Ustaw funkcję - Set function

W matematyce, zwłaszcza teorii miary , A funkcja zestaw jest funkcja , której domeną jest rodzina z podzbiorów jakiegoś danego zestawu i że (zazwyczaj) wykonuje swoje wartości w rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych , które składa się z liczb rzeczywistych i ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ filiżanka \ {\ pm \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ $\pm \infty.$

Funkcja zbioru ma na ogół w jakiś sposób mierzyć podzbiory. Miary są typowymi przykładami „pomiaru” zestawu funkcji. Dlatego termin „funkcja zestawu” jest często używany w celu uniknięcia pomyłek między matematycznym znaczeniem „miara” a jego znaczeniem w powszechnym języku.

Definicje

Jeśli jest to rodzina zbiorów na wówczas funkcja ustawiony na to funkcja z dziedziny i codomain lub, lub również codomain jest raczej trochę miejsca wektora , jak w przypadku środków wektora , skomplikowanych działań i środków projekcji wartościach . ten ${\mathcal {F}}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\mathcal {F}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\mathcal {F}}$ $[-\infty ,\infty ]$ całkowita zmienność zbioru wynosi $S$

{\ Displaystyle | \ mu | (S): = \ sup \ {| \ mu (F) |: F \ w {\ mathcal {F}} {\ tekst {i}} F \ podseteq S \}}

gdzie oznacza wartość bezwzględną (lub bardziej ogólnie, oznacza normę lub seminormę, jeśli jest wartością wektorową w przestrzeni ( semi ) unormowanej ). Zakładając, że wtedy nazywa się to

|\,\cdot \,|

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ filiżanka {\ mathcal {f}}: = \ bigcup _ {f \ w {\ mathcal {f}}} f \ w {\ mathcal {f}}},}

{\ Displaystyle | \ mu | \ po lewej (\ filiżanka {\ matematyczna {f}} \ po prawej)}

wahanie funkcji odijest nazywany

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu \ po lewej (\ filiżanka {\ mathcal {F}} \ po prawej)}

Masa z Wystawiany jest funkcja o nazwie

{\ Displaystyle \ mu.}

skończone, jeśli dla każdegojest skończone (to znaczy nie równe); każda funkcja skończonego zbioru musi mieć skończonąmasę.

{\ Displaystyle F \ w {\ Mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu (F)}

{\ Displaystyle \ pm \ infty}

Ogólnie przyjmuje się, że jest zawsze

dobrze zdefiniowany dla wszystkich lub równoważnie, który nie przyjmuje obu wartości i jako wartości. Ten artykuł będzie odtąd zakładał to; chociaż alternatywnie, wszystkie poniższe definicje mogą zamiast tego być zakwalifikowane przez stwierdzenia takie jak „za każdym razem, gdy zdefiniowana jest suma/seria”. Czasami odbywa się to za pomocą odejmowania, na przykład z następującym wynikiem, który obowiązuje, gdy jest skończenie addytywny :

{\ Displaystyle \ mu (E) + \ mu (F)}

{\ Displaystyle E, F \ w {\ Mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu}

-\infty

+\infty

{\ Displaystyle \ mu}

Wzór różnicy zestawu :jest zdefiniowany za pomocą

{\ Displaystyle \ mu (f) - \ mu (e) = \ mu (f \ setminus e) {\ tekst {kiedy}} \ mu (f) - \ mu (e)}

e,f\in {\mathcal {f}}{\tekst{spełniające}}e\subseteqf{\tekst{i}}f\setminus e\in {\mathcal {f}}.

Zestaw nazywa się a ${\ Displaystyle F \ w {\ matematyczny {F}}}$ zestaw null (w odniesieniu do) lub po prostu ${\ Displaystyle \ mu}$ null if Ilekroćinie jest identycznie równy albolubwtedy zwykle zakłada się również, że: ${\ Displaystyle \ mu (F) = 0.}$ ${\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ $-\infty$ $+\infty$

pusty pusty zestaw : ${\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$

Zestaw funkcji na mówi się ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\mathcal {F}}$

nieujemna, jeśli jest wyceniana w $[0,\infty].$
skończenie addytywne, jeślidla wszystkich

parami rozłącznychciągów skończonychtakich, że

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ mu \ po lewej (F_ {i} \ po prawej) = \ mu \ po lewej (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} \ Prawidłowy)}

