Delta -ring - Delta-ring

I matematik , en icke-tom samling av uppsättningar kallas en $δ$ -ring (uttalas " delta-ring ") om den är stängd enligt union , relativ komplemente och uppräknelig korsning . ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Definition

En grupp av uppsättningar kallas en $δ$ -ring om den har alla följande egenskaper: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Stängt under ändliga fackföreningar: för alla ${\ displaystyle A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}},}$
Stängt under relativ komplement: för alla och ${\ displaystyle AB \ i {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}},}$
Stängt under räknarbara korsningar: om för alla ${\ displaystyle \ bigcap _ {n = 1}^{\ infty} A_ {n} \ i {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ i {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}.}$

Om bara de två första egenskaperna är uppfyllda är det en ring med uppsättningar men inte en $δ$ -ring. Varje 𝜎 -ring är en $δ$ -ring, men inte varje $δ$ -ring är en 𝜎 -ring . ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

$δ$ -ringar kan användas istället för σ -algebror i utvecklingen av måtteori om man inte vill tillåta uppsättningar oändliga mått.

Exempel

Familjen är en $δ$ -ring men inte en 𝜎 -ring eftersom den inte är begränsad. ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} = \ {S \ subseteq \ mathbb {R}: S {\ text {är begränsad}} \}}$ ${\ textstyle \ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} [0, n]}$

Se även

Uppsättningsområde - Algebraiskt begrepp i måttteori, även kallat en algebra av uppsättningar.
𝜆-system (Dynkin-system) -Familjen stängd under kompletteringar och räknade otillbörliga fackföreningar
Monoton klass
$π$ -system -Familj av uppsättningar stängda under skärningspunkten
Ring av uppsättningar - Familjen stängd under fackföreningar och relativa komplement
σ-algebra
𝜎-ideal- Familjen stängd under delmängder och räknade fackföreningar
𝜎-ring- Ringen stängd under räknade fackföreningar

Referenser

Cortzen, Allan. "Delta-Ring." Från MathWorld — A Wolfram Web Resource, skapad av Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/Delta-Ring.html

Familjer med uppsättningar ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ över ${\ displaystyle \ Omega}$
Är nödvändigtvis sant/ stängt under:	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Regisserad av ${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ cup B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {där}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignat}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ i {\ mathcal {F}}}$
$π$ -system
𝜆-system (Dynkin System)
Ring (ordningsteori)
Ring (mätteori)
δ-ring
𝜎-ring
Algebra (fält)
𝜎-Algebra (𝜎-fält)
Dubbel ideal
Filtrera											${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Förfilter ( filterbas )											${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Filtrera delbas											${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Topologi
Är nödvändigtvis sant/ stängt under:	ändliga korsningar	räknade korsningar	Finite Korsning Property	riktas nedåt	ändliga fackföreningar	otaliga sammanbundna fackföreningar	otaliga ökande fackföreningar	otaliga fackföreningar	kompletterar i ${\ displaystyle \ Omega}$	relativa komplement	innehåller ${\ displaystyle \ varnothing}$	innehåller ${\ displaystyle \ Omega}$
Alla familjer antas vara tomma. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$ är godtyckliga element av betecknar en förening av parvisa disjoint -uppsättningar (kallas en disjoint union ). Dessutom är en semialgebra eller semiring ett $π$ -system där varje komplement är lika med en begränsad odelad sammansättning av uppsättningar i En monoton klass är en familj som är stängd under både räknade växande fackföreningar och räknade minskande korsningar. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$