Vanlig sekvens - Regular sequence

I kommutativ algebra är en vanlig sekvens en sekvens av element i en kommutativ ring som är så oberoende som möjligt, i en exakt mening. Detta är den algebraiska analogen till den geometriska uppfattningen om en fullständig korsning .

Definitioner

För en kommutativ ring R och en R - modul M , ett element r i R kallas en icke-noll-divisor på M om rm = 0 förut m = 0 för m i M . En M- regelbunden sekvens är en sekvens

r ₁ , ..., r _d i R

så att r _jag är en icke-noll-divisor på M / ( r ₁ , ..., r _{i -1} ) M för i = 1, ..., d . Vissa författare kräver också att M / ( r ₁ , ..., r _d ) M inte är noll. Att säga att r ₁ , ..., r _d är en M- regelbunden sekvens betyder intuitivt att dessa element "skär ned M " så mycket som möjligt, när vi successivt passerar från M till M / ( r ₁ ) M , till M / ( r ₁ , r ₂ ) M , och så vidare.

En R -regular sekvens kallas helt enkelt en regelbunden sekvens . Det vill säga, r ₁ , ..., r _d är en regelbunden sekvens om r ₁ är en icke-noll-divisor i R , r ₂ är en icke-noll-divisor i ringen R / ( r ₁ ), och så på. I geometrisk språk, om X är en affin schema och r ₁ , ..., r _d är en regelbunden sekvens i ringen av regelbundna funktioner på X , så säger vi att den slutna delsystem { r ₁ = 0, ..., r _d = 0} ⊂ X är en fullständig skärnings delsystem av X .

Exempelvis är x , y (1- x ), z (1- x ) en regelbunden sekvens i polynomringen C [ x , y , z ], medan y (1- x ), z (1- x ), x är inte en vanlig sekvens. Men om R är en Noetherian lokal ring och elementen r _jag är i det maximala ideala, eller om R är en graderad ring och r _jag är homogena för positiv grad, sedan någon permutation av en regelbunden sekvens är en regelbunden sekvens.

Låt R vara en Noetherian ring, jag är ett ideal i R , och M en ändligt genererad R- modell. Det djup av jag på M skrivna djup _R ( I , M ) eller bara djup ( I , M ), är supremum av längderna av alla M -regular sekvenser av element av jag . När R är en Noetherian lokal ringen och M är en ändligt genererad R -modul, det djupet av M skrivna djup _R ( M ) eller bara djup ( M ), organ djup _R ( m , M ); det vill säga, det är den supremum av längderna av alla M -regular sekvenser i den maximala ideala m av R . I synnerhet betyder djupet för en Noetherian lokal ring R djupet av R som en R- modul. Det vill säga djupet av R är den maximala längden för en regelbunden sekvens i det maximala idealet.

För en Noetherian lokal ring R är djupet för nollmodulen ∞, medan djupet för en icke- nollt finframställd R- modul M är högst Krull-dimensionen för M (även kallad dimensionen för stödet till M ).

exempel

• Givet en integrerad domän ger någon en regelbunden sekvens. I synnerhet innebär detta att någon kodöverskridning 1 på ett smidigt schema är regelbundet.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \ in R}$
• För ett primtal p är den lokala ringen Z _{( p )} framväxten av de rationella siffrorna som består av fraktioner vars nämnare inte är en multipel av p . Elementet p är en icke-nolldelare i Z _{( p )} , och kvotringen av Z _{( p )} av det ideal som genereras av p är fältet Z / ( p ). Därför kan inte p utökas till en längre regelbunden sekvens i det maximala idealet ( p ), och faktiskt har den lokala ringen Z _{( p )} djup 1.
• För alla fält k bildar elementen x ₁ , ..., x _n i polynomringen A = k [ x ₁ , ..., x _n ] en regelbunden sekvens. Det följer att lokaliseringen R för A vid det maximala idealet m = ( x ₁ , ..., x _n ) har djupet åtminstone n . I själva verket har R djup lika med n ; det vill säga, det finns ingen regelbunden sekvens i det maximala idealet för längd större än n .
• Mer allmänt, låt R vara en regelbunden lokal ring med maximal ideal m . Då bildar alla element r ₁ , ..., r _d av m som kartläggs till en bas för m / m ² som ett R / m- vektorutrymme en regelbunden sekvens.

Ett viktigt fall är när djupet för en lokal ring R är lika med dess Krull-dimension : R sägs då vara Cohen-Macaulay . De tre exemplen som visas är alla Cohen-Macaulay-ringar. På liknande sätt sägs en slutligt genererad R- modell M vara Cohen-Macaulay om dess djup är lika med dess dimension.

Icke-Exempel

Ett enkelt icke-exempel på en regelbunden sekvens ges av elementets sekvens sedan ${\ displaystyle (xy, x ^ {2})}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$

${\ displaystyle \ cdot x ^ {2}: {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(xy)}} \ till {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} { (xy)}}}$

har en icke-trivial kärna som ges av idealet . Liknande exempel kan hittas genom att titta på minimala generatorer för de ideal som genereras från reducerbara scheman med flera komponenter och ta delbilden för en komponent, men fetad. ${\ displaystyle (y) \ subset \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}$

tillämpningar

• Om r ₁ , ..., r _d är en regelbunden sekvens i en ring R , då Koszul komplexet är en explicit fri upplösning av R / ( r ₁ , ..., r _d ) som en R -modul, av form:

${\ displaystyle 0 \ höger pil R ^ {\ binom {d} {d}} \ höger pil \ cdots \ höger pil R ^ {\ binom {d} {1}} \ höger pil R \ höger pil R / (r_ {1}, \ ldots, r_ {d}) \ höger 0$

I det speciella fallet där R är den polynomiska ringen k [ r ₁ , ..., r _d ] ger detta en upplösning av k som en R- modul.

• Om jag är ett ideal som genereras av en regelbunden sekvens i en ring R , är den tillhörande graderade ringen

${\ displaystyle \ oplus _ {j \ geq 0} I ^ {j} / I ^ {j + 1}}$

är isomorf för polynomringen ( R / I ) [ x ₁ , ..., x _d ]. I geometriska termer följer att en lokal fullständig skärnings delsystem Y något schema X har en normal bunt som är en vektorknippe, även om Y kan vara singular.

Se även

• Komplett korsningsring
• Koszul-komplexet
• Djup (ringteori)
• Cohen-Macaulay-ring

anteckningar

referenser

• Bourbaki, Nicolas (2006), Algèbre. Kapitel 10. Algèbre Homologique , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-34493-3 , ISBN  978-3-540-34492-6 , MR  2327161
• Bourbaki, Nicolas (2007), Algèbre kommutativ. Chapitre 10 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-34395-0 , ISBN  978-3-540-34394-3 , MR  2333539
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay ringar . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN  0-521-41068-1
• David Eisenbud , kommutativ algebra med utsikt mot algebraisk geometri . Springer Graduate Texts in Mathematics, nr. 150. ISBN  0-387-94268-8
• Grothendieck, Alexander (1964), "Éléments de géometrie algébrique IV. Première partie" , Publikationer Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 20 : 1–259, MR  0173675