Sigma -additiv set -funktion - Sigma-additive set function

I matematik är en additiv uppsättningsfunktion en funktion som mappar uppsättningar till tal, med egenskapen att dess värde på en förening av två osammanhängande uppsättningar är lika med summan av dess värden på dessa uppsättningar, nämligen om denna additivitetsegenskap gäller för två uppsättningar, då gäller det också för ett begränsat antal uppsättningar, nämligen funktionsvärdet på föreningen av k disjoint -uppsättningar (där k är ett ändligt tal) är lika med summan av dess värden på uppsättningarna. Därför kallas en additiv uppsättning funktion också en slutligt additiv uppsättning funktion (termerna är ekvivalenta). Emellertid kanske en slutligt additiv uppsättningsfunktion inte har additivitetsegenskapen för en förening av ett oändligt antal uppsättningar. En σ-additiv uppsättning funktion är en funktion som har additivitetsegenskapen även för oändligt många uppsättningar, det vill säga${\ textstil \ mu (A \ kopp B) = \ mu (A)+\ mu (B).}$${\ textstil \ mu \ vänster (\ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} A_ {n} \ höger) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ mu (A_ {n}) .}$

Additivitet och sigma-additivitet är särskilt viktiga egenskaper hos åtgärder . De är abstraktioner av hur intuitiva egenskaper av storlek ( längd , yta , volym ) av en uppsatt summa när man överväger flera objekt. Additivitet är ett svagare tillstånd än σ-additivitet; det vill säga σ-additivitet innebär additivitet.

Uttrycket modulär uppsättningsfunktion motsvarar additiv uppsättningsfunktion; se modularitet nedan.

Additiva (eller slutligen additiva) uppsättningsfunktioner

Låt vara en uppsättningsfunktion definierad på en algebra av uppsättningar med värden i (se den utökade reella talraden ). Funktionen kallas additiv, eller slutligen additiv, om, när som helst och är osammanhängande uppsättningar i en har ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle [-\ infty, \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}},}$

En konsekvens av detta är att en additiv funktion inte kan ta både och som värden, för uttrycket är odefinierat. ${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle \ infty -\ infty}$

Man kan bevisa genom matematisk induktion att en additiv funktion uppfyller

för eventuella ojämnheter${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots, A_ {N}}$${\ textstil {\ mathcal {A}}.}$

σ-additiva uppsättningsfunktioner

Antag att det är en σ-algebra . Om för varje sekvens av parvisa disjoint sätter in${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots, A_ {n}, \ ldots}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}},}$

håller då sägs vara avsevärt additiv eller 𝜎-tillsats . Varje 𝜎-additiv funktion är additiv men inte tvärtom, som visas nedan. ${\ displaystyle \ mu}$

τ-additiva uppsättningsfunktioner

Antag att vi förutom en sigmaalgebra har en

topologi If för varje riktad familj av mätbara öppna uppsättningar${\ textstil {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle \ tau.}$ ${\ textstil {\ mathcal {G}} \ subseteq {\ mathcal {A}} \ cap \ tau,}$ vi säger att det är -additivt. I synnerhet om det är inre regelbundet (med avseende på kompakta uppsättningar) så är det τ-additiv. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ mu}$

Egenskaper

Användbara egenskaper för en additiv uppsättning funktion inkluderar följande. ${\ displaystyle \ mu}$

Värdet på den tomma uppsättningen

Antingen eller tilldelar alla uppsättningar i sin domän eller tilldelar alla uppsättningar i dess domän.

