Projektivt objekt - Projective object

I kategoriteori generaliserar begreppet ett projektivt objekt tanken på en projektiv modul . Projektiva objekt i abeliska kategorier används i homologisk algebra . Den dubbla uppfattningen om ett projektivt objekt är det av ett injicerande objekt .

Ett objekt i en kategori är projektiv om du av någon epimorfi och morfism finns en morfism sådan att , det vill säga följande diagram pendlar: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle e: E \ twoheadrightarrow X}$ ${\ displaystyle f: P \ to X}$${\ displaystyle {\ overline {f}}: P \ to E}$${\ displaystyle e \ circ {\ overline {f}} = f}$

Det vill säga varje morfism faktorer genom varje epimorfism .${\ displaystyle P \ to X}$ ${\ displaystyle E \ twoheadrightarrow X}$

I en lokalt liten kategori är följande uttalande ekvivalent: är projektiv om hemfunktorn${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ colon {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Set}}$

bevarar epimorfismer .

Låt vara en abelisk kategori. I detta sammanhang kallas ett objekt ett projektivt objekt om ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ colon {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Ab}}$

är en exakt funktor , där är kategorin av abelian grupper . ${\ displaystyle \ mathbf {Ab}}$

Egenskaper

• Den biprodukt av två projektiva föremål är projektiva.
• Den indragnings av en projektiv objektet är projektiva.

Tillräckligt med projektiv

Låt vara en abelisk kategori . sägs ha tillräckligt projectives om för varje objekt av , det finns en projektiv föremål av och en exakt sekvens${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle P \ longrightarrow A \ longrightarrow 0.}$

Med andra ord är kartan "episk" eller en epimorfism . ${\ displaystyle p \ colon P \ to A}$

exempel

Uttalandet att alla uppsättningar är projektiva motsvarar det valda axiomet .

Projektiva objekt i kategorin abeliska grupper är de fria abeliska grupperna .

Låta vara en ring med 1. Tänk på (abelska) kategori av vänster -Moduler . De projektiva objekten i är just de projektiva vänstra R-modulerna . Följaktligen är i sig själv ett projektivt objekt i Dually, de injektionsobjekten i är exakt de injektiva vänster R-modulerna . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$

Den kategori av vänster (höger) -Moduler också har tillräckligt projectives. Detta är sant eftersom vi för varje vänster (höger) -modul kan ta oss att vara den fria (och därmed projektiva) -modulen som genereras av en genererande uppsättning för (vi kan faktiskt ta vara ). Då är den kanoniska projiceringen den nödvändiga undersökningen . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ pi \ colon F \ to M}$

referenser

Den här artikeln innehåller material från projektivt objekt på PlanetMath , som är licensierat under Creative Commons Erkännande / Share-Alike-licens .

Den här artikeln innehåller material från tillräckliga projektiv på PlanetMath , som är licensierat under Creative Commons Erkännande / Share-Alike-licens .