Aseta toiminto - Set function

Matematiikan, erityisesti mitata teoria , joka on asetettu funktio on funktio , jonka domeeni on perhe on osajoukkoja jonkin tietyn joukon, ja että (yleensä) ottaa sen arvot laajennettu reaalilukujoukko joka koostuu todellinen määrä ja ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty.}$

Joukkofunktion tarkoituksena on yleensä mitata osajoukkoja jollakin tavalla. Mittaukset ovat tyypillisiä esimerkkejä joukkotoimintojen "mittaamisesta". Siksi termiä "asetettu toiminto" käytetään usein välttämään sekaannuksia "mitta" -matemaattisen merkityksen ja sen yleisen kielen merkityksen välillä.

Määritelmät

Jos on perhe sarjaa yli sitten joukko toiminto on toiminto , jossa domeenin ja maalijoukko tai toisinaan myös maalijoukko on sen sijaan jonkin verran vektori tilaa , kuten vektori toimenpiteitä , monimutkaisia toimenpiteitä , ja projektio-arvo toimenpiteitä . The ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle [-\ infty, \ infty]}$ sarjan vaihtelu on ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle | \ mu | (S): = \ sup \ {| \ mu (F) |: F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {and}} F \ subseteq S \}}

missä tarkoittaa absoluuttista arvoa (tai yleisemmin se tarkoittaa normia tai seminormia, jos se on vektoriarvostettu ( puoliksi ) normoidussa tilassa ). Olettaen, että silloin sitä kutsutaan

{\ displaystyle | \, \ cdot \, |}

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}: = \ bigcup _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ displaystyle | \ mu | \ vasen (\ cup {\ mathcal {F}} \ oikea)}

yhteensä vaihtelu onjaon nimeltään

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ cup {\ mathcal {F}} \ right)}

massa on joukko toiminto kutsutaan

{\ displaystyle \ mu.}

äärellinen, jos jokainenon äärellinen (eli ei ole yhtä suuri); jokaisella äärellisellä joukkofunktiolla on oltava rajallinenmassa.

{\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ displaystyle \ mu (F)}

{\ displaystyle \ pm \ infty}

Yleensä oletetaan tyypillisesti, että se on aina

hyvin määritelty kaikille tai vastaavasti, mikä ei ota molempia ja arvoja. Tässä artikkelissa oletetaan tästä lähtien; vaikka vaihtoehtoisesti kaikki alla olevat määritelmät voitaisiin sen sijaan täsmentää esimerkiksi "aina, kun summa/sarja määritellään". Tämä tehdään joskus vähentämällä, kuten seuraavalla tuloksella, joka pysyy aina, kun se on lopullisesti additiivinen :

{\ displaystyle \ mu (E)+\ mu (F)}

{\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle -\ infty}

{\ displaystyle +\ infty}

{\ displaystyle \ mu}

Aseta erokaava :määritetään painikkeella

{\ displaystyle \ mu (F)-\ mu (E) = \ mu (F \ setminus E) {\ text {when}} \ mu (F)-\ mu (E)}

{\ displaystyle E, F \ {\ mathcal {F}} {\ text {rahuldava}} E \ subseteq F {\ text {ja}} F \ setminus E \ in {\ mathcal {F}}.}

Joukkoa kutsutaan a ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}}$ nollajoukko (suhteessa) tai yksinkertaisesti ${\ displaystyle \ mu}$ null jos Ainajaei ole identtinen kummankaan kanssataisitten oletetaan tyypillisesti myös, että: ${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle -\ infty}$ ${\ displaystyle +\ infty}$

tyhjä tyhjä sarja : ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$

Joukko toiminto on sanotaan olevan ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

ei-negatiivinen, jos se arvostetaan ${\ displaystyle [0, \ infty].}$
äärellisesti additiivinen, joskaikille

pareittain hajoavilleäärellisille sekvensseilleniin, että

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i} \ oikea)}

{\ displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}.}

Jos on suljettu binary

ammattiliitot sitten on äärellinen additiivisia jos ja vain jos kaikki erilliset parien

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ mu (E \ cup F) = \ mu (E)+\ mu (F)}

{\ displaystyle E, F \ {{matematiikassa {F}}.}

Jos on rajallisesti additiivinen ja jos sitten ottaminen osoittaa, että mikä on mahdollista vain jos tai missä jälkimmäisessä tapauksessa, jokaiselle (joten vain tapaus on hyödyllinen).

