Suoran kuvan functor - Direct image functor

Vuonna matematiikan , alalla sheaf teoria ja erityisesti algebrallinen geometria , The suoran kuvan functor yleistää käsitteestä osan nippu suhteellista tapaus.

Määritelmä

Leikkurien kuvatoiminnot
suora kuva f ∗
käänteinen kuva f ∗
suora kuva kompakti tuki f !
poikkeuksellinen käänteinen kuva Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ vasemmanpuoleinen nuoli f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ vasemmanpuoleiset nuolet (R) f ^ {!}}$
Perusmuutoslauseet
v T e

Olkoon f : X → Y on jatkuva kuvaus on topologinen avaruus , ja Sh (-) luokka on lyhteitä Abelin ryhmä on topologinen avaruus. Suora kuva functor

${\ displaystyle f _ {*}: Sh (X) \ - Sh (Y)}$

lähettää nippu F on X suorille kuvan presheaf

${\ displaystyle f _ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}$

joka osoittautuu leikkaukseksi Y: llä .

Tämän tehtävän on functorial, eli morfismi narupyöriä φ: F → G on X synnyttää morfismi narupyöriä f _* (φ): f _* ( F ) → f _* ( G ) on Y .

esimerkki

Jos Y on piste, niin suora kuva on yhtä suuri kuin globaalien osien funktio . Olkoon f: X → Y jatkuva topologisten tilojen kartta tai kaavioiden morfismi. Sitten poikkeuksellinen käänteinen kuva on functor f ^! : D (Y) → D (X).

variantit

Samankaltainen määritelmä pätee topoin akseliin , kuten etale-akseliin . Sen sijaan, että edellä preimage f ^-1 ( U ) kuitutuote ja U ja X yli Y on käytetty.

Korkeammat suorat kuvat

Suoran kuvan toiminto jätetään tarkkaan, mutta yleensä ei oikein tarkkaan. Siksi voidaan harkita suoran kuvan oikeita johdettuja toimijoita . Niitä kutsutaan korkeammiksi suoriksi kuviksi ja merkitään R ^q f _∗ .

Voidaan osoittaa, että on olemassa vastaava ilmaisu kuten edellä korkeampi suoraan kuvia: varten nippu F on X , R ^q f _* ( F ) on nippu assosioitunut presheaf

${\ näyttötyyli U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

ominaisuudet

• Kuvan suoran functor on oikeus adjoint on käänteinen kuva functor , joka tarkoittaa sitä, että minkä tahansa jatkuvan ja köysipyörät vastaavasti X , Y , on luonnollinen isomorphism:${\ displaystyle f: X \ - Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

• Jos f on sisällyttäminen suljettu aliavaruus X ⊂ Y sitten f _* on tarkka. Itse asiassa, tässä tapauksessa f _* on vastaavuus välillä hihnapyörän X ja hihnapyörän Y tuettu X . Se johtuu tosiasiasta, että varsi on jos ja nolla muuten (tässä käytetään X : n sulkua Y: ssä ).${\ displaystyle (f _ {*} {\ matemaattinen {F}}) _ {y}}$${\ displaystyle {\ matemaattinen {F}} _ {y}}$${\ displaystyle y \ sisään X}$

Katso myös

• Oikea kannanmuutoslause

Viitteet

• Iversen, Birger (1986), Leikkien koomologia , Universitext, Berliini, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190, esp. jakso II.4

Tämä artikkeli sisältää materiaalia suora kuva (functor) päällä PlanetMath , joka on lisensoitu Creative Commons Nimeä / Share-Alike .