{\ Displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ w {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} \ w {\ mathcal {F}}.}

Jeśli jest zamknięty pod binarnych

związków następnie jest skończenie dodatku tylko wtedy, gdy dla wszystkich par rozłącznych

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (E \ filiżanka F) = \ mu (E) + \ mu (F)}

{\ Displaystyle E, F \ w {\ Mathcal {F}}.}

Jeśli jest skończenie addytywne, a jeśli to branie pokazuje to, co jest możliwe tylko wtedy i gdzie, w tym drugim przypadku dla każdego (więc tylko przypadek jest użyteczny).

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {F}}}

E:=F:=\varnic

\mu (\varnothing)=\mu (\varnothing)+\mu (\varnothing)

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ pm \ infty}

{\ Displaystyle \ mu (E) = \ mu (E \ filiżanka \ varnothing) = \ mu (E) + \ mu (\ varnothing) = \ mu (E) + (\ pm \ infty) = \ pm \ infty}

{\ Displaystyle E \ w {\ Mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

przeliczalnie addytywne lubσ-addytywne, jeśli jest skończenie addytywne, a takżedla wszystkich

parami rozłącznychsekwencjiwtaki sposób, żei gdzie jest również wymagane, aby:

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ prawo) = \ mu \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i }\Prawidłowy)}

F_{1},F_{2},\ldots \,

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ w {\ mathcal {F}}}

jeśli nie jest nieskończony, to szereg ten musi również być

zbieżny bezwzględnie , co z definicji oznacza, że musi być skończony. Jest to automatycznie prawdziwe, jeśli jest nieujemne .

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ prawej)}

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ prawo)}

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ po lewej | \ mu \ po lewej (F_ {i} \ po prawej) \ po prawej |}

{\ Displaystyle \ mu}

Jak w przypadku każdego zbieżnego szeregu liczb rzeczywistych, zgodnie z twierdzeniem o szeregach Riemanna szereg ten zbiega się absolutnie wtedy i tylko wtedy, gdy jego suma nie zależy od kolejności jego terminów (właściwość znana jako

bezwarunkowa zbieżność ). Wprost, bezwarunkowa konwergencja oznacza, że jeśli jest jakakolwiek permutacja / bijekcja , to gwarantuje to, że zmiana etykiet/przeorganizowanie zestawów w nowym porządku nie wpływa na sumę ich miar; jest to uzasadnione żądanie, ponieważ tak jak suma nie zależy od porządku tych zbiorów (to znaczy, ponieważ ), rozsądnie jest oczekiwać tego i tego (w rzeczywistości pokazuje to nawet, że w tym przypadku gdzie nie jest nieskończone, bezwarunkowa zbieżność jest w rzeczywistości wymagana przez wymóg definiujący, który obowiązuje dla wszystkich parami rozłącznych ciągów ).

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ po prawej): = \ lim _ {N \ do \ infty} \ mu \ lewo (F_ {1} \ po prawej)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots \mu \left(F_{N}\right)}

{\ Displaystyle \ rho: \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}}

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ po prawej) = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {\ rho (i)}\prawo).}

F_{1},F_{2},\ldots

{\ Displaystyle F_ {\ rho (1)}, F_ {\ rho (2)}, \ ldots}

{\ Displaystyle F: = \ bigcup _ {i \ w \ mathbb {N}} F_ {i}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} = F = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {\ rho (i)}}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ mu \ lewo (F_ {1} \ prawo) + \ mu \ lewo (F_ {2} \ prawo) + \ cdots}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ mu \ lewo (F_ {\ rho (1)} \ prawej) + \ mu \ lewo (F_ {\ rho (2)} \ prawej) + \ cdots \,}

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ prawej)}

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ po prawej) = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i }\Prawidłowy)}

{\ Displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \, \ w {\ mathcal {F}}}

jeśli jest nieskończony, to wymagane jest również, aby wartość przynajmniej jednego szeregu była skończona (aby suma ich wartości była dobrze określona). Jest to automatycznie prawdziwe, jeśli jest

nieujemne .

