Angi funksjon - Set function

${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}$

${\ displaystyle \ mu (F)}$

${\ displaystyle \ pm \ infty}$

Generelt antas det vanligvis at det alltid

${\ displaystyle \ mu (E)+\ mu (F)}$

${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}},}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle -\ infty}$

${\ displaystyle +\ infty}$

${\ displaystyle \ mu}$

Angi differensformel :er definert med${\ displaystyle \ mu (F)-\ mu (E) = \ mu (F \ setminus E) {\ text {when}} \ mu (F)-\ mu (E)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {satisfying}} E \ subseteq F {\ text {and}} F \ setminus E \ in {\ mathcal {F}}.}$

Et sett kalles a${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}}$null -sett (med hensyn til) eller ganske enkelt${\ displaystyle \ mu}$null hvis Hver gangoger ikke identisk lik entenellerså er det vanligvis også antatt at: ${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle +\ infty}$

• null tomt sett :${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$

En angitt funksjon på sies å være ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

• ikke-negativt hvis det er verdsatt i${\ displaystyle [0, \ infty].}$
• endelig additiv hvisfor alle

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i} \ Ikke sant)}$

${\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}.}$

• Hvis er lukket under binære

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i }\Ikke sant)}$

${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}}$

• Hvis den ikke er uendelig, må denne serien også

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ venstre (F_ {i} \ høyre)}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ left | \ mu \ left (F_ {i} \ right) \ right |}$

${\ displaystyle \ mu}$

• Som med enhver konvergent serie med reelle tall, ved Riemann -seriens teorem , konvergerer serien absolutt hvis og bare hvis summen ikke er avhengig av rekkefølgen av dens vilkår (en egenskap som kalles

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i }\Ikke sant)}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ left (F_ {i} \ right)> 0}} \ mu \ left (F_ {i} \ right) \; {\ text {og}} \; \ sum _ {\ stackrel {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ left (F_ {i} \ right) <0}} \ mu \ left (F_ {i }\Ikke sant)\;}$

${\ displaystyle \ mu}$

en måle hviser ikke-negativt, tellbart additiv og tilfredsstiller(forutsatt).${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$

en signert tiltak hvis deter adskillig additiv, tilfredsstiller(forutsetter), ogikke tar på seg beggeogsom verdier.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle +\ infty}$

en sannsynlighetsmål hvis det er et mål som har enmassepå${\ displaystyle 1.}$

monotone hvisnårtilfredsstiller${\ displaystyle \ mu (E) \ leq \ mu (F)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle E \ subseteq F.}$

endelig subadditiv hvisfor alle endelige sekvensersom tilfredsstiller${\ displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1}^{n} \ venstre | \ mu \ venstre (F_ {i} \ høyre) \ høyre |}$${\ displaystyle F, F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i}.}$

utallige subadditive hvisfor alle sekvenseridet tilfredsstille${\ displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ left | \ mu \ left (F_ {i} \ right) \ right |}$${\ displaystyle F, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i}.}$

Som beskrevet i denne artikkelen , for enhver familie med

${\ displaystyle \ left (r_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle I,}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i},}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ pm \ infty}$

${\ displaystyle r_ {i} = 0}$

${\ displaystyle i \ i I}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i} = 0;}$

${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ i I} {r_ {i}> 0}} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ i I} {r_ {i} <0}} r_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ left \ {i \ in I: r_ {i} \ neq 0 \ right \}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i} = 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i} = \ sum _ {\ stackrel {i \ in I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i}+\ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i} = \ sum _ {\ stackrel {i \ i I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i}}$

${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ venstre (F_ {i} \ høyre)}$

${\ displaystyle \ left (F_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} \ mu \ venstre (F_ {i} \ høyre)}$

Andre beslektede eiendommer

En sett funksjon sies å være ${\ displaystyle \ mu}$

• modulær hvisfor altslikt${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) = \ mu (E)+\ mu (F)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
  • Hver endelig additive funksjon på et sett med sett er modulær.
• submodular hvisfor altslikt${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) \ leq \ mu (E)+\ mu (F)}$${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
• komplett hvis hver gangda${\ displaystyle F \ i {\ mathcal {F}} {\ text {tilfredsstiller}} \ mu (F) = 0 {\ text {og}} N \ subseteq F}$${\ displaystyle N \ i {\ mathcal {F}} {\ text {og}} \ mu (N) = 0.}$
  • I motsetning til de fleste andre eiendommer, avhenger denne egenskapen av begge og verdiene.${\ displaystyle \ operatorname {domain} \ mu = {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu}$
• 𝜎-endelig hvis det finnes en sekvensi enslik somer begrenset for hver indeksog også${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ mu \ venstre (F_ {i} \ høyre)}$${\ displaystyle i,}$${\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} F_ {n} = \ bigcup _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F.}$
• kontinuerlig nedenfra hvisfor alle

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right )}$

${\ displaystyle F_ {1} \ supseteq F_ {2} \ supseteq F_ {3} \ cdots \,}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}$

Topologi relaterte definisjoner

Hvis en

${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ mu}$

• ${\ displaystyle \ tau}$-additiv hvisdeter

${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup {\ mathcal {D}} \ right) = \ sup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} \ mu (D)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subseteq \ tau \ cap {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$

