Pi -system - Pi-system

I matematik är ett π -system (eller pi -system ) på en uppsättning en samling av vissa delmängder av sådana att ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle P}$är tomt .
• Om då${\ displaystyle A, B \ i P}$${\ displaystyle A \ cap B \ i P.}$

Det vill säga är en icke-tom familj av delmängder som stängs under icke-tomma ändliga korsningar . Betydelsen av π -system härrör från det faktum att om två sannolikhetsmått är överens om ett π -system, kommer de överens om 𝜎 -algebra som genereras av det π -systemet. Dessutom, om andra egenskaper, såsom jämlikhet av integraler, gäller för π -systemet, så gäller de också för den genererade 𝜎 -algebra. Detta är fallet när samlingen av delmängder som fastigheten innehar är ett 𝜆-system . π${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$-system är också användbara för att kontrollera oberoende av slumpmässiga variabler.

Detta är önskvärt eftersom π -system i praktiken ofta är enklare att arbeta med än 𝜎 -algebra. Till exempel kan det vara besvärligt att arbeta med 𝜎-algebra genererade av oändligt många uppsättningar Så istället kan vi undersöka föreningen av alla 𝜎-algebra som genereras av oändligt många uppsättningar Detta bildar ett π- system som genererar önskad 𝜎-algebra. Ett annat exempel är samlingen av alla intervall för den verkliga linjen , tillsammans med den tomma uppsättningen, som är ett π -system som genererar den mycket viktiga Borel 𝜎 -algebra av delmängder av den verkliga linjen. ${\ displaystyle \ sigma (E_ {1}, E_ {2}, \ ldots).}$${\ textstil \ bigcup _ {n} \ sigma (E_ {1}, \ ldots, E_ {n}).}$

Definitioner

Ett π- system är en icke-tom samling av uppsättningar som stängs under icke-tomma ändliga korsningar, vilket motsvarar att innehålla skärningspunkten mellan två av dess element. Om varje uppsättning i detta π -system är en delmängd av så kallas det ett π -system på${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega.}$

För alla icke -tomma familjer av delmängder av det finns ett π -system som kallas π -systemet som genereras av , det är det unika minsta π -systemet för att innehålla varje element i Det är lika med skärningspunkten mellan alla π -system som innehåller och kan beskrivas uttryckligen som uppsättningen av alla möjliga icke-tomma ändliga skärningspunkter mellan element av${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega,}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ Sigma},}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varSigma}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Sigma.}$${\ displaystyle \ Sigma,}$${\ displaystyle \ Sigma:}$

En icke -tom grupp av uppsättningar har den ändliga korsningsegenskapen om och endast om π -systemet den genererar inte innehåller den tomma uppsättningen som ett element.

Exempel

• För intervallerna bildar ett π -system, och intervallerna bildar ett π -system om den tomma uppsättningen också ingår.${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R},}$${\ displaystyle (-\ infty, a]}$${\ displaystyle (a, b]}$
• Den topologi (insamling av öppna delmängder ) enligt något av topologiska utrymmet är en π -systemet.
• Varje filter är ett π -system. Varje π -system som inte innehåller den tomma uppsättningen är ett förfilter (även känt som en filterbas).
• För alla mätbara funktioner definierar uppsättningen   ett π -system och kallas π -systemet som genereras av (Alternativt definierar ett π -system som genereras av )${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {f} = \ left \ {f^{-1} ((-\ infty, x]): x \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle f.}$${\ displaystyle \ left \ {f^{-1} ((a, b]): a, b \ in \ mathbb {R}, a <b \ right \} \ cup \ {\ varnothing \}}$${\ displaystyle f.}$
• Om och är π -system för och respektive, sedan är en π -systemet för kartesisk produkt${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle \ Omega _ {2},}$${\ displaystyle \ {A_ {1} \ gånger A_ {2}: A_ {1} \ i P_ {1}, A_ {2} \ i P_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}.}$
• Varje 𝜎 -algebra är ett π -system.

