Establecer función - Set function

En matemáticas, especialmente en la teoría de la medida , una función de conjunto es una función cuyo dominio es una familia de subconjuntos de algún conjunto dado y que (generalmente) toma sus valores en la recta numérica real extendida que consiste en los números reales y ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ pm \ infty.}$

Una función de conjunto generalmente tiene como objetivo medir subconjuntos de alguna manera. Las medidas son ejemplos típicos de funciones de conjunto de "medida". Por lo tanto, el término "función de conjunto" se utiliza a menudo para evitar la confusión entre el significado matemático de "medida" y su significado en el lenguaje común.

Definiciones

Si es una familia de conjuntos más luego una función de conjunto en una función con dominio y codominio o, a veces, el codominio es en cambio un poco de espacio vectorial , al igual que con las medidas vectoriales , medidas complejas , y las medidas de proyección de valor . los ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty]}$ la variación total de un conjunto es ${\ Displaystyle S}$

{\ Displaystyle | \ mu | (S): = \ sup \ {| \ mu (F) |: F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {y}} F \ subseteq S \}}

donde denota el valor absoluto (o más generalmente, denota la norma o seminormal si se valora por vector en un espacio ( semi ) normado ). Asumiendo que entonces se llama

{\ Displaystyle | \, \ cdot \, |}

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ cup {\ mathcal {F}}: = \ bigcup _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ Displaystyle | \ mu | \ left (\ cup {\ mathcal {F}} \ right)}

variación total deyse llama

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ cup {\ mathcal {F}} \ right)}

masa de Una función de conjunto se llama

{\ Displaystyle \ mu.}

finito si para todoes finito (es decir, no es igual a); toda función de conjunto finito debe tener unamasafinita.

{\ Displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu (F)}

{\ Displaystyle \ pm \ infty}

En general, se asume típicamente que siempre está

bien definido para todos o de manera equivalente, que no toma ambos y como valores. Este artículo asumirá de ahora en adelante esto; aunque, alternativamente, todas las definiciones siguientes podrían estar calificadas por declaraciones como "siempre que se defina la suma / serie". Esto a veces se hace con resta, como con el siguiente resultado, que se mantiene siempre que sea finitamente aditivo :

{\ Displaystyle \ mu (E) + \ mu (F)}

{\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle - \ infty}

{\ Displaystyle + \ infty}

{\ Displaystyle \ mu}

Establecer fórmula de diferencia :se define con

{\ Displaystyle \ mu (F) - \ mu (E) = \ mu (F \ setminus E) {\ text {siempre que}} \ mu (F) - \ mu (E)}

{\ displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {satisfactoria}} E \ subseteq F {\ text {y}} F \ setminus E \ in {\ mathcal {F}}.}

Un conjunto se llama ${\ Displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}}$ conjunto nulo (con respecto a) o simplemente ${\ Displaystyle \ mu}$ null si Wheneveryno es idénticamente igual a cualquiera de los doso, por lo general, también se asume que: ${\ Displaystyle \ mu (F) = 0.}$ ${\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle - \ infty}$ ${\ Displaystyle + \ infty}$

conjunto vacío nulo : ${\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}$

Se dice que una función activada es ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

no negativo si se valora en ${\ Displaystyle [0, \ infty].}$
finitamente aditivo sipara todas

lassecuencias finitasdisjuntasporparestales que

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} \ Derecha)}

{\ Displaystyle F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}.}

Si está cerrado bajo

uniones binarias , entonces es finitamente aditivo si y solo si para todos los pares disjuntos

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (E \ cup F) = \ mu (E) + \ mu (F)}

{\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}.}

Si es finitamente aditivo y si entonces tomar muestra lo que solo es posible si o dónde en el último caso, para todos (por lo que solo el caso es útil).

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle E: = F: = \ varnothing}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ mu (\ varnothing) + \ mu (\ varnothing)}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = \ pm \ infty,}

{\ Displaystyle \ mu (E) = \ mu (E \ cup \ varnothing) = \ mu (E) + \ mu (\ varnothing) = \ mu (E) + (\ pm \ infty) = \ pm \ infty}

{\ Displaystyle E \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

contablemente aditivo oσ-aditivo si es finitamente aditivo y tambiénpara todas

lassecuenciasdisjuntasporparesental quey donde también se requiera que:

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i }\Derecha)}

{\ Displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}}

si no es infinita, entonces esta serie también debe

converger absolutamente , lo que por definición significa que debe ser finita. Esto es automáticamente cierto si no es negativo .

