Ställ in funktion - Set function

${\ displaystyle F \ i {\ mathcal {F}},}$

${\ displaystyle \ mu (F)}$

${\ displaystyle \ pm \ infty}$

I allmänhet antas det vanligtvis att det alltid

${\ displaystyle \ mu (E)+\ mu (F)}$

${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}},}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle -\ infty}$

${\ displaystyle +\ infty}$

${\ displaystyle \ mu}$

Ange skillnadsformel :definieras med${\ displaystyle \ mu (F)-\ mu (E) = \ mu (F \ setminus E) {\ text {när}} \ mu (F)-\ mu (E)}$${\ displaystyle E, F \ i {\ mathcal {F}} {\ text {som uppfyller}} E \ subseteq F {\ text {och}} F \ setminus E \ i {\ mathcal {F}}.}$

En uppsättning kallas a${\ displaystyle F \ i {\ mathcal {F}}}$nullset (med avseende på) eller helt enkelt${\ displaystyle \ mu}$null om När som helstochinte är identiskt lika med antingenellerdå antas det vanligtvis också att: ${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$${\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle +\ infty}$

• noll tom uppsättning :${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$

En inställd funktion på sägs vara ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

• icke-negativ om den värderas in${\ displaystyle [0, \ infty].}$
• slutligen additiv omför alla

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i} \ höger)}$

${\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}.}$

• Om är stängd i binära

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i }\höger)}$

${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}}$

• om den inte är oändlig måste denna serie också

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ vänster | \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger) \ höger |}$

${\ displaystyle \ mu}$

• Som med alla konvergenta serier av reella tal, genom Riemann -seriens sats , konvergerar serien absolut om och endast om dess summa inte beror på ordningsorden (en egenskap som kallas

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i }\höger)}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ left (F_ {i} \ right)> 0}} \ mu \ left (F_ {i} \ right) \; {\ text {och}} \; \ sum _ {\ stackrel {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ vänster (F_ {i} \ höger) <0}} \ mu \ vänster (F_ {i }\höger)\;}$

${\ displaystyle \ mu}$

a mäta om detär icke-negativt, räknat additivt och uppfyller(förutsatt).${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$${\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {F}}}$

a undertecknat mått omär avsevärt additivt, uppfyller(förutsätter) ochtar inte på sig bådeochsom värden.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$${\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle +\ infty}$

a sannolikhetsmått om det är ett mått som har enmassaav${\ displaystyle 1.}$

monoton omnär som helsttillfredsställa${\ displaystyle \ mu (E) \ leq \ mu (F)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle E \ subseteq F.}$

slutligen subadditiv omför alla ändliga sekvensersom tillfredsställer${\ displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1}^{n} \ vänster | \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger) \ höger |}$${\ displaystyle F, F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i}.}$

betydligt subadditiv omför alla sekvenseriden tillfredsställer${\ displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ vänster | \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger) \ höger |}$${\ displaystyle F, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i}.}$

Som beskrivs i denna artikel är det för alla familjer av

${\ displaystyle \ left (r_ {i} \ right) _ {i \ i I}}$

${\ displaystyle I,}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i},}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ pm \ infty}$

${\ displaystyle r_ {i} = 0}$

${\ displaystyle i \ i I}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i} = 0;}$

${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ i I} {r_ {i}> 0}} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ i I} {r_ {i} <0}} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ left \ {i \ i I: r_ {i} \ neq 0 \ right \}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i} = 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i} = \ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i}+\ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i} = \ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i}}$

${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger)}$

${\ displaystyle \ left (F_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger)}$

