением с компактным носителем или лежит в пространстве Соболева W ^1,1, чтобы гарантировать, что производная достаточно регулярна для того, чтобы свертка была корректно определена. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Приложения

В случайном графе конфигурации распределение связанных компонентов по размерам может быть выражено через степень свертки распределения избыточных степеней ( Кривен (2017) ):

${\ displaystyle w (n) = {\ begin {cases} {\ frac {\ mu _ {1}} {n-1}} u_ {1} ^ {* n} (n-2), & n> 1, \\ u (0) & n = 1. \ end {case}}}$

Здесь - распределение по размерам для соединенных компонентов, - это распределение избыточных степеней и обозначает распределение степеней . ${\ Displaystyle ш (п)}$${\ Displaystyle и_ {1} (к) = {\ гидроразрыва {к + 1} {\ му _ {1}}} и (к + 1),}$${\ Displaystyle и (к)}$

Поскольку свёрточные алгебры являются частными случаями алгебр Хопфа , свёрточная степень является частным случаем (обычной) степени в алгебре Хопфа. В приложениях к квантовой теории поля экспонента свертки, логарифм свертки и другие аналитические функции, основанные на свертке, строятся как формальные степенные ряды в элементах алгебры ( Brouder, Frabetti & Patras, 2008 ). Если, кроме того, алгебра является банаховой алгеброй , то сходимость ряда можно определить, как указано выше. В формальной обстановке знакомые личности, такие как

${\ displaystyle x = \ log ^ {*} (\ exp ^ {*} x) = \ exp ^ {*} (\ log ^ {*} x)}$

продолжать удерживать. Более того, благодаря постоянству функциональных отношений, они сохраняются на уровне функций при условии, что все выражения четко определены в открытом наборе с помощью сходящихся рядов.

Смотрите также

• Свертка
• Теорема свертки
• преобразование Фурье
• Серия Тейлора

использованная литература

• Шварц, Лоран (1951), Теория распределений, Том II , Герман, Париж.
• Хорват, Джон (1966), Топологические векторные пространства и распределения , издательство Addison-Wesley Publishing Company: Рединг, Массачусетс, США.
• Бен Хроуда, Мохамед; Эль-Уэд, Мохамед; Ouerdiane, Habib (2002), "Исчисление сверток и приложения к стохастическим дифференциальным уравнениям", Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Броудер, Кристиан; Фрабетти, Алессандра; Патры, Фредерик (2008). «Разложение на одночастичные неприводимые функции Грина в физике многих тел». arXiv : 0803.3747 ..
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Строок, Дэниел В. (1993), теория вероятностей, аналитический взгляд , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, Руководство по ремонту  1267569.
• Кривен, I (2017), «Общее выражение для распределения размеров компонентов в сетях с бесконечной конфигурацией», Physical Review E , 95 : 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103 / Physreve.95.052303 , PMID  28618550.