Direkte bilde functor - Direct image functor

I matematikk , innen skjeveteori og spesielt innen algebraisk geometri , generaliserer den direkte bildefunktoren forestillingen om en seksjon av en sjal til det relative tilfellet.

Definisjon

Bilde funktorer for skjær
direkte bilde f ∗
omvendt bilde f ∗
direkte bilde med kompakt støtte f !
eksepsjonelt omvendt bilde Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Grunnskiftesetninger
v t e

La f : X → Y være en kontinuerlig kartlegging av topologiske rom , og Sh (-) kategorien skiver av abeliske grupper på et topologisk rom. Den direkte bilde funktor

${\ displaystyle f _ {*}: Sh (X) \ til Sh (Y)}$

sender en sjalve F på X til den direkte forhåndsbildet av bildet

${\ displaystyle f _ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}$

som viser seg å være en bunke på Y .

Denne oppgaven er functorial, det vil si en morphism trinser φ: F → G på X gir opphav til en morphism trinser f _* (φ): f _* ( F ) → f _* ( G ) på Y .

Eksempel

Hvis Y er et poeng, er det direkte bildet lik den globale seksjonens funktor . La f: X → Y være et kontinuerlig kart over topologiske rom eller en morfisme av ordninger. Da er det eksepsjonelle omvendte bildet en funktor f ^! : D (Y) → D (X).

varianter

En lignende definisjon gjelder for skjær på topoi , for eksempel etalskjær . I stedet for den ovennevnte preimage f ^-1 ( U ) av fiberproduktet av U og X spissen Y er brukt.

Høyere direkte bilder

Direkte bildefunktoren står nøyaktig, men vanligvis ikke riktig. Derfor kan man vurdere de riktige avledede funktorene til det direkte bildet. De kalles høyere direkte bilder og betegnes R ^q f _∗ .

Man kan vise at det er et lignende uttrykk som ovenfor for høyere direkte bilder: for en skive F på X , er R ^q f _∗ ( F ) kanten assosiert med presheaf

${\ displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

Eiendommer

• Direkte bildefunktoren er rett i tilknytning til den omvendte bildefunktoren , noe som betyr at for enhver kontinuerlig og skjæring henholdsvis på X , Y , er det en naturlig isomorfisme:${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

• Hvis f er inkluderingen av et lukket underområde X ⊂ Y, er f _∗ nøyaktig. Faktisk, i dette tilfelle f _* er en ekvivalens mellom trinsene på X og skiver på Y understøttet på X . Det følger av at stilken av er hvis og null ellers (her brukes lukkigheten til X i Y ).${\ displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {F}}) _ {y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$${\ displaystyle y \ in X}$

Se også

• Riktig teorem for grunnendring

referanser

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190, spesielt avsnitt II.4

Denne artikkelen inneholder materiale fra Direct image (functor) på PlanetMath , som er lisensiert under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .