Konvoluční síla - Convolution power

V matematiky je konvoluce síla je n -násobnou iteraci konvoluce sama se sebou. Pokud je tedy funkcí v euklidovském prostoru R ^d a je přirozené číslo , pak je konvoluční síla definována vztahem ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle x^{*n} = \ underbrace {x*x*x*\ cdots*x*x} _ {n}, \ quad x^{*0} = \ delta _ {0}}$

kde * označuje konvoluční operaci funkcí na R ^d a δ ₀ je Diracova delta distribuce . Tato definice má smysl, pokud x je integrovatelná funkce (v L ¹ ), rychle se snižující distribuce (zejména kompaktně podporovaná distribuce) nebo je konečným Borelovým měřítkem .

Jestliže x je distribuční funkce náhodné proměnné na reálné ose, pak n ^-ta konvoluční síla x udává distribuční funkci součtu n nezávislých náhodných proměnných se shodným rozdělením x . V centrální limitní věta se uvádí, že pokud X je v L ¹ a L ² s průměrem nula a odchylkou å ² , poté

${\ Displaystyle P \ left ({\ frac {x^{*n}} {\ sigma {\ sqrt {n}}}} <\ beta \ right) \ to \ Phi (\ beta) \ quad {\ rm { {as} \ n \ to \ infty}}}$

kde Φ je kumulativní standardní normální rozdělení na skutečné linii. Ekvivalentně má tendenci slabě ke standardní normální distribuci. ${\ Displaystyle x^{*n}/\ sigma {\ sqrt {n}}}$

V některých případech je možné definovat mocniny x ^{* t} pro libovolný reálný t  > 0. Pokud μ je míra pravděpodobnosti , pak μ je nekonečně dělitelné za předpokladu, že existuje, pro každé kladné celé číslo n , míra pravděpodobnosti μ _{1/ n} taková že

${\ Displaystyle \ mu _ {1/n}^{*n} = \ mu.}$

To znamená, že opatření je nekonečně dělitelné, zda je možné definovat všechny n th kořeny. Ne každé měřítko pravděpodobnosti je nekonečně dělitelné a charakteristika nekonečně dělitelných opatření má v abstraktní teorii stochastických procesů zásadní význam . Intuitivně by míra měla být nekonečně dělitelná za předpokladu, že má dobře definovaný „konvoluční logaritmus“. Přirozeným kandidátem na opatření s takovým logaritmem jsou (generalizovaný) Poissonův typ, uvedený ve formě

${\ Displaystyle \ pi _ {\ alpha, \ mu} = e^{-\ alpha} \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {\ alpha^{n}} {n!}} \ mu ^{*n}.}$

Ve skutečnosti je Lévy-Khinchin teorém říká, že nutnou a dostačující podmínkou pro opatření, které má být nekonečně dělitelné je to, že musí ležet v uzávěru, s ohledem na nejasnou topologii , na třídě Poisson opatření ( Stroock 1993 , §3.2 ).

Mnoho aplikací konvoluční síly spoléhá na to, že dokážou definovat analog analytických funkcí jako formální mocninové řady s mocnostmi nahrazenými místo konvoluční síly. Pokud tedy jde o analytickou funkci, pak bychom chtěli umět definovat ${\ Displaystyle \ textstyle {F (z) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} z^{n}}}$

${\ Displaystyle F^{*} (x) = a_ {0} \ delta _ {0}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} a_ {n} x^{*n}.}$

Je -li x  ∈  L ¹ ( R ^d ) nebo obecněji konečným Borelovým měřítkem na R ^d , pak poslední řada absolutně konverguje v normě za předpokladu, že norma x je menší než poloměr konvergence původní řady definující F ( z ). Zejména je možné, aby taková opatření definovala konvoluční exponenciálu

${\ Displaystyle \ exp^{*} (x) = \ delta _ {0}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {x^{*n}} {n!}}. }$

Obecně není možné rozšířit tuto definici na libovolné distribuce, přestože třídu distribucí, na kterou se tato řada stále sbíhá ve vhodném slabém smyslu, označují Ben Chrouda, El Oued & Ouerdiane (2002) .

Vlastnosti

Pokud je x samo vhodně diferencovatelné, pak vlastnosti konvoluce má

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} {\ big \ {} x^{*n} {\ big \}} = ({\ mathcal {D}} x)*x^{*(n-1)} = x*{\ mathcal {D}} {\ velký \ {} x^{*(n-1)} {\ velký \}}}$

kde označuje derivační operátor. Konkrétně to platí, pokud x je kompaktně podporovaná distribuce nebo leží v Sobolevově prostoru W ^1,1, aby se zajistilo, že derivát je dostatečně pravidelný, aby byla konvoluce dobře definována. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Aplikace

V konfiguračním náhodném grafu lze distribuci velikosti připojených komponent vyjádřit pomocí konvoluční síly distribuce přebytečného stupně ( Kryven (2017) ):

${\ Displaystyle w (n) = {\ begin {cases} {\ frac {\ mu _ {1}} {n-1}} u_ {1}^{*n} (n-2), & n> 1, \\ u (0) & n = 1. \ end {cases}}}$

Zde je distribuce velikosti připojených komponent, je distribuce přebytečného stupně a označuje distribuci stupňů . ${\ Displaystyle w (n)}$${\ Displaystyle u_ {1} (k) = {\ frac {k+1} {\ mu _ {1}}} u (k+1),}$${\ Displaystyle u (k)}$

Protože konvoluční algebry jsou speciálními případy Hopfových algeber , konvoluční síla je zvláštním případem (obyčejné) síly v Hopfově algebře. V aplikacích na teorii kvantového pole jsou exponenciální konvoluce, logaritmus konvoluce a další analytické funkce založené na konvoluci konstruovány jako formální mocniny v prvcích algebry ( Brouder, Frabetti & Patras 2008 ). Pokud je navíc algebra Banachovou algebrou , pak konvergenci řady lze určit výše. Ve formálním prostředí jsou známé identity jako např

${\ Displaystyle x = \ log ^{*} (\ exp ^{*} x) = \ exp ^{*} (\ log ^{*} x)}$

držte dál Navíc trvalostí funkčních vztahů se drží na úrovni funkcí za předpokladu, že jsou všechny výrazy dobře definovány v otevřené sadě konvergentních řad.

Viz také

• Konvoluce
• Konvoluční věta
• Fourierova transformace
• Taylorova řada

Reference

• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tome II , Herman, Paris.
• Horváth, John (1966), Topological Vector Spaces and Distributions , Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, USA.
• Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), „Konvoluční kalkul a aplikace na stochastické diferenciální rovnice“, Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN  0250-3255 , MR  1953702.
• Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). „Rozklad na jednočásticově neredukovatelné zelené funkce ve fyzice mnoha těl“. arXiv : 0803,3747 ..
• Feller, William (1971), Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Sv. II. , Druhé vydání, New York: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), teorie pravděpodobnosti, analytický pohled , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, MR  1267569.
• Kryven, I (2017), „General expression for component-size distribution in infinite configuration networks“, Physical Review E , 95 : 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID  28618550.