Förhållande till 𝜆-system

Ett 𝜆-system på är en uppsättning delmängder som uppfyller ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ Omega,}$

• ${\ displaystyle \ Omega \ i D,}$
• om då (var ),${\ displaystyle A \ i D}$${\ displaystyle A^{c} \ i D}$${\ displaystyle A^{c}: = \ Omega \ setminus A}$
• if är en sekvens av (parvisa) odelade delmängder i då${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dots}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ cup _ {n = 1}^{\ infty} A_ {n} \ i D.}$

Även om det är sant att någon 𝜎 -algebra uppfyller egenskaperna för att vara både ett π -system och ett 𝜆 -system, är det inte sant att något π -system är ett 𝜆 -system, och dessutom är det inte sant att något π - systemet är en 𝜎-algebra. En användbar klassificering är dock att alla uppsatta system som är både ett 𝜆-system och ett π- system är en 𝜎-algebra. Detta används som ett steg för att bevisa π -𝜆 satsen.

Den tt -A teoremet

Låta vara ett λ-systemet, och låt   vara en π -systemet som finns i The Tt -λ teoremet anger att σ-algebra genererad av innehålls i${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subseteq D}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}})}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle D ~: ~}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}}) \ subseteq D.}$

Den tt -A sats kan användas för att bevisa många elementära mäta teoretiska resultat. Till exempel används det för att bevisa det unika påståendet i Carathéodory-förlängningssatsen för 𝜎-ändliga åtgärder.

Den tt -A teoremet är nära besläktad med den monotone klass teorem , som ger ett liknande förhållande mellan monotona klasser och algebror, och kan användas för att härleda många av samma resultat. Eftersom π -system är enklare klasser än algebror kan det vara lättare att identifiera de uppsättningar som finns i dem, medan det å andra sidan ofta är relativt enkelt att kontrollera om egenskapen som övervägs bestämmer ett 𝜆 -system. Trots skillnaden mellan de två satserna kallas π -𝜆 satsen ibland som monoton klassen sats.

Exempel

Låt vara två mått på 𝜎 -algebra och anta att det genereras av ett π -system If ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}: F \ till \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F,}$${\ displaystyle F = \ sigma (I)}$${\ displaystyle I.}$

1. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ mu _ {2} (A)}$för alla och${\ displaystyle A \ i I,}$
2. ${\ displaystyle \ mu _ {1} (\ Omega) = \ mu _ {2} (\ Omega) <\ infty,}$

sedan Detta är det unika uttalandet i Carathéodory -förlängningssatsen för ändliga åtgärder. Om detta resultat inte verkar särskilt anmärkningsvärt, överväg det faktum att det vanligtvis är mycket svårt eller till och med omöjligt att fullständigt beskriva varje uppsättning i 𝜎-algebra, och därför skulle problemet med att jämföra åtgärder vara helt hopplöst utan ett sådant verktyg. ${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2}.}$

Idén om beviset Definiera samlingen av uppsättningar

Genom det första antagandet, och enas om och därmed genom det andra antagandet, och det kan vidare visas att det är ett 𝜆-system. Det följer av π -𝜆 satsen att och så Det vill säga, åtgärderna är överens${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {2}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I \ subseteq D.}$${\ displaystyle \ Omega \ i D,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ sigma (I) \ subseteq D \ subseteq \ sigma (I),}$${\ displaystyle D = \ sigma (I).}$${\ displaystyle \ sigma (I).}$

π -System i sannolikhet

π -system används mer ofta i studien av sannolikhetsteori än inom det allmänna måttfältet. Detta beror främst på sannolikhetsbegrepp som oberoende , även om det också kan vara en följd av det faktum att π -𝜆 satsen bevisades av sannolikaren Eugene Dynkin . Standardteoretiska texter visar vanligtvis samma resultat via monoton klasser, snarare än π -system.

Jämställdhet i distribution

Den tt -A teoremet motiverar den gemensamma definitionen av sannolikhetsfördelningen av en stokastisk variabel i termer av dess

kumulativa fördelningsfunktionen . Kom ihåg att den kumulativa fördelningen av en slumpmässig variabel definieras som ${\ displaystyle X \ colon (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle F_ {X} (a) = \ operatorname {P} [X \ leq a], \ qquad a \ in \ mathbb {R},}$$

medan variabelns till synes mer allmänna lag är sannolikhetsmåttet

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (B) = \ operatorname {P} \ left [X^{-1} (B) \ right] \ quad {\ text {för alla}} B \ i {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$$

var är Borel 𝜎-algebra. Vi säger att slumpmässiga variabler och (på två möjligen olika sannolikhetsutrymmen) är lika i fördelning (eller lag ), betecknade med om de har samma kumulativa fördelningsfunktioner, det vill säga Motiveringen för definitionen härrör från observationen att om då det är exakt att säga det och komma överens om π -systemet som genererar och så genom exemplet ovan :${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle X \ colon (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}),}$${\ displaystyle Y \ colon ({\ tilde {\ Omega}}, {\ tilde {\ mathcal {F}}}, {\ tilde {\ operatorname {P}}}) \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, Y,}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y}.}$${\ displaystyle F_ {X} = F_ {Y},}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {Y}}$${\ displaystyle \ left \ {(-\ infty, a] \ colon a \ in \ mathbb {R} \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = {\ mathcal {L}} _ {Y}.}$

