Functor direct de imagine - Direct image functor

În matematică , în domeniul teoriei sheafului și mai ales în geometria algebrică , functorul direct al imaginii generalizează noțiunea unei secțiuni de foaie în cazul relativ.

Definiție

Functoare pentru imagini pentru oie
imaginea directă f ∗
imaginea inversă f ∗
imagine directă cu suport compact f !
excepțională imagine inversă Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Teoreme de schimbare de bază
v T e

Să f : X → Y să fie o mapare continuă a spațiilor topologice , și Sh (-) La categoria de fascicole de grupuri abeliene pe un spațiu topologic. Directă a imaginii functorul

${\ displaystyle f _ {*}: Sh (X) \ to Sh (Y)}$

trimite o foaie F pe X la prefața de imagine directă

${\ displaystyle f _ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}$

care se dovedește a fi un fascicol pe Y .

Această temă este functorială, adică un morfism de fascicole φ: F → G pe X dă naștere unui morfism de fascicole f _* (φ): f _* ( F ) → f _* ( G ) pe Y .

Exemplu

Dacă Y este un punct, atunci imaginea directă este egală cu functorul secțiunilor globale . Fie f: X → Y o hartă continuă a spațiilor topologice sau un morfism al schemelor. Atunci imaginea inversă excepțională este un functor f ^! : D (Y) → D (X).

variante

O definiție similară se aplică pentru cojile de topoi , cum ar fi ciorapii cu etale . În locul precedentului parametru f ⁻¹ ( U ) se folosește produsul fibros al U și X peste Y.

Imagini directe superioare

Functorul direct al imaginii este lăsat exact, dar de obicei nu este exact exact. Prin urmare , se poate considera dreptul functori derivate ale imaginii directe. Se numesc imagini directe superioare și se notează R ^q f _∗ .

Se poate arăta că există o expresie similară ca cea de mai sus pentru imaginile directe superioare: pentru o foaie F pe X , R ^q f _∗ ( F ) este teaca asociată cu presheaf

${\ displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

Proprietăți

• Functorul directă a imaginii este adjoint dreptul la functorul imagine inversă , ceea ce înseamnă că pentru orice continuă și fascicolelor respectiv pe X , Y , există un izomorfism naturală:${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

• Dacă f este includerea unui subspațiu închis X ⊂ Y atunci f _∗ este exactă. De fapt, în acest caz , f _* este o echivalență între fascicole de pe X și scripeții pe Y sprijinit pe X . Reiese din faptul că tulpina lui este if și zero altfel (aici se utilizează închiderea lui X în Y ).${\ displaystyle (f _ {*} {\ matcal {F}}) _ {y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$${\ displaystyle y \ in X}$

Vezi si

• Teorema corectă a schimbării bazelor

Referințe

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190, în special secțiunea II.4

Acest articol încorporează material din imaginea directă (functor) de pe PlanetMath , care este licențiat sub licența Creative Commons Atribuire / Distribuție similară .