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ po prawej) = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i }\Prawidłowy)}

{\ Displaystyle \ suma _ {\ stackrel {i \ w \ mathbb {N}} {\ mu \ po lewej (F_ {i} \ po prawej)> 0}} \ mu \ po lewej (F_ {i} \ po prawej) \; {\text{ i }}\;\sum _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i }\Prawidłowy)\;}

{\ Displaystyle \ mu}

a zmierzyć, czyjest nieujemna, przeliczalnie addytywna i spełnia(przy założeniu).

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {F}}}

a podpisał akt jeślijest przeliczalnie addytywne, spełnia(zakładając) inie bierze na obuijako wartości.

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu}

-\infty

+\infty

a miarą prawdopodobieństwa , czy jest to środek, który mamasęo

{\ Displaystyle 1.}

monotonny, jeślikiedykolwiekspełniasz

{\ Displaystyle \ mu (E) \ leq \ mu (F)}

{\ Displaystyle E, F \ w {\ Mathcal {F}}}

{\ Displaystyle E \ subseteq F.}

skończenie subaddytywne jeślidla wszystkich skończonych ciągówspełniających

{\ Displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ po lewej | \ mu \ po lewej (F_ {i} \ po prawej) \ po prawej |}

{\ Displaystyle F, F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ w {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} F_ {i}.}

przeliczalnie subadditive jeślidla wszystkich sekwencjiwktóre spełniają

{\ Displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ po lewej | \ mu \ po lewej (F_ {i} \ po prawej) \ po prawej |}

F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i}}.

Jak opisano w artykule , dla każdej rodziny w

liczbach rzeczywistych indeksowanych przez dowolnego indeksowania ustawiony jest możliwe określenie sumy ogólnych serii który zgodnie z oczekiwaniami jest oznaczona przez (jeśli istnieje granica lub odchyla się w ). Na przykład, dla każdego a następnie jeśli zaś następnie zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny bezwarunkowo (lub równoważnie zbieżny bezwzględnie ). Wiadomo, że jeśli uogólniony szereg zbiega się ze swoją zwykłą topologią euklidesową (co implikuje, że oba i również są zbieżne do elementów ), to zbiór jest z konieczności policzalny (to znaczy albo skończony, albo przeliczalnie nieskończony ); pozostaje to prawdą, jeśli zostanie zastąpione dowolną znormalizowaną przestrzenią . Z tego wynika, że gdzie szereg po prawej stronie jest sumą policzalnego zbioru liczb rzeczywistych. Tak więc, ze względu na naturę liczb rzeczywistych i ich topologię, definicja „ przeliczalnie addytywnego ” rzadko jest rozszerzana z przeliczalnie wielu zbiorów w (i zwykłego szeregu przeliczalnego ) do arbitralnie wielu zbiorów (i serii uogólnionych ).

{\ Displaystyle \ lewo (r_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}

{\ Displaystyle I}

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ pm \ infty}

{\ Displaystyle r_ {i} = 0}

ja\w ja

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} r_ {i} = 0;}

{\ Displaystyle I = \ mathbb {N} }

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ suma _ {\ stos {i \ w I} {r_ {i}> 0}} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ suma _ {\ stos {i \ w I} {r_ {i} <0}} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ lewo \ {i \ w I: r_ {i} \ neq 0 \ po prawej \}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ suma _ {\ stackrel {i \ w ja} {r_ {i} = 0}} r_ {i} = 0}

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w ja} r_ {i} = \ suma _ {\ stos {i \ w ja {r_ {i} = 0}} r_ {i} + \ suma _ {\ stos {i\w I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\sum _{\stackrel {i\w I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}

F_{1},F_{2},\ldots \,

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ prawo)}

{\ Displaystyle \ lewo (F_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}

{\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} \ mu \ lewo (F_ {i} \ po prawej)}