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle E: = F: = \ varnothing}

{\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ mu (\ varnothing)+\ mu (\ varnothing)}

{\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ pm \ infty,}

{\ displaystyle \ mu (E) = \ mu (E \ cup \ varnothing) = \ mu (E)+\ mu (\ varnothing) = \ mu (E)+(\ pm \ infty) = \ pm \ infty}

{\ displaystyle E \ {matematiikassa {F}}}

{\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

laskettavissa oleva lisäaine taiσ-additiivinen, jos se on äärellisesti additiivinen ja myöskaikille

pareittain hajoavillesekvensseillesiten, ettäja missä vaaditaan myös, että:

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i } \ oikein)}

{\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}}

jos se ei ole ääretön, tämän sarjan on myös

lähentyttävä ehdottomasti , mikä määritelmän mukaan tarkoittaa, että sen on oltava äärellinen. Tämä pitää automaattisesti paikkansa, jos se ei ole negatiivinen .

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}

{\ displaystyle \ summa _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea)}

{\ displaystyle \ summa _ {i = 1}^{\ infty} \ vasen | \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea) \ oikea |}

{\ displaystyle \ mu}

Kuten mikä tahansa lähentyvä reaalilukusarja, Riemann -sarjan lauseen mukaan sarja yhtyy ehdottomasti silloin ja vain, jos sen summa ei riipu sen ehtojen järjestyksestä (ominaisuus, joka tunnetaan

ehdottomana lähentymisenä ). Ehdoton lähentyminen tarkoittaa nimenomaisesti, että jos tapahtuu permutaatio / bijection , tämä takaa, että joukkojen uudelleenmerkitseminen / uudelleenjärjestäminen uuteen järjestykseen ei vaikuta niiden toimenpiteiden summaan; tämä on kohtuullinen vaatimus, koska aivan kuten liitto ei ole riippuvainen näiden sarjojen järjestyksestä (toisin sanoen koska ), on kohtuullista odottaa sitä ja sitä (tämä todellakin osoittaa, että tässä tapauksessa, jossa se ei ole ääretön, ehdotonta lähentymistä edellyttää itse asiassa määrittelevä vaatimus, joka koskee kaikkia pareittain erotettavia sekvenssejä ).

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right): = \ lim _ {N \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {1} \ oikea)+\ mu \ vasen (F_ {2} \ oikea)+\ cdots \ mu \ vasen (F_ {N} \ oikea)}

{\ displaystyle \ rho: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ left (F _ {\ rho (i)} \ oikea).}

{\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots}

{\ displaystyle F _ {\ rho (1)}, F _ {\ rho (2)}, \ ldots}

{\ displaystyle F: = \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} F_ {i}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} = F = \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F _ {\ rho (i)}}

{\ displaystyle \ mu (F) = \ mu \ vasen (F_ {1} \ oikea)+\ mu \ vasen (F_ {2} \ oikea)+\ cdots}

{\ displaystyle \ mu (F) = \ mu \ left (F _ {\ rho (1)} \ right)+\ mu \ left (F _ {\ rho (2)} \ right)+\ cdots \,}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right) = \ summa _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ vasen (F_ {i } \ oikein)}

{\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \, \ in {\ mathcal {F}}}

jos on ääretön, vaaditaan myös, että ainakin yhden sarjan arvo on äärellinen (jotta niiden arvojen summa on hyvin määritelty). Tämä pitää automaattisesti paikkansa, jos se

ei ole negatiivinen .

