Direkte integrering - Direct integral

I matematikk og funksjonsanalyse er en direkte integral en generalisering av begrepet direkte sum . Teorien er mest utviklet for direkte integraler av Hilbert-rom og direkte integraler av von Neumann-algebraer . Konseptet ble introdusert i 1949 av John von Neumann i et av papirene i serien On Rings of Operators . Et av von Neumanns mål i denne artikkelen var å redusere klassifiseringen av (det som nå kalles) von Neumann-algebraer på separerbare Hilbert-rom til klassifiseringen av såkalte faktorer. Faktorer er analoge med fullmatrise-algebraer over et felt, og von Neumann ønsket å bevise en kontinuerlig analog av Artin – Wedderburn-teoremet som klassifiserte semi-enkle ringer.

Resultater på direkte integraler kan sees på som generaliseringer av resultater om endelige dimensjonale C * -algebras av matriser; i dette tilfellet er resultatene enkle å bevise direkte. Det uendelige dimensjonale tilfellet kompliseres av måle-teoretiske teknikaliteter.

Direkte integrert teori ble også brukt av George Mackey i sin analyse av systemer med upåklagelighet og hans generelle teori om induserte representasjoner av lokalt kompakte separerbare grupper.

Direkte integraler av Hilbert-rom

Det enkleste eksempel på en direkte integral er de L- ² mellomrom er forbundet til en (σ-finite) countably additivt mål μ på en målbar plass X . Noe mer generelt kan man vurdere et skillbart Hilbert-rom H og rommet med kvadratintegrerbare H- verdsatte funksjoner

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Terminologisk merknad : Terminologien som er vedtatt av litteraturen om emnet følges her, ifølge hvilken et målbart rom X blir referert til som et Borel-rom og elementene i den fremtredende σ-algebra av X som Borel setter, uavhengig av om ikke den underliggende σ-algebra kommer fra et topologisk rom (i de fleste eksempler gjør det det). Et Borel-rom er standard hvis og bare hvis det er isomorft til det underliggende Borel-rommet i et polsk rom ; alle polske rom med en gitt kardinalitet er isomorfe for hverandre (som Borel-mellomrom). Gitt et tellbart additivt mål μ på X , er et målbart sett et som skiller seg fra et Borel sett med et null sett . Tiltaket μ på X er et standardmål hvis og bare hvis det er et nullsett E slik at komplementet X - E er et standard Borel-rom . Alle tiltak som vurderes her er σ-endelige.

Definisjon . La X være et Borel-rom utstyrt med et målbart additivmål μ. En målbar familie av Hilbert-mellomrom på ( X , μ) er en familie { H _x } _{x ∈ X} , som lokalt tilsvarer en triviell familie i følgende forstand: Det er en tellbar partisjon

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

ved målbare undergrupper av X slik at

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ i X_ {n}}$

der H _n er det kanoniske n -dimensjonale Hilbert-rommet, altså

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} og {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ høyre.}$

Et tverrsnitt av { H _x } _{x ∈ X} er en familie { s _x } _{x ∈ X} slik at s _x ∈ H _x for alle x ∈ X . Et tverrsnitt er målbar hvis og bare hvis dens begrensning for hvert område-element X _n er målbar. Vi vil identifisere målbare tverrsnitt s , t som er like nesten overalt . Gitt en målbar familie av Hilbert-rom, den direkte integralen

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

består av likeverdighet klasser (med hensyn til nesten overalt likhet) av målbare kvadratiske integrerbare tverrsnitt av { H _x } _{x ∈ X} . Dette er et Hilbert-rom under det indre produktet

${\ displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Gitt den lokale karakteren av vår definisjon, gjelder mange definisjoner som gjelder for enkelt Hilbert-rom også for målbare familier av Hilbert-rom.

Merknad . Denne definisjonen er tilsynelatende mer restriktiv enn den som er gitt av von Neumann og diskutert i Dixmiers klassiske avhandling om von Neumann-algebraer. I den mer generelle definisjonen får Hilbert- romfibrene H _x variere fra punkt til punkt uten å ha et lokalt trivialitetskrav (lokalt i en målteoretisk forstand). En av hovedsetningene til von Neumann-teorien er å vise at den mer generelle definisjonen faktisk kan reduseres til den enklere som er gitt her.