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right)}

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right)}

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | \ mu \ left (F_ {i} \ right) \ right |}

{\ Displaystyle \ mu}

Al igual que con cualquier serie convergente de números reales, según el teorema de la serie de Riemann , la serie converge absolutamente si y solo si su suma no depende del orden de sus términos (una propiedad conocida como

convergencia incondicional ). Explícitamente, la convergencia incondicional significa que si hay alguna permutación / biyección , entonces. Esto garantiza que el reetiquetado / reordenamiento de los conjuntos al nuevo orden no afecta la suma de sus medidas; esta es una demanda razonable ya que así como la unión de no depende del orden de estos conjuntos (es decir, porque ), es razonable esperar que y que (de hecho, esto incluso muestra que en este caso donde no es infinito, La convergencia incondicional es de hecho necesaria por el requisito de definición que se cumple para todas las secuencias disjuntas por pares ).

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right): = \ lim _ {N \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {1} \ derecha) + \ mu \ left (F_ {2} \ right) + \ cdots \ mu \ left (F_ {N} \ right)}

{\ Displaystyle \ rho: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F _ {\ rho (i)} \ derecha).}

{\ Displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots}

{\ Displaystyle F _ {\ rho (1)}, F _ {\ rho (2)}, \ ldots}

{\ Displaystyle F: = \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} F_ {i}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} = F = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F _ {\ rho (i)}}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ mu \ left (F_ {1} \ right) + \ mu \ left (F_ {2} \ right) + \ cdots}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ mu \ left (F _ {\ rho (1)} \ right) + \ mu \ left (F _ {\ rho (2)} \ right) + \ cdots \,}

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right)}

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i }\Derecha)}

{\ Displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \, \ in {\ mathcal {F}}}

si es infinito, también se requiere que el valor de al menos una de las series sea finito (para que la suma de sus valores esté bien definida). Esto es automáticamente cierto si

no es negativo .

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i }\Derecha)}

{\ Displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ left (F_ {i} \ right)> 0}} \ mu \ left (F_ {i} \ right) \; {\ text {y}} \; \ sum _ {\ stackrel {i \ in \ mathbb {N}} {\ mu \ left (F_ {i} \ right) <0}} \ mu \ left (F_ {i }\Derecha)\;}

{\ Displaystyle \ mu}

a medir sies no negativo, contablemente aditivo y satisface(asumiendo).

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}

a medida con signo sies contablemente aditivo, satisface(asumiendo) yno toma ambosycomo valores.

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}

{\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle - \ infty}

{\ Displaystyle + \ infty}

a medida de probabilidad si es una medida que tiene unamasade

{\ Displaystyle 1.}

monótono sisiempre quesatisfaga

{\ Displaystyle \ mu (E) \ leq \ mu (F)}

{\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle E \ subseteq F.}

finitamente subaditivo sipara todas las secuencias finitasque satisfacen

{\ Displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | \ mu \ left (F_ {i} \ right) \ right |}

{\ Displaystyle F, F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} F_ {i}.}

contablemente subaditivo sipara todas las secuenciasenque satisfacen

{\ Displaystyle | \ mu (F) | \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | \ mu \ left (F_ {i} \ right) \ right |}

{\ Displaystyle F, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle F \; \ subseteq \; \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i}.}

Como se describe en este artículo , para cualquier familia de

números reales indexados por un conjunto de indexación arbitrario es posible definir la suma de la serie generalizada que, como se esperaba, se denota por (si este límite existe o diverge ). Por ejemplo, if for every then while if then converge en if y solo si converge incondicionalmente (o de manera equivalente, converge absolutamente ). Se sabe que si una serie generalizada converge con su topología euclidiana habitual (lo que implica que ambos y también convergen en elementos de ), entonces el conjunto es necesariamente contable (es decir, finito o infinito numerable ); esto sigue siendo cierto si se reemplaza con cualquier espacio normado . De ello se deduce que donde la serie del lado derecho es la suma de un conjunto contable de números reales. Por lo tanto, debido a la naturaleza de los números reales y su topología, la definición de " numerable aditivo " rara vez se extendió de una cantidad numerable de conjuntos en (y la serie habitual contable ) a arbitrariamente muchos conjuntos (y la serie generalizada ).