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right) = \ summa _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ vasen (F_ {i } \ oikein)}

{\ displaystyle \ sum _ {\ pino {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ left (F_ {i} \ right)> 0}} \ mu \ left (F_ {i} \ right) \; {\ text {ja}} \; \ summa _ {\ pino {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea) <0}} \ mu \ vasen (F_ {i } \ oikea) \;}

{\ displaystyle \ mu}

a mittaa, josse ei ole negatiivinen, laskettavissa oleva additiivinen ja tyydyttää(olettaen).

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}

a allekirjoitettu toimenpide, jos seon laskettavissa oleva additiivinen, tyydyttää(olettaen)eikä ota molempiajaarvoina.

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle -\ infty}

{\ displaystyle +\ infty}

a todennäköisyysmittari, jos se on mitta, jonkamassaon

{\ displaystyle 1.}

monotoninen josainatyydyttää

{\ displaystyle \ mu (E) \ leq \ mu (F)}

{\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle E \ subseteq F.}

äärellisesti alilisäys, joskaikki äärelliset sekvenssit,jotka täyttävät

{\ displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1}^{n} \ vasen | \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea) \ oikea |}

{\ displaystyle F, F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1}^{n} F_ {i}.}

numeroituvasti subadditive joskaikki sekvenssitvuonnajotka täyttävät

{\ displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ vasen | \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea) \ oikea |}

{\ displaystyle F, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i}.}

Kuten on kuvattu tässä artikkelissa , kaikki perheen ja

todellinen määrä indeksoitu mielivaltaisella indeksointi asettaa on mahdollista määritellä summaa yleisen sarjan , joka odotetusti merkitään (jos tämä raja on olemassa tai hajaantuu ). Esimerkiksi, jos jokaisen sitten taas, jos niin suppenee , jos ja vain jos suppenee ehdoitta (tai vastaavasti, suppenee täysin ). Tiedetään, että jos yleistetty sarja yhtyy tavanomaiseen euklidiseen topologiaan (mikä merkitsee sitä, että molemmat ja myös yhtyy elementteihin ), joukko on välttämättä laskettavissa (eli joko äärellinen tai laskettavissa ääretön ); tämä pitää paikkansa, jos se korvataan millä tahansa normaalilla tilalla . Tästä seuraa, että jos oikealla puolella oleva sarja on laskettavissa olevien reaalilukujen joukko. Niinpä johtuen luonteen todelliset luvut ja sen topologia, määritelmää " numeroituvasti lisäaine " on harvoin pidennetty numeroituvasti monta sarjaa vuonna (ja tavallista laskettavissa sarja ) mielivaltaisesti monta sarjaa (ja yleistynyt sarja ).

{\ displaystyle \ left (r_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle I,}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i},}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i}}

{\ displaystyle \ pm \ infty}

{\ displaystyle r_ {i} = 0}

{\ displaystyle i \ in I}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i} = 0;}

{\ displaystyle I = \ mathbb {N}}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ summa _ {i = 1}^{\ infty} r_ {i}}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ pino {i \ in I} {r_ {i}> 0}} r_ {i}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ pino {i \ in I} {r_ {i} <0}} r_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ left \ {i \ in I: r_ {i} \ neq 0 \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ pino {i \ in I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i} = 0}

{\ displaystyle \ summa _ {i \ in I} r_ {i} = \ summa _ {\ pino {i \ in I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i}+\ summa _ {\ pino {i \ in I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i} = \ summa _ {\ pino {i \ in I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i}}

{\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ summa _ {i = 1}^{\ infty} \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea)}

{\ displaystyle \ left (F_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea)}