Inne powiązane właściwości

Mówi się, że ustawiona funkcja jest ${\ Displaystyle \ mu}$

modułowy, jeślidla wszystkichtakich, że ${\ Displaystyle \ mu (E \ filiżanka F) + \ mu (E \ czapka F) = \ mu (E) + \ mu (F)}$ ${\ Displaystyle \ mu (E \ filiżanka F) + \ mu (E \ czapka F) = \ mu (E) + \ mu (F)}$ ${\ Displaystyle E, F \ w {\ Mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E, F \ w {\ Mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E \ filiżanka F, E \ czapka F \ w {\ mathcal {F}}.}$ ${\ Displaystyle E \ filiżanka F, E \ czapka F \ w {\ mathcal {F}}.}$
- Każda skończenie addytywna funkcja na polu zbiorów jest modułowa.
submodularny jeślidla wszystkichtakich, że ${\ Displaystyle \ mu (E \ filiżanka F) + \ mu (E \ czapka F) \ leq \ mu (E) + \ mu (F)}$ ${\ Displaystyle E, F \ w {\ Mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E \ filiżanka F, E \ czapka F \ w {\ mathcal {F}}.}$
uzupełnij, jeśli kiedykolwiekwtedy ${\ Displaystyle F \ w {\ mathcal {F}} {\ tekst {spełnia}} \ mu (F) = 0 {\ tekst { i}} N \ podseteq F}$ ${\ Displaystyle F \ w {\ mathcal {F}} {\ tekst {spełnia}} \ mu (F) = 0 {\ tekst { i}} N \ podseteq F}$ ${\ Displaystyle N \ w {\ mathcal {F}} {\ tekst {i}} \ mu (N) = 0.}$ ${\ Displaystyle N \ w {\ mathcal {F}} {\ tekst {i}} \ mu (N) = 0.}$
- W przeciwieństwie do większości innych właściwości, ten zależy zarówno i „s wartości. ${\ Displaystyle \ operatorname {domena} \ mu = {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$
𝜎-skończony, jeśli istnieje ciągwtaki, któryjest skończony dla każdego indeksu,a także $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,$ ${\mathcal {F}}$ ${\ Displaystyle \ mu \ lewo (F_ {i} \ prawo)}$ $ja,$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} F_ {n} = \ bigcup _ {F \ w {\ mathcal {F}}} F.}$
ciągła od dołu, jeślidla wszystkich

nie malejących ciągówzbiorówwtakich, że

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ prawo) = \ mu \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ prawo )}

F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ w {\ mathcal {F}}.}

ciągły od góry, jeślidla wszystkich

nierosnących ciągówzbiorówwtakim, żeijest skończony.

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ mu \ lewo (F_ {i} \ prawo) = \ mu \ lewo (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ prawo )}

{\ Displaystyle F_ {1} \ supseteq F_ {2} \ supseteq F_ {3} \ cdots \,}

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ w {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ prawej)}

Definicje związane z topologią

Jeśli jest

topologia na czym zestaw funkcja nazywa się:

{\ Displaystyle \ tau}

{\ Displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle \ mu}

${\ Displaystyle \ tau}$ -dodatek, jeślikiedykolwiekjest

skierowanyz szacunkiemi spełnia

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcup {\ mathcal {D}} \ prawej) = \ sup _ {D \ w {\ mathcal {D}}} \ mu (D)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ podseteq \ tau \ czapka {\ mathcal {F}}}

\,\subseteq \,

{\ Displaystyle \ bigcup {\ mathcal {D}}: = \ bigcup _ {D \ w {\ mathcal {D}}} D \ w {\ mathcal {F}}.}

${\mathcal {D}}$ jest skierowana w odniesieniu do wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest pusta i dla wszystkich istnieje coś takiego, że i $\,\subseteq \,$ ${\ Displaystyle A, B \ w {\ Mathcal {D}}}$ $C\in {\mathcal {D}}$ ${\ Displaystyle A \ podzbiór C}$ $B\subseteq C.$

wewnętrzny regularny lubciasno jeśli dla każdego

{\ Displaystyle F \ w {\ Mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ sup \ {\ mu (K): F \ supseteq K {\ tekst {z}} K \ w {\ mathcal {F}} {\ tekst { zwarty podzbiór}} (\Omega,\tau)\}.}

zewnętrzna regularna jeśli dla każdego

{\ Displaystyle F \ w {\ Mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ inf \ {\ mu (U): F \ subseteq U {\ tekst {i}} U \ w {\ mathcal {F}} \ czapka \ tau \}.}

regularny, jeśli jest zarówno wewnętrzny regularny, jak i zewnętrzny regularny.

lokalnie skończone, jeśli dla każdego punktuistnieje jakieś sąsiedztwotego punktu takie, żejest skończone.