Ett liknande resultat gäller för gemensam fördelning av en slumpmässig vektor. Anta till exempel och är två slumpmässiga variabler definierade på samma sannolikhetsutrymme med respektive genererade

π -system och Den gemensamma kumulativa fördelningsfunktionen för är ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$${\ displaystyle (X, Y)}$

$${\ displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = \ operatorname {P} \ left [X \ leq a, Y \ leq b \ right] = \ operatorname {P} \ left [X^{-1} ((-\ infty, a]) \ cap Y^{-1} ((-\ infty, b]) \ right], \ quad {\ text {för alla}} a, b \ in \ mathbb {R} .}$$

Men och därför ${\ displaystyle A = X^{-1} ((-\ infty, a]) \ i {\ mathcal {I}} _ {X}}$${\ displaystyle B = Y^{-1} ((-\ infty, b]) \ i {\ mathcal {I}} _ {Y}.}$

$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X, Y} = \ left \ {A \ cap B: A \ in {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ text {och}} B \ i {\ mathcal {I}} _ {Y} \ höger \}}$$

är en π -system som genereras av slump paret den π -A teorem används för att visa att de gemensamma kumulativa fördelningsfunktionen är tillräckligt med att bestämma den gemensamma lag Med andra ord, och har samma fördelning om och endast om de har samma gemensamma kumulativ fördelningsfunktion. ${\ displaystyle (X, Y),}$${\ displaystyle (X, Y).}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle (W, Z)}$

I teorin om stokastiska processer är två processer kända för att vara lika i distributionen om och bara om de är överens om alla ändliga dimensionella fördelningar; det vill säga för alla${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ i T}, (Y_ {t}) _ {t \ i T}}$${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ i T, \, n \ in \ mathbb {N}.}$

$${\ displaystyle \ left (X_ {t_ {1}}, \ ldots, X_ {t_ {n}} \ right) \, {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \, \ left (Y_ { t_ {1}}, \ ldots, Y_ {t_ {n}} \ höger).}$$

Beviset för detta är en annan tillämpning av π -𝜆 satsen.

Oberoende slumpmässiga variabler

Teorin om π -system spelar en viktig roll i det sannolikhetsbegreppet oberoende . Om och är två slumpmässiga variabler definierade på samma sannolikhetsutrymme är slumpmässiga variabler oberoende om och endast om deras

π -system uppfyller ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$

$${\ displaystyle \ operatorname {P} [A \ cap B] = \ operatorname {P} [A] \ operatorname {P} [B] \ quad {\ text {för alla}} A \ i {\ mathcal {I} } _ {X} {\ text {och}} B \ i {\ mathcal {I}} _ {Y},}$$

det vill säga att de är oberoende. Detta är faktiskt ett speciellt fall för användning av π -system för att bestämma fördelningen av${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}, {\ mathcal {I}} _ {Y}}$${\ displaystyle (X, Y).}$

Exempel

Låt var finns

iid normala slumpmässiga variabler. Definiera radie- och argumentvariablerna (arctan) ${\ displaystyle Z = \ left (Z_ {1}, Z_ {2} \ right),}$${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2} \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$

$${\ displaystyle R = {\ sqrt {Z_ {1}^{2}+Z_ {2}^{2}}}, \ qquad \ Theta = \ tan^{-1} \ left (Z_ {2}/Z_ {1} \ höger).}$$

Sedan och är oberoende slumpmässiga variabler. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Theta}$

För att bevisa detta är det tillräckligt att visa att π -systemen är oberoende: det vill säga ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {R}, {\ mathcal {I}} _ {\ Theta}}$

$${\ displaystyle \ operatorname {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] = \ operatorname {P} [R \ leq \ rho] \ operatorname {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ quad {\ text {för alla}} \ rho \ i [0, \ infty), \, \ theta \ i [0,2 \ pi].}$$