Muut asiaan liittyvät kiinteistöt

Asetetun funktion sanotaan olevan ${\ displaystyle \ mu}$

modulaarinen, joskaikkisellainen ${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) = \ mu (E)+\ mu (F)}$ ${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) = \ mu (E)+\ mu (F)}$ ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
- Jokainen rajallisesti additiivinen funktio joukkojen kentällä on modulaarinen.
submodulaarinen, joskaikkisellaiset ${\ displaystyle \ mu (E \ cup F)+\ mu (E \ cap F) \ leq \ mu (E)+\ mu (F)}$ ${\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
Täydellinen jos ainaniin ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {täyttää}} \ mu (F) = 0 {\ text {ja}} N \ subseteq F}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {täyttää}} \ mu (F) = 0 {\ text {ja}} N \ subseteq F}$ ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {F}} {\ text {and}} \ mu (N) = 0.}$ ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {F}} {\ text {and}} \ mu (N) = 0.}$
- Toisin kuin useimmat muut ominaisuudet, tämä ominaisuus riippuu sekä ja arvoihin. ${\ displaystyle \ operaattorinimi {domain} \ mu = {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mu}$
σ-äärellinen , jos on olemassa sekvenssionsellainen, jokaon äärellinen jokainen indeksija myös ${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mu \ vasen (F_ {i} \ oikea)}$ ${\ displaystyle i,}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} F_ {n} = \ bigcup _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F.}$
jatkuva alhaalta, joskaikille

ei-vähenevillesarjoillesiten, että

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right )}

{\ displaystyle F_ {1} \ subseteq F_ {2} \ subseteq F_ {3} \ cdots \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}.}

jatkuva ylhäältä, joskaikille

ei-kasvavillesarjoilleniin, ettäjaon äärellinen.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right )}

{\ displaystyle F_ {1} \ supseteq F_ {2} \ supseteq F_ {3} \ cdots \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1}^{\ infty} F_ {i} \ right)}

Topologiaan liittyvät määritelmät

Jos on

topologia on sitten joukko funktio on sanottu olevan:

{\ displaystyle \ tau}

{\ displaystyle \ Omega}

{\ displaystyle \ mu}

${\ displaystyle \ tau}$ -lisäaine, josainaon

kohdistettusuhteessaja tyydyttää

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup {\ mathcal {D}} \ right) = \ sup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} \ mu (D)}

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subseteq \ tau \ cap {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \, \ subseteq \,}

{\ displaystyle \ bigcup {\ mathcal {D}}: = \ bigcup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} D \ in {\ mathcal {F}}.}

${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ on suunnattu suhteessa , jos ja vain jos se ei ole tyhjä, ja kaikkien olemassa joitakin siten, että ja ${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$ ${\ displaystyle A, B \ {matematiikassa {D}}}$ ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle A \ subseteq C}$ ${\ displaystyle B \ subseteq C.}$

sisäinen säännöllinen taitiukka jos joka kerta

{\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ displaystyle \ mu (F) = \ sup \ {\ mu (K): F \ supseteq K {\ text {with}} K \ {\ mathcal {F}} {\ text {kompakti osajoukko}} (\ Omega, \ tau) \}.}

ulkoinen säännöllinen, jos joka kerta

{\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ displaystyle \ mu (F) = \ inf \ {\ mu (U): F \ subseteq U {\ text {ja}} U \ {\ mathcal {F}} \ cap \ tau \}.}

säännöllinen, jos se on sekä sisäinen että ulkoinen säännöllinen.

paikallisesti äärellinen, jos jokaiselle pisteelleon olemassa jokintämän pisteennaapuruus, jokaon äärellinen.

{\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}

{\ displaystyle U \ in {\ mathcal {F}} \ cap \ tau}

{\ displaystyle \ mu (U)}

Radonin mitta, jos se on säännöllinen ja paikallisesti rajallinen mitta.

Asetettujen toimintojen väliset suhteet

Jos kaksi asetettua toimintoa on ohi : ${\ displaystyle \ mu {\ text {and}} \ nu}$ ${\ displaystyle \ Omega,}$