${\ displaystyle \ bigcup {\ mathcal {D}}: = \ bigcup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} D \ in {\ mathcal {F}}.}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$er rettet med hensyn til om og bare hvis det ikke er tomt og for alt finnes det noen slike som og${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle C \ i {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle A \ subseteq C}$${\ displaystyle B \ subseteq C.}$

indre vanlig ellertett hvis for hver${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = \ sup \ {\ mu (K): F \ supseteq K {\ tekst {med}} K \ i {\ mathcal {F}} {\ tekst {et kompakt delsett av}} (\ Omega, \ tau) \}.}$

ytre vanlig hvis for hver${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = \ inf \ {\ mu (U): F \ subseteq U {\ text {og}} U \ i {\ mathcal {F}} \ cap \ tau \}.}$

lokalt begrenset hvis det for hvert punkteksisterer et nabolagved dette punktet, slik at deter begrenset.${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {F}} \ cap \ tau}$${\ displaystyle \ mu (U)}$

Forhold mellom settfunksjoner

Hvis er to settfunksjoner over da: ${\ displaystyle \ mu {\ text {og}} \ nu}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle \ mu}$ sies å være absolutt kontinuerlig med hensyn til${\ displaystyle \ nu}$ellerdominert av${\ displaystyle \ nu}$, skrevethvis for hvert settsom tilhører domenet til beggehvisda${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mu {\ text {og}} \ nu,}$${\ displaystyle \ nu (F) = 0}$${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$
  • Hvis og er

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ mu} {d \ nu}}}$

${\ displaystyle F,}$

$${\ displaystyle \ mu (F) = \ int _ {F} {\ frac {d \ mu} {d \ nu}} d \ nu.}$$

${\ displaystyle \ mu {\ text {og}} \ nu}$ er entall , skrevethvis det eksisterer usammenhengende settogi domenene tilslik atfor allepå domenet tilogfor allepå domenet til${\ displaystyle \ mu \ perp \ nu,}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mu {\ text {og}} \ nu}$${\ displaystyle M \ cup N = \ Omega,}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = 0}$${\ displaystyle F \ subseteq M}$${\ displaystyle \ mu,}$${\ displaystyle \ nu (F) = 0}$${\ displaystyle F \ subseteq N}$${\ displaystyle \ nu.}$

Eksempler

Eksempler på settfunksjoner inkluderer:

• Funksjonen
  $${\ displaystyle d (A) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {| A \ cap \ {1, \ ldots, n \} |} {n}},}$$

  
  tilordne tettheter til tilstrekkelig veloppdragne undersett er en sett funksjon.${\ displaystyle A \ subseteq \ {1,2,3, \ ldots \},}$
• Den Lebesgue tiltaket er et sett funksjon som tilordner et ikke-negativt reelt tall til hvilket som helst sett av reelle tall, det vil si i Lebesgue -algebra.${\ displaystyle \ sigma}$
• Et sannsynlighetsmål tilordner en sannsynlighet til hvert sett i en σ-algebra . Spesielt er sannsynligheten for det tomme settet null, og sannsynligheten for prøveområdet er med andre sett gitt sannsynligheter mellom og${\ displaystyle 1,}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1.}$
• En mulighet mål tilordner et tall mellom null og en for hvert sett i den Powerset fra et gitt sett. Se mulighetsteori .
• Et tilfeldig sett er en tilfeldig variabel som er satt til verdi . Se artikkelen tilfeldig kompakt sett .

Egenskaper

Utvide settfunksjoner fra en semialgebra

Anta at det er en sett funksjon på en

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {d}: = \ {\ varnothing \} \ cup \ left \ {\ left (a_ {1}, b_ {1} \ right] \ times \ cdots \ times \ venstre (a_ {1}, b_ {1} \ høyre] ~: ~-\ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty {\ text {for alle}} i = 1, \ ldots, d \ right \}}$$

${\ displaystyle \ Omega: = \ mathbb {R} ^{d}}$

${\ displaystyle (a, b]: = \ {x \ in \ mathbb {R}: a <x \ leq b \}}$

${\ displaystyle -\ infty \ leq a <b \ leq \ infty.}$

${\ displaystyle \, \ leq \,}$

${\ displaystyle -\ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty}$

${\ displaystyle \, <\,}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{d};}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{d} \ in {\ mathcal {S}} _ {d}}$

${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {S}} _ {d}}$

Hvis det

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ overline {\ mu}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ in \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle F_ {i} \ i {\ mathcal {F}}}$

$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ right): = \ mu \ left (F_ {1} \ right) +\ cdots +\ mu \ venstre (F_ {n} \ høyre).}$$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}}),}$

$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) = {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ right) +\ cdots +{\ overline {\ mu}} \ venstre (A_ {n} \ høyre).}$$

Hvis i tillegg utvides ekte verdier og

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle {\ overline {\ mu}}}$

${\ displaystyle A, A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle A \ subseteq A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n},}$

$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) \ leq {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ right ) +\ cdots +{\ overline {\ mu}} \ venstre (A_ {n} \ høyre).}$$

Se også

• Absolutt kontinuitet (målteori)
• Boolsk ring
• Carathéodorys kriterium
• δ -ring -Ring  stengt under tellbare kryss
• Felt av settene  - Algebraisk konsept i måle teori, også referert til som en algebra av settene.
• Hahn nedbrytningssetning
• Lebesgue's dekomponeringsteorem
• π -system -Familie  av sett stengt under kryss
• Positive og negative sett
• Radon - Nikodym -setning  - Å uttrykke et mål som en integrert del av et annet
• Ring av sett  - Familie stengt under fagforeninger og pårørendekompletter
• σ-algebra  -Delsett som er lukket under komplement og tellbare fagforeninger
• Sigma-additiv settfunksjon
• Sigma-ideal  -Familie stengt under undergrupper og tellbare fagforeninger
• 𝜎-ring  -Ring stengt under tellbare fagforeninger
• Submodulær settfunksjon  - Funksjon på delsett som har en avtagende