Merk at den direkte integralen til en målbar familie av Hilbert-rom bare avhenger av måleklassen til tiltaket μ; mer presist:

Setning . Anta at μ, ν er σ-endelige tellbare additivmål på X som har samme sett med mål 0. Deretter kartlegger

${\ displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

er en enhetsoperatør

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Eksempel

Teknisk sett er de enkleste eksemplene når X er et tellbart sett og μ er et diskret mål. Gjennom hele gjenstanden, vil vi betrakte følgende løpende eksempel hvor X = N og μ regner mål på N . I dette tilfellet er en hvilken som helst sekvens { H _k } av separer Hilbertrom kan betraktes som en målbar familie. Videre

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Nedbrytbare operatører

I vårt løpeeksempel, hvilken som helst avgrenset lineær operator T på

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

er gitt av en uendelig matrise

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ slutt {bmatrix}}.}$

Tenk på operatører som er blokkdiagonale , det vil si at alle oppføringer utenfor diagonalen er null. Vi kaller disse operatørene nedbrytbare . Disse operatørene kan karakteriseres som de som pendler med diagonale matriser:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Vi går nå videre til den generelle definisjonen: En familie av avgrensede operatorer { T _x } _{x ∈ X} med T _x ∈ L ( H _x ) sies å være sterkt målbar hvis og bare hvis begrensningen til hver X _n er sterkt målbar. Dette gir mening fordi H _x er konstant på X _n .

Målbare familier av operatører med en i det vesentlige avgrenset norm, altså

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

definere avgrensede lineære operatorer

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

handler på en punktvis måte, altså

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Slike operatører sies å være nedbrytbare .

Eksempler på spaltbare operatorer er de som er definert med skalar-verdi (det vil si C -valued) målbare funksjoner X på X . Faktisk,

Setning . Kartleggingen

${\ displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

gitt av

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

er en ufrivillig algebraisk isomorfisme på sitt bilde.

Av denne grunn vil vi identifisere L ^∞ _μ ( X ) med bildet av φ.

Teorem Nedbrytbare operatører er nettopp de som er i operatørkommutanten til den abelske algebra L ^∞ _μ ( X ).

Nedbrytning av Abelian von Neumann algebraer

Spektralsetningen har mange varianter. En spesielt kraftig versjon er som følger:

Setning . For enhver Abelian von Neumann-algebra A på et separerbart Hilbert-rom H , er det et standard Borel-rom X og et mål μ på X slik at det tilsvarer enhetlig som en operatøralgebra til L ^∞ _μ ( X ) som virker direkte på en integral av Hilbert mellomrom

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Å hevde A tilsvarer enhetlig L ^∞ _μ ( X ) som operatøralgebra betyr at det er en enhet

${\ displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

slik at U A U * er algebraen til diagonale operatorer L ^∞ _μ ( X ). Merk at dette hevder mer enn bare den algebraiske ekvivalensen av A med algebraen til diagonale operatorer.

Denne versjonen sier imidlertid ikke eksplisitt hvordan den underliggende standard Borel space X oppnås. Det er et unikt resultat for ovennevnte nedbrytning.

Setning . Hvis Abelian von Neumann-algebra A tilsvarer enhetlig både L ^∞ _μ ( X ) og L ^∞ _ν ( Y ) som virker på de direkte integrerte rommene

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

og μ, ν er standardmål, så er det en Borel-isomorfisme

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

der E , F er null sett slik at

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {nesten overalt}}}$

φ er en målklasse isomorfisme, det vil si φ og dens inverse bevaringssett av mål 0.

Disse to foregående setningene gir fullstendig klassifisering av Abelian von Neumann-algebraer på separerbare Hilbert-rom. Merk at denne klassifiseringen faktisk tar hensyn til realiseringen av von Neumann-algebra som en algebra av operatører. Hvis vi bare betrakter den underliggende von Neumann-algebra uavhengig av dens realisering som en von Neumann-algebra, blir dens struktur bestemt av veldig enkle måle-teoretiske invarianter.

Direkte integraler av von Neumann-algebraer

La { H _x } _{x ∈ X} være en målbar familie av Hilbert-mellomrom. En familie av von Neumann algebraer { A _x } _{x ∈ X} med

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

er målbar hvis og bare hvis det er et tellbart sett D av målbare operatorfamilier som punktvis genererer { A _x } _{x ∈ X} som en von Neumann-algebra i følgende betydning: For nesten alle x ∈ X ,

${\ displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

hvor W * ( S ) angir von Neumann algebra som genereres av settet S . Hvis { A _x } _{x ∈ X} er en målbar familie av von Neumann-algebraer, er den direkte integralen til von Neumann-algebraer

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

består av alle operatører av skjemaet

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

for T _x ∈ A _x .

