Direct afbeelding functor - Direct image functor

In wiskunde , op het gebied van bundel theorie en vooral in algebraïsche meetkunde , de directe afbeelding functor generaliseert het idee van een deel van een bundel met de relatieve methode.

Definitie

Afbeelding functors voor schoven
directe afbeelding f *
omgekeerde afbeeldingen f *
directe afbeelding met compact steun f !
image uitzonderlijke inverse Rf !
${\ Displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ Displaystyle (R) f _ {!} \ Leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Base verandering stellingen
v t e

Laat f : X → Y is een doorlopende toewijzing van topologische ruimten en Sh (-) de categorie van schijven van abelse groep op een topologische ruimte. De directe afbeelding functor

${\ Displaystyle f _ {*}: Sh (X) \ naar Sh (Y)}$

stuurt een schoof F op X om de directe afbeelding presheaf

${\ Displaystyle f _ {*} F (U) = F (f ^ {- 1} (U))}$

die blijkt een schoof op zijn Y .

Deze opdracht is functorial, dwz morfisme schijvenpaar φ: F → G van X leidt tot een morfisme schijvenpaar f _* (φ): f _* ( F ) → f _* ( G ) op Y .

Voorbeeld

Indien Y een punt, dan het directe beeld gelijk aan de globale secties functor . Zij f: X → Y een continue afbeelding van topologische ruimten of morfisme regelingen. Dan is de uitzonderlijke inverse is een functor f ^! : D (Y) → D (X).

varianten

Eenzelfde gedefinieerd bij schoven op topoi , zoals etale schijven . In plaats van de bovengenoemde voorafbeelding f ^-1 ( U ) het vezelproduct van U en X dan Y wordt toegepast.

Hogere directe beelden

De directe afbeelding functor is exact links, maar meestal niet recht exact. Vandaar dat men de juiste interessant afgeleide functors het directe beeld. Ze heten hoger direct beelden en aangeduid met R ^q f _* .

Men kan zien dat er een soortgelijke uitdrukking zoals hierboven hogere directe beelden: voor een schoof F op X , R ^q f _* ( F ) is de bundel verbonden met het presheaf

${\ Displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

eigenschappen

• De directe afbeelding functor is direct adjoint de omgekeerde afbeeldingen functor , wat betekent dat voor elk continu en schoven respectievelijk X , Y , is er een natuurlijke isomorfisme:${\ Displaystyle f: X \ Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ Sh mathbf {} (Y)} ({\ mathcal {G}}, {f _ *} {\ mathcal {F}})}$.

• Als f is de opname van een gesloten deelruimte X ⊂ Y dan f _* exact. Eigenlijk, in dit geval f _* een equivalentie tussen schijven op X en schijven op Y ondersteund X . Uit het feit dat de stengel van is als en anders nul (hier de geslotenheid van X in Y wordt gebruikt).${\ Displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {F}}) _ {y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$${\ Displaystyle y \ X}$

Zie ook

• Een goede basis verandering stelling

Referenties

• Iversen, Birger (1986), cohomologie van schoven , Universitext, Berlijn, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0.842.190, Esp. sectie II.4

Dit artikel bevat materiaal van Direct beeld (functor) op PlanetMath , dat is gelicenseerd onder de Creative Commons Attribution / Share-Alike License .