Andra relaterade fastigheter

En uppsatt funktion sägs vara ${\ displaystyle \ mu}$

• modulär omför alltsådant${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) = \ mu (E)+\ mu (F)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
  • Varje slutligen additiv funktion i ett uppsättningsfält är modulär.
• submodulär omför alltsådant${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) \ leq \ mu (E)+\ mu (F)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
• komplett om när som helstdå${\ displaystyle F \ i {\ mathcal {F}} {\ text {uppfyller}} \ mu (F) = 0 {\ text {och}} N \ subseteq F}$${\ displaystyle N \ i {\ mathcal {F}} {\ text {och}} \ mu (N) = 0.}$
  • Till skillnad från de flesta andra egenskaper beror den här egenskapen på båda och värden.${\ displaystyle \ operatorname {domain} \ mu = {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu}$
• 𝜎-finite om det finns en sekvensi ensådan somär ändlig för varje indexoch även${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu \ vänster (F_ {i} \ höger)}$${\ displaystyle i,}$${\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} F_ {n} = \ bigcup _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F.}$
• kontinuerligt underifrån omför alla

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right )}}$

${\ displaystyle F_ {1} \ supseteq F_ {2} \ supseteq F_ {3} \ cdots \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}$

Topologi relaterade definitioner

Om en

${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ mu}$

• ${\ displaystyle \ tau}$-additive omnärhelstär

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup {\ mathcal {D}} \ right) = \ sup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} \ mu (D)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subseteq \ tau \ cap {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$

${\ displaystyle \ bigcup {\ mathcal {D}}: = \ bigcup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} D \ i {\ mathcal {F}}.}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$är riktat med avseende på om och endast om det inte är tom för alla det finns någon sådan att och${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle C \ i {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle A \ subseteq C}$${\ displaystyle B \ subseteq C.}$

inre regelbundna ellertätt om för varje${\ displaystyle F \ i {\ mathcal {F}},}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = \ sup \ {\ mu (K): F \ supseteq K {\ text {med}} K \ i {\ mathcal {F}} {\ text {en kompakt delmängd av}} (\ Omega, \ tau) \}.}$

yttre regelbunden om för varje${\ displaystyle F \ i {\ mathcal {F}},}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = \ inf \ {\ mu (U): F \ subseteq U {\ text {och}} U \ i {\ mathcal {F}} \ cap \ tau \}.}$

lokalt begränsad om det för varje punktfinns ett grannskapvid denna punkt så att detär ändligt.${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle U \ i {\ mathcal {F}} \ cap \ tau}$${\ displaystyle \ mu (U)}$

Förhållanden mellan uppsatta funktioner

Om är två uppsatta funktioner över då: ${\ displaystyle \ mu {\ text {och}} \ nu}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle \ mu}$ sägs vara absolut kontinuerlig med avseende på${\ displaystyle \ nu}$ellerdomineras av${\ displaystyle \ nu}$, skrivenom för varje uppsättningsom tillhör domänen för bådaomdå${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mu {\ text {och}} \ nu,}$${\ displaystyle \ nu (F) = 0}$${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$
  • Om och är

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mu} {d \ nu}}}$

${\ displaystyle F,}$

$${\ displaystyle \ mu (F) = \ int _ {F} {\ frac {d \ mu} {d \ nu}} d \ nu.}$$

${\ displaystyle \ mu {\ text {och}} \ nu}$ är singular , skrivenom det finns olikartade uppsättningarochinom domänerna försådana somför allainom domänen förochför allainom domänen för${\ displaystyle \ mu \ perp \ nu,}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mu {\ text {och}} \ nu}$${\ displaystyle M \ cup N = \ Omega,}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = 0}$${\ displaystyle F \ subseteq M}$${\ displaystyle \ mu,}$${\ displaystyle \ nu (F) = 0}$${\ displaystyle F \ subseteq N}$${\ displaystyle \ nu.}$

Exempel

Exempel på uppsatta funktioner inkluderar:

• Funktionen
  $${\ displaystyle d (A) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {| A \ cap \ {1, \ ldots, n \} |} {n}},}$$

  
  Att tilldela densiteter till tillräckligt välskötta delmängder är en uppsättning funktion.${\ displaystyle A \ subseteq \ {1,2,3, \ ldots \},}$
• Den Lebesgue Åtgärden är en uppsättning funktion som anger ett icke-negativt reellt tal till någon uppsättning av reella tal, det vill säga i Lebesgue -algebra.${\ displaystyle \ sigma}$
• Ett sannolikhetsmått tilldelar varje uppsättning i en σ-algebra en sannolikhet . Specifikt är sannolikheten för den tomma uppsättningen noll och sannolikheten för provutrymmet är med andra uppsättningar som ges sannolikheter mellan och${\ displaystyle 1,}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1.}$
• En möjlighetsmätning tilldelar ett antal mellan noll och ett till varje uppsättning i kraftsatsen för en viss uppsättning. Se möjlighetsteori .
• En slumpmässig uppsättning är en slumpmässig variabel med en uppsättning . Se artikeln random compact set .

