Puissance de convolution - Convolution power

En mathématiques , la puissance de convolution est l' itération n fois de la convolution avec elle-même. Ainsi, si est une fonction sur l' espace euclidien R ^d et est un nombre naturel , alors la puissance de convolution est définie par ${\style d'affichage x}$ ${\style d'affichage n}$

${\displaystyle x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}$

où * désigne l'opération de convolution des fonctions sur R ^d et δ ₀ est la distribution delta de Dirac . Cette définition a du sens si x est une fonction intégrable (dans L ¹ ), une distribution rapidement décroissante (en particulier, une distribution à support compact) ou est une mesure de Borel finie .

Si x est la fonction de distribution d'une variable aléatoire sur la droite réelle, alors la n ^ième puissance de convolution de x donne la fonction de distribution de la somme de n variables aléatoires indépendantes de distribution identique x . Le théorème central limite stipule que si x est dans L ¹ et L ² avec une moyenne nulle et une variance ² , alors

${\displaystyle P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}<\beta \right)\to \Phi (\beta )\quad {\rm { {comme}\ n\à \infty }}}$

où est la distribution normale standard cumulée sur la ligne réelle. De manière équivalente, tend faiblement vers la distribution normale standard. ${\displaystyle x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}}$

Dans certains cas, il est possible de définir des puissances x ^{* t} pour un réel arbitraire t  > 0. Si μ est une mesure de probabilité , alors μ est divisible à l'infini pourvu qu'il existe, pour chaque entier positif n , une mesure de probabilité μ _{1/ n} telle cette

${\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu .}$

C'est-à-dire qu'une mesure est divisible à l'infini s'il est possible de définir toutes les racines n ièmes. Toutes les mesures de probabilité ne sont pas infiniment divisibles, et une caractérisation des mesures infiniment divisibles est d'une importance centrale dans la théorie abstraite des processus stochastiques . Intuitivement, une mesure devrait être divisible à l'infini à condition qu'elle ait un "logarithme de convolution" bien défini. Les candidats naturels pour les mesures ayant un tel logarithme sont ceux de type Poisson (généralisé) , donnés sous la forme

${\displaystyle \pi _{\alpha ,\mu }=e^{-\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}} \mu ^{*n}.}$

En fait, le théorème de Lévy-Khinchin énonce qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une mesure soit divisible à l'infini est qu'elle doit résider dans la fermeture, par rapport à la topologie vague , de la classe des mesures de Poisson ( Stroock 1993 , §3.2 ).

De nombreuses applications de la puissance de convolution reposent sur la possibilité de définir l'analogue des fonctions analytiques comme des séries de puissances formelles avec des puissances remplacées à la place par la puissance de convolution. Ainsi, si est une fonction analytique, alors on aimerait pouvoir définir ${\displaystyle \textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}}$

${\displaystyle F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.}$

Si x  ∈  L ¹ ( R ^d ) ou plus est généralement une mesure de Borel finie sur R ^d , puis cette dernière série absolument convergente dans la norme à condition que la norme de x est inférieur au rayon de convergence de la série originale définissant F ( z ). En particulier, il est possible pour de telles mesures de définir l' exponentielle convolutive

${\displaystyle \exp ^{*}(x)=\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{*n}}{n!}}. }$

Il n'est généralement pas possible d'étendre cette définition à des distributions arbitraires, bien qu'une classe de distributions vers laquelle cette série converge encore dans un sens faible approprié soit identifiée par Ben Chrouda, El Oued & Ouerdiane (2002) .

Propriétés

Si x est lui-même convenablement différentiable, alors les propriétés de convolution, on a

${\displaystyle {\mathcal {D}}{\grand \{}x^{*n}{\grand \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)} =x*{\mathcal {D}}{\grand \{}x^{*(n-1)}{\grand \}}}$

où désigne l' opérateur dérivé . Plus précisément, cela est vrai si x est une distribution à support compact ou se situe dans l' espace de Sobolev W ^1,1 pour s'assurer que la dérivée est suffisamment régulière pour que la convolution soit bien définie. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Applications

Dans le graphe aléatoire de configuration, la distribution de taille des composantes connexes peut être exprimée via la puissance de convolution de la distribution de degré d' excès ( Kryven (2017) ) :

${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1, \\u(0)&n=1.\end{cas}}}$

Ici, est la distribution de taille pour les composants connexes, est la distribution de degré en excès et désigne la distribution de degré . ${\style d'affichage w(n)}$${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),}$${\style d'affichage u(k)}$

Comme les algèbres de convolution sont des cas particuliers d' algèbres de Hopf , la puissance de convolution est un cas particulier de la puissance (ordinaire) dans une algèbre de Hopf. Dans les applications à la théorie quantique des champs , l'exponentielle de convolution, le logarithme de convolution et d'autres fonctions analytiques basées sur la convolution sont construites comme des séries formelles de puissances dans les éléments de l'algèbre ( Brouder, Frabetti & Patras 2008 ). Si, en plus, l'algèbre est une algèbre de Banach , alors la convergence de la série peut être déterminée comme ci-dessus. Dans le cadre formel, des identités familières telles que

${\displaystyle x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)}$

continuer à tenir. De plus, par la permanence des relations fonctionnelles, elles tiennent au niveau des fonctions, pourvu que toutes les expressions soient bien définies dans un ouvert par des séries convergentes.

Voir également

• Convolution
• Théorème de convolution
• transformée de Fourier
• Taylor série

Les références

• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tome II , Herman, Paris.
• Horváth, John (1966), Topological Vector Spaces and Distributions , Addison-Wesley Publishing Company : Reading, MA, États-Unis.
• Ben Chrouda, Mohamed ; El Oued, Mohamed ; Ouerdiane, Habib (2002), « Calcul de convolution et applications aux équations différentielles stochastiques », Soochow Journal of Mathematics , 28 (4) : 375-388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Broder, chrétien ; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). « Décomposition en fonctions vertes irréductibles à une particule dans la physique à plusieurs corps ». arXiv : 0803.3747 ..
• Feller, William (1971), Une introduction à la théorie des probabilités et ses applications. Vol. II. , Deuxième édition, New York : John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), La théorie des probabilités, une vue analytique , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR  1267569.
• Kryven, I (2017), "Expression générale pour la distribution de la taille des composants dans les réseaux à configuration infinie", Physical Review E , 95 : 052303 , arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID  28618550.