immagine funtore diretta - Direct image functor

In matematica , nel campo della teoria dei fasci e soprattutto in geometria algebrica , l' immagine funtore diretta generalizza la nozione di una sezione di un fascio per il caso relativo.

Definizione

funtori immagine per covoni
immagine diretta f *
inversa immagine f *
immagine diretta con supporto compatto f !
immagine inversa eccezionali Rf !
${\ Displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ Displaystyle (R) f _ {!} \ Leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
teoremi cambiamento di base
v t e

Let f : X → Y sia una mappatura continua di spazi topologici e Sh (-) la categoria dei covoni di gruppi abeliani su uno spazio topologico. L' immagine diretta funtore

${\ Displaystyle f _ * {}: Sh (X) \ a Sh (Y)}$

invia un fascio F sulla X alla sua prefascio immagine diretta

${\ Displaystyle f _ * {} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}$

che risulta essere un fascio su Y .

Questa assegnazione è funtoriale, cioè un morfismo di pulegge φ: F → G su X dà luogo ad un morfismo di pulegge f _* (φ): f _* ( F ) → f _* ( G ) su Y .

Esempio

Se Y è un punto, quindi l'immagine diretta è uguale al sezioni funtore globale . Sia f: X → Y una mappa continua di spazi topologici o di un morfismo di schemi. Poi l'immagine inversa eccezionale è un funtore F ^! : D (Y) → D (X).

varianti

Una definizione simile vale per pulegge su topoi , quali pulegge Etale . Invece dei suddetti preimage f ^-1 ( U ) del prodotto di fibra di U e X su Y viene utilizzato.

immagini dirette superiori

L'immagine funtore diretta viene lasciato esatta, ma di solito non proprio esatto. Quindi si può considerare il diritto funtori derivati dell'immagine diretto. Essi sono chiamati immagini dirette superiori e denotati R ^q f _* .

Si può dimostrare che esiste una simile espressione come sopra per immagini dirette superiori: per un fascio F su X , R ^q f _* ( F ) è il fascio associato al prefascio

${\ Displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

Proprietà

• L'immagine funtore diretta è proprio adjoint al funtore immagine inversa , il che significa che per ogni continue e pulegge rispettivamente su X , Y , c'è un isomorfismo naturale:${\ Displaystyle f: X \ Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {} Sh (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ * {} {\ mathcal {F}})}$.

• Se f è l'inclusione di un sottospazio chiuso X ⊂ Y allora f _* è esatta. In realtà, in questo caso f _* è un'equivalenza tra pulegge su X e pulegge su Y supportati su X . Risulta dal fatto che il gambo della è se e zero altrimenti (qui la closedness di X in Y viene utilizzato).${\ Displaystyle (f _ * {} {\ mathcal {F}}) _ {y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$${\ Displaystyle y \ in X}$

Guarda anche

• base di una corretta cambiamento teorema

Riferimenti

• Iversen, Birger (1986), Coomologia di covoni , Universitext, Berlino, New York: Springer Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0.842.190, Esp. sezione II.4

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