Att bekräfta att så är fallet är en övning i att ändra variabler. Fixa och sedan kan sannolikheten uttryckas som en integrerad del av sannolikhetstäthetsfunktionen för${\ displaystyle \ rho \ in [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ theta \ i [0,2 \ pi],}$${\ displaystyle Z.}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {P} [R \ leq \ rho, \ Theta \ leq \ theta] & = \ int _ {R \ leq \ rho, \, \ Theta \ leq \ theta} { \ frac {1} {2 \ pi}} \ exp \ vänster ({-{\ frac {1} {2}} (z_ {1}^{2}+z_ {2}^{2})} \ höger ) dz_ {1} \, dz_ {2} \\ [5pt] & = \ int _ {0}^{\ theta} \ int _ {0}^{\ rho} {\ frac {1} {2 \ pi }} e^{-{\ frac {r^{2}} {2}}} r \, dr \, d {\ tilde {\ theta}} \\ [5pt] & = \ left (\ int _ { 0}^{\ theta} {\ frac {1} {2 \ pi}} \, d {\ tilde {\ theta}} \ höger) \ vänster (\ int _ {0}^{\ rho} e^{ -{\ frac {r^{2}} {2}}} r \, dr \ höger) \\ [5pt] & = \ operatorname {P} [\ Theta \ leq \ theta] \ operatorname {P} [R \ leq \ rho]. \ end {align}}}$$

Se även

• δ -ring -Ringen  stängd under räknade korsningar
• Uppsättningsområde  - Algebraiskt begrepp i måttteori, även kallat en algebra av uppsättningar.
• Ideal (uppsättningsteori)  -Icke-tom grupp av uppsättningar som stängs under ändliga fackföreningar och delmängder
• Oberoende (sannolikhetsteori)  - Grundläggande begrepp i sannolikhetsteori
• 𝜆-system (Dynkin-system)  -Familjen stängd under kompletteringar och räknade otillbörliga fackföreningar
• Monoton klass sats
• Sannolikhetsfördelning  - Matematisk funktion för sannolikheten för att ett givet resultat uppstår i ett experiment
• Ring av uppsättningar  - Familjen stängd under fackföreningar och relativa komplement
• σ-algebra-  Delmängder som stängs under komplement och räknbara fackföreningar
• 𝜎-ideal-  Familjen stängd under delmängder och räknade fackföreningar
• 𝜎-ring-  Ringen stängd under räknade fackföreningar

Anteckningar

Citat

Referenser

• Gut, Allan (2005). Sannolikhet: En doktorandkurs . Springer texter i statistik. New York: Springer. doi : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Sannolikhet med Martingales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Sannolikhet: Teori och exempel (PDF) . Cambridge -serien i statistisk och sannolikhetsmatematik. 49 (5: e upplagan). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Hämtad 5 november 2020 .

Familjer med uppsättningar${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ över${\ displaystyle \ Omega}$
Stämmer nödvändigtvis med ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon}$ eller stängs under:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	FIP	Regisserad av${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ cup B}$	${\ displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {där}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignat}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ i {\ mathcal {F}}}$
π -system
𝜆-system (Dynkin System)			Aldrig
Ring (ordningsteori)
Ring (mätteori)			Aldrig
δ-ring			Aldrig
𝜎-ring			Aldrig
Algebra (fält)			Aldrig
𝜎-Algebra (𝜎-fält)			Aldrig
Dubbel ideal
Filtrera									Aldrig	Aldrig	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Förfilter ( filterbas )									Aldrig	Aldrig	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Filtrera delbas									Aldrig	Aldrig	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Topologi			Aldrig
Stämmer nödvändigtvis med ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ colon}$ eller stängs under:${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$	ändliga korsningar	räknade korsningar	Finite Korsning Property	riktas nedåt	ändliga fackföreningar	uppräkneliga disjunkta föreningarna	otaliga ökande fackföreningar	otaliga fackföreningar	kompletterar i${\ displaystyle \ Omega}$	relativa komplement	innehåller ${\ displaystyle \ varnothing}$	innehåller ${\ displaystyle \ Omega}$
Alla familjer antas vara tomma. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$är godtyckliga element av betecknar en förening av parvisa disjoint -uppsättningar (kallas en disjoint union ). Dessutom är en semiring ett π -system där varje komplement är lika med en ändlig oförenad sammansättning av uppsättningar i A semialgebra är en semiring som innehåller En monoton klass är en familj som är stängd under både räkningsbara växande fackföreningar och räknade minskande korsningar. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$