Bevis : additivitet innebär att för varje uppsättning om denna jämlikhet endast kan uppfyllas med plus eller minus oändlighet. ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle \ mu (A) = \ mu (A \ cup \ varnothing) = \ mu (A)+\ mu (\ varnothing).}$${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) \ neq 0,}$

Monotonicitet

Om är icke-negativ och då är det en

monoton inställningsfunktion . På samma sätt är If icke-positivt och då${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (B).}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle \ mu (A) \ geq \ mu (B).}$

Modularitet

Givet och

bevis : skriv och och där alla uppsättningar i facket är åtskilda. Additivitet innebär att båda sidor av jämlikheten är lika${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle \ mu (A \ cup B)+\ mu (A \ cap B) = \ mu (A)+\ mu (B).}$ ${\ displaystyle A = (A \ cap B) \ cup (A \ setminus B)}$${\ displaystyle B = (A \ cap B) \ cup (B \ setminus A)}$${\ displaystyle A \ cup B = (A \ cap B) \ cup (A \ setminus B) \ cup (B \ setminus A),}$${\ displaystyle \ mu (A \ setminus B)+\ mu (B \ setminus A) +2 \ mu (A \ cap B).}$

Egenskapen ovan kallas modularitet , och vi har just bevisat att modularitet är ekvivalent med additivitet. Det finns dock relaterade egenskaper som kallas submodularitet och subadditivitet , som inte är ekvivalenta.

Observera att modularitet har en annan och orelaterad betydelse i samband med komplexa funktioner; se modulform .

Ställ in skillnad

Om och är definierat, då${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle \ mu (B)-\ mu (A)}$${\ displaystyle \ mu (B \ setminus A) = \ mu (B)-\ mu (A).}$

Exempel

Ett exempel på en 𝜎-additiv funktion är den funktion som definieras över

effektuppsättningen för de reella talen , så att ${\ displaystyle \ mu}$

$${\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {if}} 0 \ i A \\ 0 & {\ mbox {if}} 0 \ notin A. \ end {cases}}}$$

Om är en sekvens av osammanhängande uppsättningar av reella tal, innehåller antingen ingen av uppsättningarna 0, eller exakt en av dem gör. I båda fallen, jämlikheten ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots, A_ {n}, \ ldots}$

$${\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1}^{\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ mu (A_ {n}) }$$

håller.

Se mått och signerad mått för fler exempel på 𝜎-additiva funktioner.

En additiv funktion som inte är σ-additiv

Ett exempel på en additiv funktion som inte är σ-additiv erhålls genom att överväga , definierat över Lebesgue-uppsättningarna av de

reella talen med formeln ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle \ mu (A) = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {1} {k}} \ cdot \ lambda (A \ cap (0, k)),}$$

där betecknar Lebesguemått och den Banach gränsen . Det tillfredsställer och i så fall${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lim}$${\ displaystyle 0 \ leq \ mu (A) \ leq 1}$${\ displaystyle \ sup A <\ infty}$${\ displaystyle \ mu (A) = 0.}$

Man kan kontrollera att denna funktion är additiv genom att använda gränslinjens linearitet. Att denna funktion inte är σ-additiv följer genom att betrakta sekvensen av disjoint-uppsättningar

$${\ displaystyle A_ {n} = [n, n+1)}$$

för Föreningen av dessa uppsättningar är de positiva realerna , och tillämpas på föreningen är då en, medan den tillämpas på någon av de enskilda uppsättningarna är noll, så summan av är också noll, vilket bevisar motexemplet. ${\ displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (A_ {n})}$

Generaliseringar

Man kan definiera additiva funktioner med värden i valfri additiv monoid (till exempel vilken grupp som helst eller mer vanligt ett vektorutrymme ). För sigma-additivitet behöver man dessutom att begreppet gräns för en sekvens definieras på den uppsättningen. Till exempel är spektralmått sigma-additiva funktioner med värden i en Banach-algebra . Ett annat exempel, även från kvantmekanik, är det positiva operatörsvärderade måttet .

Se även

• Additiv karta
• Hahn – Kolmogorov sats
• Mått (matematik)  - Generalisering av massa, längd, yta och volym
• σ-ändligt mått
• Signerat mått  - generaliserat begrepp om mått i matematik
• Submodulär uppsättningsfunktion  - Funktion på delmängder som har en avtagande avkastningsegenskap
• Subadditiv inställningsfunktion
• τ-additivitet

Denna artikel innehåller material från additiv på PlanetMath , som är licensierat enligt Creative Commons Erkännande/Dela-Lika-licens .

Referenser