Přímý funktor obrazu - Direct image functor

V matematice , v oblasti teorie svazků a zejména v algebraické geometrii , funktor přímého obrazu zobecňuje pojem části svazku k relativnímu případu.

Definice

Funktory obrazu pro snopy
přímý obrázek f ∗
inverzní obraz f ∗
přímý obraz s kompaktní podporou f !
výjimečný inverzní obraz Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Věty o změně základny
proti t E

Nechť f : X → Y být spojité zobrazení z topologických prostorů , a Sh (-) Tento kategorie z snopy abelian skupin na topologického prostoru. Direct image functor

${\ displaystyle f _ {*}: Sh (X) \ až Sh (Y)}$

pošle svazek F na X do jeho přímého předobrazu obrazu

${\ displaystyle f _ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}$

který dopadá být svazek na Y .

Tento úkol je functorial, tj morfismus z kladky φ: F → G na X vede k morfismu úrody f _* (cp): f _* ( F ) → f _* ( G ) na Y .

Příklad

Pokud je Y bod, pak se přímý obraz rovná funktoru globálních řezů . Nechť f: X → Y je spojitá mapa topologických prostorů nebo morfismus schémat. Pak je výjimečný inverzní obraz funktor f ^! : D (Y) → D (X).

Varianty

Podobná definice platí pro snopy na topoi , jako jsou snopy etale . Namísto shora uvedeného určení vzoru f ^-1 ( U ) Tento vlákno produkt z U a X přes Y je použit.

Vyšší přímé obrázky

Přímý funktor obrazu je vlevo přesný, ale obvykle není pravý přesný. Proto lze uvažovat o správných odvozených funktorech přímého obrazu. Nazývají se vyšší přímé obrazy a označují se R ^q f _∗ .

Lze ukázat, že u vyšších přímých obrazů existuje podobný výraz jako výše: u svazku F na X je R ^q f _∗ ( F ) svazek spojený s presheaf

${\ displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

Vlastnosti

• Přímý funktor obrazu je správně přidružený k funktoru inverzního obrazu , což znamená, že pro jakýkoli spojitý a svazek respektive na X , Y existuje přirozený izomorfismus:${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

• Pokud f je zahrnutí uzavřeného podprostoru X ⊂ Y, pak f _∗ je přesné. Ve skutečnosti, v tomto případě F _* je ekvivalence mezi svazky na X a kladky na Y podporovaných na X . Vyplývá to ze skutečnosti, že stopka je if a nula jinak (zde se používá uzavřenost X v Y ).${\ displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {F}}) _ {y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$${\ displaystyle y \ v X}$

Viz také

• Věta o správné změně báze

Reference

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of snops , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190, zejm. oddíl II.4

Tento článek obsahuje materiál z Direct image (funktoru) na PlanetMath , který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License .