En av hovedsetningene til von Neumann og Murray i deres opprinnelige papirserie er et bevis på dekomponeringsteoremet: Enhver von Neumann-algebra er en direkte integrering av faktorer. Vi oppgir dette nøyaktig nedenfor.

Setning . Hvis { A _x } _{x ∈ X} er en målbar familie av von Neumann-algebraer og μ er standard, er familien av operatørkommutanter også målbar og

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Sentral nedbrytning

Anta at A er en von Neumann-algebra. la Z ( A ) være sentrum for A , det er settet med operatører i A som pendler med alle operatører A , det vil si

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) er en abeliansk von Neumann-algebra.

Eksempel . Sentrum av L ( H ) er 1-dimensjonalt. Generelt, hvis A er en von Neumann-algebra, hvis sentrum er 1-dimensjonalt, sier vi at A er en faktor .

Anta nå at A er en von Neumann-algebra hvis senter inneholder en sekvens av minimale parvise ortogonale ikke-null-projeksjoner { E _i } _{i ∈ N} slik at

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Da er A E _i en von Neumann-algebra på området H _i til E _i . Det er lett å se A E _i er en faktor. Dermed i dette spesielle tilfellet

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

representerer A som en direkte sum av faktorer. Dette er et spesielt tilfelle av den sentrale nedbrytningssetningen til von Neumann.

Generelt kan vi bruke struktursetningen til Abelian von Neumann-algebraer som representerer Z ( A ) som en algebra av skalare diagonale operatører. I en slik representasjon er alle operatørene i A nedbrytbare operatører. Faktisk kan vi bruke dette til å bevise det grunnleggende resultatet av von Neumann at enhver von Neumann-algebra innrømmer en nedbrytning i faktorer.

Setning . Anta

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

er en direkte integrert nedbrytning av H og A er en von Neumann-algebra på H slik at Z ( A ) er representert av algebraen til skalar diagonale operatorer L ^∞ _μ ( X ) hvor X er et standard Borel-rom. Deretter

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

hvor for nesten alle x ∈ X , A _x er en von Neumann-algebra som er en faktor .

Målbare familier av representasjoner

Hvis A er en skillbar C * -algebra, kan vi vurdere målbare familier av ikke-degenererte * -representasjoner av A ; husk at i tilfelle A har en enhet, tilsvarer ikke-degenerasjon enhetsbevaring. Ved den generelle korrespondansen som eksisterer mellom sterkt kontinuerlige enhetlige representasjoner av en lokalt kompakt gruppe G og ikke-degenererte * -representasjoner av gruppene C * -algebra C * ( G ), gir teorien for C * -algebras umiddelbart en nedbrytningsteori for representasjoner av separerbare lokalt kompakte grupper.

Setning . La A være en adskillbar C * -algebra og π en ikke-degenererte involutiv representasjon av A på en adskillbar Hilbert plass H . La W * (π) være den von Neumann algebra generert av operatørene π ( en ) for en ∈ A . Deretter tilsvarer en hvilken som helst sentral nedbrytning av W * (π) over et standardmålrom ( X , μ) (som som sagt er unikt i en målteoretisk forstand) en målbar familie av faktorrepresentasjoner

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ i X}}$

av A slik at

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

Videre er det en delmengde N av X med μ-mål null, slik at π _x , π _y er usammenhengende når x , y ∈ X - N , hvor representasjoner sies å være usammenhengende hvis og bare hvis det ikke er noen sammenflettende operatører mellom dem .

Man kan vise at den direkte integralet kan indekseres på den såkalte kvasi-spektrum Q av A , bestående av kvasi-likeverdighet klasser av faktor representasjoner av A . Dermed er det et standardmål μ på Q og en målbar familie av faktorrepresentasjoner indeksert på Q slik at π _x tilhører klassen x . Denne nedbrytningen er egentlig unik. Dette resultatet er grunnleggende i teorien om gruppepresentasjoner.

Referanser

• J. Dixmier , Von Neumann algebras , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, C * algebras ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , On Rings of Operators. Reduksjonsteori The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, nr. 2 (apr. 1949), s. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", encyclopedia of mathematical sciences, Springer-Verlag, 2001–2003 (første bind ble utgitt 1979 i 1. utgave) ISBN   3-540-42248-X