{\ Displaystyle \ left (r_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ Displaystyle I,}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i},}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ pm \ infty}

{\ Displaystyle r_ {i} = 0}

{\ Displaystyle i \ in I}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i} = 0;}

{\ Displaystyle I = \ mathbb {N}}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in I} {r_ {i}> 0}} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in I} {r_ {i} <0}} r_ {i}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ left \ {i \ in I: r_ {i} \ neq 0 \ right \}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i} = 0}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} r_ {i} = \ sum _ {\ stackrel {i \ in I,} {r_ {i} = 0}} r_ {i} + \ sum _ {\ stackrel {i \ in I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i} = \ sum _ {\ stackrel {i \ in I,} {r_ {i} \ neq 0}} r_ {i}}

{\ Displaystyle F_ {1}, F_ {2}, \ ldots \,}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right)}

{\ Displaystyle \ left (F_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ mu \ left (F_ {i} \ right)}

Otras propiedades relacionadas

Se dice que una función establecida es ${\ Displaystyle \ mu}$

modular sipara todotal que ${\ Displaystyle \ mu (E \ cup F) + \ mu (E \ cap F) = \ mu (E) + \ mu (F)}$ ${\ Displaystyle \ mu (E \ cup F) + \ mu (E \ cap F) = \ mu (E) + \ mu (F)}$ ${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$ ${\ Displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
- Cada función finamente aditiva en un campo de conjuntos es modular.
submodular sipara todotal que ${\ Displaystyle \ mu (E \ cup F) + \ mu (E \ cap F) \ leq \ mu (E) + \ mu (F)}$ ${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle E \ cup F, E \ cap F \ in {\ mathcal {F}}.}$
completo si cuando seaentonces ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {satisface}} \ mu (F) = 0 {\ text {y}} N \ subseteq F}$ ${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}} {\ text {satisface}} \ mu (F) = 0 {\ text {y}} N \ subseteq F}$ ${\ Displaystyle N \ in {\ mathcal {F}} {\ text {y}} \ mu (N) = 0.}$ ${\ Displaystyle N \ in {\ mathcal {F}} {\ text {y}} \ mu (N) = 0.}$
- A diferencia de la mayoría de otras propiedades, esta propiedad depende tanto y 's valores. ${\ Displaystyle \ operatorname {dominio} \ mu = {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu}$
𝜎-finito si existe una secuenciaental quees finita para cada índicey también ${\ Displaystyle F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}, \ ldots \,}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ mu \ left (F_ {i} \ right)}$ ${\ Displaystyle i,}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} F_ {n} = \ bigcup _ {F \ in {\ mathcal {F}}} F.}$
continua desde abajo sipara todas las

secuencias no decrecientede conjuntosentales que

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right )}

{\ Displaystyle F_ {1} \ subseteq F_ {2} \ subseteq F_ {3} \ cdots \,}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}.}

continuo desde arriba sipara todas

las secuenciasde conjuntosno crecientesental queyes finito.

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu \ left (F_ {i} \ right) = \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right )}

{\ Displaystyle F_ {1} \ supseteq F_ {2} \ supseteq F_ {3} \ cdots \,}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} F_ {i} \ right)}

Definiciones relacionadas con la topología

Si es una

topología de entonces una función conjunto se dice que es:

{\ Displaystyle \ tau}

{\ Displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle \ mu}

${\ Displaystyle \ tau}$ -aditivo sisiemprese

dirigecon respecto ay satisface

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ bigcup {\ mathcal {D}} \ right) = \ sup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} \ mu (D)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ subseteq \ tau \ cap {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \, \ subseteq \,}

{\ Displaystyle \ bigcup {\ mathcal {D}}: = \ bigcup _ {D \ in {\ mathcal {D}}} D \ in {\ mathcal {F}}.}

