Functor de imagine inversă - Inverse image functor

În matematică , functorul de imagine inversă este o construcție covariabilă de stani . Functorul directă a imaginii este operațiunea principală pe scripeți, cu cea mai simplă definiție. Imaginea inversă prezintă câteva caracteristici relativ subtile.

Functoare pentru imagini pentru oie
imaginea directă f ∗
imaginea inversă f ∗
imagine directă cu suport compact f !
excepțională imagine inversă Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Teoreme de schimbare de bază
v T e

Definiție

Să presupunem că avem un fascicol pe și pe care dorim să transportul la utilizarea unei hartă continuă . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$

Vom numi rezultatul imaginea inversă sau pullback fascicol . Dacă încercăm să imităm imaginea directă prin setare ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ matcal {G}} (f (U))}$

pentru fiecare set deschis de , ne confruntăm imediat cu o problemă: nu este neapărat deschisă. Cel mai bun lucru pe care l-am putea face este să-l aproximăm prin seturi deschise și chiar atunci vom obține un preheaf și nu un sheaf. În consecință, definim să fie foaia asociată preheaf : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Iată un subset de deschideri, iar colimul rulează peste toate subseturile deschise de conținere .) ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f (U)}$

De exemplu, dacă este doar includerea unui punct de , atunci este doar tulpina din acest moment. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ matcal {F}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Hărțile de restricție, precum și functoriality imaginii inversă rezultă din proprietatea universală a limitelor directe .

Atunci când avem de-a face cu morfisme ale spațiilor inelate local , de exemplu scheme în geometria algebrică , se lucrează adesea cu snopii din -module , unde se află structura fâșiei . Atunci functorul este necorespunzător, pentru că, în general, nu dă nici măcar coji de -module. Pentru a remedia acest lucru, în această situație se definește o fâșie de -modulează imaginea inversă prin ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Proprietăți

• Deși este mai complicat de definit decât , tulpinile sunt mai ușor de calculat: dat un punct , unul are .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} \ cong {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ este un functor exact, așa cum se poate observa prin calculul de mai sus al tulpinilor.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$este (în general) doar corect. Dacă este exact, f se numește plat .${\ displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$este legătura din stânga a functorului direct al imaginii . Acest lucru implică faptul că există morfisme unitare și unități naturale și . Aceste morfisme produc o corespondență naturală de adjuncție:${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Cu toate acestea, morfisme și sunt aproape niciodată izomorfisme. De exemplu, dacă denotă includerea unui subset închis, tulpina unui punct este canonic izomorf la dacă este în și altfel. O completare similară este valabilă pentru cazul snopurilor de module, înlocuind cu . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle i \ colon Z \ to Y}$${\ displaystyle i _ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle i ^ {- 1}}$${\ displaystyle i ^ {*}}$

Referințe

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190. Vezi secțiunea II.4.