${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ sanotaan olevan ehdottomasti jatkuva suhteessa ${\ displaystyle \ nu}$ taihallitseva ${\ displaystyle \ nu}$ , kirjoitettujos jokaiselle joukolle,joka kuuluu molempien verkkotunnukseen,jossilloin ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$ ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$ ${\ displaystyle F}$ $F$ ${\ displaystyle \ mu {\ text {and}} \ nu,}$ ${\ displaystyle \ mu {\ text {and}} \ nu,}$ ${\ displaystyle \ nu (F) = 0}$ ${\ displaystyle \ nu (F) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$ ${\ displaystyle \ mu (F) = 0.}$
- Jos ja ovat

lopullisia mittauksia samalla mitattavalla avaruudella ja jos sitten Radon -Nikodym -johdannainen on olemassa ja jokaiselle mitattavalle

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ nu}

{\ displaystyle \ sigma}

{\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mu} {d \ nu}}}

{\ displaystyle F,}

{\ displaystyle \ mu (F) = \ int _ {F} {\ frac {d \ mu} {d \ nu}} d \ nu.}

{\ displaystyle \ mu {\ text {and}} \ nu}

ovat yksikössä , kirjallinenjos on olemassa erilliseen joukkoonjaohjelman aloillasiten, ettäkaikkienvuonna verkkotunnuksenjakaikkienDomain

{\ displaystyle \ mu \ perp \ nu,}

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle N}

{\ displaystyle \ mu {\ text {and}} \ nu}

{\ displaystyle M \ cup N = \ Omega,}

{\ displaystyle \ mu (F) = 0}

{\ displaystyle F \ subseteq M}

{\ displaystyle \ mu,}

{\ displaystyle \ nu (F) = 0}

{\ displaystyle F \ subseteq N}

{\ displaystyle \ nu.}

Esimerkkejä

Esimerkkejä asetetuista toiminnoista ovat:

Toiminto ${\ displaystyle d (A) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {| A \ cap \ {1, \ ldots, n \} |} {n}},}$ osoitetaan tiheydet riittävän hyvin käyttäytyviä osajoukkojen on joukko funktio. ${\ displaystyle A \ subseteq \ {1,2,3, \ ldots \},}$
Lebesguen mitta on joukko funktio, joka osoittaa ei-negatiivinen todellinen määrä minkä tahansa reaalilukujen joukko, joka on Lebesgue -algebra. ${\ displaystyle \ sigma}$
Todennäköisyys toimenpide määrittää todennäköisyyden sille, että kukin sarja on σ-algebran . Erityisesti, todennäköisyys tyhjä joukko on nolla ja todennäköisyys, että näytteen tila on muiden sarjaa annetaan todennäköisyydet välillä ja ${\ displaystyle 1,}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 1.}$
Mahdollisuusmitta antaa numeron nollan ja yhden välillä jokaiselle joukolle jonkin tietyn joukon tehosarjassa . Katso mahdollisuusteoria .
Satunnainen sarja on joukko-arvostettu satunnaismuuttuja . Katso artikkeli satunnainen kompakti sarja .

Ominaisuudet

Sarjafunktioiden laajentaminen semialgebraa

Oletetaan, että se on

joukkofunktio semialgebra over and let

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle \ Omega}

{\ displaystyle \ operaattorinimi {algebra} ({\ mathcal {F}}): = \ vasen \ {F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n}: n \ in \ mathbb {N} {\ text { ja}} F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}} {\ text {are pairwise disjoint}} \ right \},}

joka on algebran päälle syntyy arkkityyppisen esimerkki semialgebra, joka ei ole myös algebran on perheen

{\ displaystyle \ Omega}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {d}: = \ {\ varnothing \} \ cup \ left \ {\ left (a_ {1}, b_ {1} \ right] \ times \ cdots \ times \ vasen (a_ {1}, b_ {1} \ oikea] ~: ~-\ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty {\ text {for all}} i = 1, \ ldots, d \ oikea \}}

siitä , missä kaikki Tärkeää on, että kaksi ei-tiukat epätasa sisään ei voida korvata tiukkoja epätasa koska semialgebras on oltava koko taustalla joukko , joka on, on vaatimus semialgebras (kuten on ).

{\ displaystyle \ Omega: = \ mathbb {R} ^{d}}

{\ displaystyle (a, b]: = \ {x \ in \ mathbb {R}: a <x \ leq b \}}

{\ displaystyle -\ infty \ leq a <b \ leq \ infty.}

{\ displaystyle \, \ leq \,}

{\ displaystyle -\ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty}

{\ displaystyle \, <\,}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^{d};}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^{d} \ in {\ mathcal {S}} _ {d}}

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {S}} _ {d}}

Jos on

äärellinen lisäaine se on ainutlaatuinen laajennus asettaa toiminnon päälle määritellään lähettämällä (joten nämä ovat pairwise erillisiä ) vastaanottajalle:

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle {\ overline {\ mu}}}

{\ displaystyle \ operaattorinimi {algebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ displaystyle F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ in \ operaationimi {algebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ displaystyle F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ vasen (F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ right): = \ mu \ left (F_ {1} \ right) +\ cdots +\ mu \ vasen (F_ {n} \ oikea).}

Tämä laajennus on myös äärettömän additiivinen: kaikille pareittain hajotetuille

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operaationimi {algebra} ({\ mathcal {F}}),}

{\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ vasen (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) = {\ overline {\ mu}} \ vasen (A_ {1} \ oikea) +\ cdots +{\ overline {\ mu}} \ vasen (A_ {n} \ oikea).}

Jos lisäksi laajennetaan reaaliarvoinen ja

yksitoikkoinen (erityisesti jos näin on, jos se ei ole negatiivinen ), se on yksitoikkoinen ja rajallisesti alilisäys : mikä tahansa sellainen, että

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle \ mu}

{\ displaystyle {\ overline {\ mu}}}

{\ displaystyle A, A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operaattorinimi {algebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ displaystyle A \ subseteq A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n},}

{\ displaystyle {\ overline {\ mu}} \ vasen (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ oikea) \ leq {\ overline {\ mu}} \ vasen (A_ {1} \ oikea ) +\ cdots +{\ overline {\ mu}} \ vasen (A_ {n} \ oikea).}

Katso myös

Absoluuttinen jatkuvuus (mittausteoria)
Boolen rengas
Carathéodoryn kriteeri
$δ$ -rengas -rengas suljettu laskettavien risteysten alla
Joukkojen

kenttä - Algebrallinen käsite mittausteoriassa, jota kutsutaan myös joukkojen algebraksi.

Hahnin hajoamislause

Lebesguen hajoamislause

π

-järjestelmä -Joukkojen perhe, joka on suljettu leikkauksen alla

Positiiviset ja negatiiviset sarjat

Radon -Nikodym -lause - Mitta

ilmaistaan integraalina toisesta

Settirengas - Perhe suljettu liittojen ja sukulaisten toimesta

σ-algebra- Osajoukot, jotka on suljettu komplementtien ja laskennallisten liittojen alla

Sigma-lisäainetoiminto

Sigma-ideaali- Perhe suljettu alaryhmien ja laskennallisten liittojen alla

𝜎-rengas-rengas suljettu laskennallisten liittojen alla

Submodulaarinen joukkotoiminto -

Osajoukkojen toiminto , jolla on pienenevä palautusominaisuus

Huomautuksia

Viitteet

Durrett, Richard (2019). Todennäköisyys: teoria ja esimerkit (PDF) . Cambridge -sarja tilasto- ja todennäköisyysmatematiikassa. 49 (5. painos). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281 . Haettu 5. marraskuuta 2020 .
Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Funktioiden teorian ja funktionaalisen analyysin elementtejä . Doverin kirjat matematiikasta. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626 .
AN Kolmogorov ja SV Fomin (1975), Johdanto todelliseen analyysiin , Dover. ISBN 0-486-61226-0
Rudin, Walter (1991). Toiminnallinen analyysi . Kansainvälinen sarja puhtaasta ja sovelletusta matematiikasta. 8 (toinen painos). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .

Lue lisää

Sobolev, VI (2001) [1994], "Set function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Säännöllinen viritys on Encyclopedia of Mathematics

Tämä joukkoteoriaan liittyvä artikkeli on tynkä . Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla sitä .

Languages

In other projects