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$ se dirige con respecto a si y solo si no está vacío y para todos existe algo tal que y ${\ Displaystyle \, \ subseteq \,}$ ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {D}}}$ ${\ Displaystyle C \ in {\ mathcal {D}}}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq C}$ ${\ Displaystyle B \ subseteq C.}$

interno regular oapretado si por cada

{\ Displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ sup \ {\ mu (K): F \ supseteq K {\ text {con}} K \ in {\ mathcal {F}} {\ text {un subconjunto compacto de}} (\ Omega, \ tau) \}.}

externo regular si para cada

{\ Displaystyle F \ in {\ mathcal {F}},}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ inf \ {\ mu (U): F \ subseteq U {\ text {y}} U \ in {\ mathcal {F}} \ cap \ tau \}.}

regular si es regular interna y regular externa.

localmente finito si para cada puntoexiste alguna vecindadde este punto tal quesea finito.

{\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}

{\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {F}} \ cap \ tau}

{\ Displaystyle \ mu (U)}

Medida de radón si es una medida regular y localmente finita.

Relaciones entre funciones establecidas

Si se superan las dos funciones establecidas, entonces: ${\ Displaystyle \ mu {\ text {y}} \ nu}$ ${\ Displaystyle \ Omega,}$

${\ Displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se ha dicho absolutamente continuo con respecto ${\ Displaystyle \ nu}$ aodominado por ${\ Displaystyle \ nu}$ , escritosi para cada conjuntoque pertenece al dominio de ambossientonces ${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$ ${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$ ${\ Displaystyle F}$ $F$ ${\ Displaystyle \ mu {\ text {y}} \ nu,}$ ${\ Displaystyle \ mu {\ text {y}} \ nu,}$ ${\ Displaystyle \ nu (F) = 0}$ ${\ Displaystyle \ nu (F) = 0}$ ${\ Displaystyle \ mu (F) = 0.}$ ${\ Displaystyle \ mu (F) = 0.}$
- Si y son

medidas finitas en el mismo espacio medible y si entonces existe la derivada Radon-Nikodym y para cada medible

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ nu}

{\ Displaystyle \ sigma}

{\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu,}

{\ Displaystyle {\ frac {d \ mu} {d \ nu}}}

{\ Displaystyle F,}

{\ Displaystyle \ mu (F) = \ int _ {F} {\ frac {d \ mu} {d \ nu}} d \ nu.}

{\ Displaystyle \ mu {\ text {y}} \ nu}

están singular , escritosi existen conjuntos disjuntosyen los dominios detal quepara todosen el dominio deypara todosen el dominio de

{\ Displaystyle \ mu \ perp \ nu,}

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle N}

{\ Displaystyle \ mu {\ text {y}} \ nu}

{\ Displaystyle M \ cup N = \ Omega,}

{\ Displaystyle \ mu (F) = 0}

{\ Displaystyle F \ subseteq M}

{\ Displaystyle \ mu,}

{\ Displaystyle \ nu (F) = 0}

{\ Displaystyle F \ subseteq N}

{\ Displaystyle \ nu.}

Ejemplos de

Ejemplos de funciones de conjunto incluyen:

La función ${\ Displaystyle d (A) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {| A \ cap \ {1, \ ldots, n \} |} {n}},}$ la asignación de densidades a subconjuntos que se comportan suficientemente

bien es una función establecida.

{\ Displaystyle A \ subseteq \ {1,2,3, \ ldots \},}

La medida de Lebesgue es una función de conjunto que asigna un número real no negativo a cualquier conjunto de números reales, es decir, en álgebra de Lebesgue .

{\ Displaystyle \ sigma}

Una medida de probabilidad asigna una probabilidad a cada conjunto en un σ-álgebra . Específicamente, la probabilidad del conjunto vacío es cero y la probabilidad del espacio muestral es con otros conjuntos dadas probabilidades entre y

{\ Displaystyle 1,}

{\ displaystyle 0}

{\ Displaystyle 1.}

Una medida de posibilidad asigna un número entre cero y uno a cada conjunto en el conjunto de

potencias de algún conjunto dado. Ver teoría de posibilidades .

Un conjunto aleatorio es una variable aleatoria con valores establecidos . Consulte el artículo conjunto compacto aleatorio .

