Functor de imagen directa - Direct image functor

En matemáticas , en el campo de la teoría de la gavilla y especialmente en la geometría algebraica , el funtor de imagen directa generaliza la noción de una sección de una gavilla al caso relativo.

Functores de imagen para gavillas
imagen directa f ∗
imagen inversa f ∗
imagen directa con soporte compacto f !
excepcional imagen inversa Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Teoremas de cambio de base
v t mi

Definición

Sea f : X → Y un mapeo continuo de espacios topológicos , y Sh (-) denota la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El functor de imagen directo

${\ displaystyle f _ {*}: \ operatorname {Sh} (X) \ to \ operatorname {Sh} (Y)}$

envía una gavilla F en X a su imagen directa de la gavilla anterior, que se define en los subconjuntos abiertos U de Y por

${\ Displaystyle f _ {*} F (U): = F (f ^ {- 1} (U)),}$

que resulta ser una gavilla en Y , también llamada gavilla de empuje hacia adelante .

Esta asignación es funtorial, es decir, un morfismo de poleas φ: F → G en X da lugar a un morfismo de haces f _* (φ): f _* ( F ) → f _* ( G ) en Y .

Ejemplo

Si Y es un punto, entonces la imagen directa es igual al functor de secciones globales . Sea f: X → Y un mapa continuo de espacios topológicos o un morfismo de esquemas. ¡Entonces la imagen inversa excepcional es un functor f ^! : D (Y) → D (X).

Variantes

Una definición similar se aplica a las gavillas en topoi , como las gavillas étale . En lugar de la preimagen f ⁻¹ ( U ) anterior, se usa el producto de fibra de U y X sobre Y.

Imágenes directas más altas

El functor de imagen directo es exacto a la izquierda , pero generalmente no exacto a la derecha. Por tanto, se pueden considerar los functores derivados correctos de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan como R ^q f _∗ .

Se puede mostrar que hay una expresión similar a la anterior para imágenes directas superiores: para una gavilla F en X , R ^q f _∗ ( F ) es la gavilla asociada a la presheaf

${\ Displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F).}$

Propiedades

• El funtor de imagen directo está junto al funtor de imagen inverso , lo que significa que para cualquier continuo y rollos respectivamente en X , Y , hay un isomorfismo natural:${\ Displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

• Si f es la inclusión de un subespacio cerrado X ⊆ Y entonces f _∗ es exacta. En realidad, en este caso f _* es una equivalencia entre poleas en X y las poleas en Y admite en X . Se deduce del hecho de que el tallo de es si y cero en caso contrario (aquí se utiliza la cercanía de X en Y ).${\ Displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {F}}) _ {y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {y}}$${\ Displaystyle y \ en X}$

Ver también

• Teorema del cambio de base adecuado

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190, esp. sección II.4

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