{\ Displaystyle \ omega \ w \ omega}

{\ Displaystyle U \ w {\ mathcal {F}} \ czapka \ tau}

{\ Displaystyle \ mu (U)}

Miara radonu, jeśli jest

miarą regularną i lokalnie skończoną.

Relacje między zestawami funkcji

Jeśli są dwie ustawione funkcje ponad to: $\mu {\tekst{i}}\nu$ ${\ Displaystyle \ Omega,}$

${\ Displaystyle \ mu}$ $\mu$ mówi się absolutnie ciągła względem $\nu$ lubzdominowana przez $\nu$ , zapisywanajeśli dla każdego zbioru,który należy do dziedziny obu,jeślito ${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$ ${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$ ${\ Displaystyle F}$ $F$ $\mu {\tekst{i}}\nu,$ $\mu {\tekst{i}}\nu,$ ${\ Displaystyle \ nu (F) = 0}$ ${\ Displaystyle \ nu (F) = 0}$ ${\ Displaystyle \ mu (F) = 0.}$ ${\ Displaystyle \ mu (F) = 0.}$
- Jeśli i są

-skończone miary na tej samej mierzalnej przestrzeni i jeśli wtedy istnieje pochodna Radona-Nikodyma i dla każdego mierzalnego

{\ Displaystyle \ mu}

\nu

\sigma

{\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu,}

{\frac {d\mu}}{d\nu}}

{\ Displaystyle F}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ int _ {F} {\ Frac {d \ mu} {d \ nu}} d \ nu.}

\mu {\tekst{i}}\nu

są liczba pojedyncza , pisana,jeśli istnieją zbiory rozłączneiw dziedzinachtakich, żedla wszystkichw domenieidla wszystkichw domenie

{\ Displaystyle \ mu \ sprawca \ nu,}

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle N}

\mu {\tekst{i}}\nu

{\ Displaystyle M \ filiżanka N = \ Omega,}

{\ Displaystyle \ mu (F) = 0}

F\subseteq M

\mu

{\ Displaystyle \ nu (F) = 0}

F\subseteq N

\nu.

Przykłady

Przykłady funkcji zestawu obejmują:

Funkcja ${\ Displaystyle d (A) = \ Lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {| A \ cap \ {1, \ ldots, n \} |} {n}}}$ przypisywanie gęstości do wystarczająco dobrze zachowujących się podzbiorów jest funkcją zestawu. ${\ Displaystyle A \ subseteq \ {1,2,3, \ ldots \},}$
Miara Lebesgue'a jest funkcją zestaw, który przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą do dowolnego zbioru liczb rzeczywistych, czyli w Lebesgue'a -algebra. $\sigma$
Miarą prawdopodobieństwa przypisuje prawdopodobieństwo każdego zestawu w Ď-algebry . W szczególności prawdopodobieństwo pustego zbioru wynosi zero, a prawdopodobieństwo przestrzeni próbki jest z innymi zbiorami o danych prawdopodobieństwach między i $1,$ ${\ Displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle 1.}$
Miara możliwości przypisuje liczbę od zera do jednego do każdego zestawu w powerset pewnego danego zestawu. Zobacz teorię możliwości .
Zbiór losowy to zmienna losowa o wartości zestawu . Zobacz artykuł losowy zestaw kompaktowy .

Nieruchomości

Rozszerzanie funkcji zbiorowych z semialgebry

Załóżmy, że jest to funkcja zbioru na

półalgebrze ponad i niech

{\ Displaystyle \ mu}

{\mathcal {F}}

{\ Displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}}): = \ lewo \ {F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n}: n \ w \ mathbb {N} {\ tekst { oraz }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ są parami rozłączne }}\right\},}

który jest algebra na generowane przez The archetypowych przykładzie semialgebra że nie jest również algebra jest rodzina

{\ Displaystyle \ Omega}

{\mathcal {F}}.

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {d}: = \ {\ varnothing \} \ filiżanka \ lewo \ {\ lewo (a_ {1}, b_ {1} \ prawo] \ razy \ cdots \ razy \ left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ dla wszystkich }}i=1,\ldots , d\prawo\}}

w którym wszystkim ważne, dwa nie-ścisłych nierówności w nie może być zastąpiona ściśle nierówności od czasu semialgebras może zawierać cały zestaw podstawowy , który jest, jest wymóg semialgebras (jak to ).