Propiedades

Ampliación de funciones de conjunto desde una semialgebra

Supongamos que es una función de conjunto sobre un

semialgebra más y vamos

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle \ operatorname {álgebra} ({\ mathcal {F}}): = \ left \ {F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n}: n \ in \ mathbb {N} {\ text { y}} F_ {1}, \ ldots, F_ {n} \ in {\ mathcal {F}} {\ text {son disjuntos por pares}} \ right \},}

que es el álgebra en generada por el arquetípico ejemplo de un semialgebra que no es también un álgebra es la familia

{\ Displaystyle \ Omega}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.}

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {d}: = \ {\ varnothing \} \ cup \ left \ {\ left (a_ {1}, b_ {1} \ right] \ times \ cdots \ times \ izquierda (a_ {1}, b_ {1} \ right] ~: ~ - \ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty {\ text {para todos}} i = 1, \ ldots, d \ right \}}

sobre dónde para todos Es importante destacar que las dos desigualdades no estrictas en no pueden reemplazarse con desigualdades estrictas ya que las semialgebras deben contener todo el conjunto subyacente , es decir, es un requisito de las semialgebras (tal cual ).

{\ Displaystyle \ Omega: = \ mathbb {R} ^ {d}}

{\ Displaystyle (a, b]: = \ {x \ in \ mathbb {R}: a <x \ leq b \}}

{\ Displaystyle - \ infty \ leq a <b \ leq \ infty.}

{\ Displaystyle \, \ leq \,}

{\ Displaystyle - \ infty \ leq a_ {i} <b_ {i} \ leq \ infty}

{\ Displaystyle \, <\,}

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d};}

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ in {\ mathcal {S}} _ {d}}

{\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {S}} _ {d}}

Si está

finitamente aditiva entonces tiene una extensión única de una función de conjunto sobre definido por el envío (por lo que estos son disjuntas dos a dos ) a:

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}}}

{\ Displaystyle \ operatorname {álgebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ Displaystyle F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ in \ operatorname {álgebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ Displaystyle F_ {i} \ in {\ mathcal {F}}}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (F_ {1} \ sqcup \ cdots \ sqcup F_ {n} \ right): = \ mu \ left (F_ {1} \ right) + \ cdots + \ mu \ left (F_ {n} \ right).}

Esta extensión también será finitamente aditiva: para cualquier disjunta por pares

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operatorname {álgebra} ({\ mathcal {F}}),}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) = {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ right) + \ cdots + {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {n} \ right).}

Si además es de valor real extendido y

monótono (que, en particular, será el caso si no es negativo ) entonces será monótono y finitamente subaditivo : para cualquiera que

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}}}

{\ Displaystyle A, A_ {1}, \ ldots, A_ {n} \ in \ operatorname {álgebra} ({\ mathcal {F}})}

{\ Displaystyle A \ subseteq A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n},}

{\ Displaystyle {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n} \ right) \ leq {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {1} \ right ) + \ cdots + {\ overline {\ mu}} \ left (A_ {n} \ right).}

Ver también

Continuidad absoluta (teoría de la medida)
Anillo booleano
Criterio de Carathéodory
$δ$ -ring - Anillo cerrado debajo de intersecciones contables
Campo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos.
Teorema de descomposición de Hahn
Teorema de descomposición de Lebesgue
$π$ -system - Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
Conjuntos positivos y negativos
Teorema del radón-Nikodym : expresar una medida como integral de otra
Anillo de conjuntos - Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos
σ-álgebra : subconjuntos que están cerrados bajo complemento y uniones contables
Función de conjunto de aditivos sigma
Sigma-ideal - Familia cerrada bajo subconjuntos y uniones contables
Anillo 𝜎 - Anillo cerrado debajo de uniones contables
Función de conjunto submodular : función en subconjuntos que tiene una propiedad de rendimientos decrecientes

Notas

Referencias

Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 49 (5ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .
Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional . Libros de Dover sobre matemáticas. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626 .
AN Kolmogorov y SV Fomin (1975), Introducción al análisis real , Dover. ISBN 0-486-61226-0
Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .

Otras lecturas

Sobolev, VI (2001) [1994], "Establecer función" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Función de conjunto regular en Encyclopedia of Mathematics

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