Egenskaper

Utöka uppsättningsfunktioner från en semialgebra

Antag att det är en uppsatt funktion på en

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {d}: = \ {\ varnothing \} \ cup \ left \ {\ left (a_ {1}, b_ {1} \ right] \ times \ cdots \ times \ vänster (a_ {1}, b_ {1} \ höger] ~: ~-\ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty {\ text {för alla}} i = 1, \ ldots, d \ höger \}}$$

${\ displaystyle \ Omega: = \ mathbb {R} ^{d}}$

${\ displaystyle (a, b]: = \ {x \ in \ mathbb {R}: a <x \ leq b \}}$

${\ displaystyle -\ infty \ leq a <b \ leq \ infty.}$

${\ displaystyle \, \ leq \,}$

${\ displaystyle -\ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty}$

${\ displaystyle \, <\,}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{d};}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{d} \ i {\ mathcal {S}} _ {d}}$

${\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {S}} _ {d}}$

Om är

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ overline {\ mu}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ in \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}}$

$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ right): = \ mu \ left (F_ {1} \ right) +\ cdots +\ mu \ vänster (F_ {n} \ höger).}$$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}}),}$

$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) = {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ right) +\ cdots +{\ overline {\ mu}} \ vänster (A_ {n} \ höger).}$$

Om dessutom utökas verkligt värderat och

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ overline {\ mu}}}$

${\ displaystyle A, A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle A \ subseteq A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n},}$

$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) \ leq {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ right ) +\ cdots +{\ overline {\ mu}} \ vänster (A_ {n} \ höger).}$$

Se även

• Absolut kontinuitet (måttteori)
• Boolsk ring
• Carathéodorys kriterium
• δ -ring -Ringen  stängd under räknade korsningar
• Uppsättningsområde  - Algebraiskt begrepp i måttteori, även kallat en algebra av uppsättningar.
• Hahn sönderdelningssats
• Lebesgues sönderdelningssats
• π -system -Familj  av uppsättningar stängda under skärningspunkten
• Positiva och negativa uppsättningar
• Radon – Nikodym sats  - Uttrycker ett mått som en integrerad del av ett annat
• Ring av uppsättningar  - Familjen stängd under fackföreningar och relativa komplement
• σ-algebra-  Delmängder som stängs under komplement och räknbara fackföreningar
• Sigma-additiv set-funktion
• Sigma-ideal-  Familjen stängd under delmängder och räknade fackföreningar
• 𝜎-ring-  Ringen stängd under räknade fackföreningar
• Submodulär uppsättningsfunktion  - Funktion på delmängder som har en avtagande avkastningsegenskap

Anteckningar

Referenser

• Durrett, Richard (2019). Sannolikhet: Teori och exempel (PDF) . Cambridge -serien i statistisk och sannolikhetsmatematik. 49 (5: e upplagan). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Hämtad 5 november 2020 .
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Delar av funktionsteorin och funktionsanalys . Dover -böcker om matematik. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC  912495626 .
• AN Kolmogorov och SV Fomin (1975), Introductory Real Analysis , Dover. ISBN  0-486-61226-0
• Rudin, Walter (1991). Funktionell analys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

Vidare läsning

• Sobolev, VI (2001) [1994], "Set function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Vanlig uppsättningsfunktion på Encyclopedia of Mathematics

Denna uppsättningsteorirelaterade artikel är en stubbe . Du kan hjälpa Wikipedia genom att utöka den .

• v
• t
• e