{\ Displaystyle \ Omega: = \ mathbb {R} ^ {d}}

{\ Displaystyle (a, b]: = \ {x \ w \ mathbb {R} : a<x \ leq b \}}

-\infty \leq a<b\leq \infty.

\,\leq \,

{\ Displaystyle - \ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty}

\,<\,

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d};}

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ w {\ mathcal {S}} _ {d}}

{\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {S}} _ {d}}

Jeśli jest

skończenie addytywny, to ma unikalne rozszerzenie funkcji zbioru na zdefiniowane przez wysłanie (więc są one parami rozłączne ) do:

{\ Displaystyle \ mu}

{\overline {\mu}}

{\ Displaystyle \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ Displaystyle F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ w \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ Displaystyle F_ {i} \ w {\ matematyczne {F}}}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}} \ po lewej (F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ po prawej): = \ mu \ po lewej (F_ {1} \ po prawej) + \ cdots + \ mu \lewo(F_{n}\prawo).}

To rozszerzenie będzie również skończenie addytywne: dla każdej pary rozłącznej

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ w \ operatorname {algebra} ({\ mathcal {F}}),}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}} \ po lewej (A_ {1} \ filiżanka \ cdots \ filiżanka A_ {n} \ po prawej) = {\ nadkreślenie {\ mu}} \ po lewej (A_ {1} \ po prawej) +\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}

Jeśli dodatkowo jest rozszerzona rzeczywista i

monotonna (co w szczególności będzie miała miejsce, jeśli jest nieujemna ), to będzie monotonna i skończenie subaddytywna : dla każdego takiego,

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu}

{\overline {\mu}}

{\ Displaystyle A, A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ w \ operatorname {algebry} ({\ mathcal {F}})}

{\ Displaystyle A \ podseteq A_ {1} \ filiżanka \ cdots \ filiżanka A_ {n},}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}} \ po lewej (A_ {1} \ filiżanka \ cdots \ filiżanka A_ {n} \ po prawej) \ leq {\ nadkreślenie {\ mu}} \ po lewej (A_ {1} \ po prawej) )+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}

Zobacz też

Ciągłość absolutna (teoria miary)
pierścień logiczny
Kryterium Carathéodory'ego
$δ$ -ring – Pierścień zamknięty pod przeliczalnymi przecięciami
Ciało zbiorów – koncepcja algebraiczna w teorii miary, zwana także algebrą zbiorów.
Twierdzenie o rozkładzie Hahna
Twierdzenie Lebesgue'a o dekompozycji
$π$ -układ – Rodzina zbiorów zamkniętych pod przecięciem
Zbiory dodatnie i ujemne
Twierdzenie Radona–Nikodyma – Wyrażanie miary jako całki innej
Krąg zestawów – Rodzina zamknięta pod związkami i dopełnieniami względnymi
σ-algebra – podzbiory, które są zamknięte pod sumą dopełnień i sumą policzalną
Funkcja zestawu dodatków Sigma
Sigma-ideał – Rodzina zamknięta pod podzbiorami i policzalnymi związkami
𝜎-pierścień – Pierścień zamknięty pod policzalnymi złączami
Funkcja zbioru submodularnego – Funkcja na podzbiorach, która ma właściwość malejących zwrotów

Uwagi

Bibliografia

Durrett, Richard (2019). Prawdopodobieństwo: teoria i przykłady (PDF) . Seria Cambridge w matematyce statystycznej i probabilistycznej. 49 (wyd. 5). Cambridge Nowy Jork, NY: Cambridge University Press . Numer ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 110115281 . Źródło 5 listopada 2020 .
Kołmogorowa, Andriej ; Fomin, Siergiej V. (1957). Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej . Dover Książki o matematyce. Nowy Jork: Dover Books. Numer ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626 .
AN Kołmogorowa i SV Fomin (1975), Wstępna analiza rzeczywista , Dover. ISBN 0-486-61226-0
Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .

Dalsza lektura

Sobolev, VI (2001) [1994], "Ustaw funkcję" , Encyklopedia Matematyki , Prasa EMS
Regularna funkcja zestawu w Encyklopedii Matematyki

Ten zestaw teoria związane z modelem artykuł jest en . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

Languages

In other projects