Integral directa - Direct integral

En matemáticas y análisis funcional, una integral directa es una generalización del concepto de suma directa . La teoría está más desarrollada para integrales directas de espacios de Hilbert e integrales directas de álgebras de von Neumann . El concepto fue introducido en 1949 por John von Neumann en uno de los artículos de la serie On Rings of Operators . Uno de los objetivos de von Neumann en este artículo era reducir la clasificación de (lo que ahora se llama) álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert separables a la clasificación de los llamados factores. Los factores son análogos a las álgebras de matrices completas sobre un campo, y von Neumann quería probar un análogo continuo del teorema de Artin-Wedderburn que clasifica anillos semi-simples.

Los resultados en integrales directas pueden verse como generalizaciones de resultados sobre C * -álgebras de matrices de dimensión finita ; en este caso, los resultados son fáciles de probar directamente. El caso de dimensión infinita se complica por tecnicismos de la teoría de la medida.

George Mackey también utilizó la teoría integral directa en su análisis de los sistemas de imprimitividad y su teoría general de las representaciones inducidas de grupos separables localmente compactos.

Integrales directas de espacios de Hilbert

El ejemplo más simple de una integral directa son los L ² espacios asociados a un (σ-finito) numerable aditivo μ medida en un espacio medible X . Algo más en general, se puede considerar un espacio de Hilbert separable H y el espacio de cuadrado integrable H funciones -valued

${\ Displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Nota terminológica : Aquí se sigue la terminología adoptada por la literatura sobre el tema, según la cual un espacio medible X se denomina espacio de Borel y los elementos de la distinguida σ-álgebra de X como conjuntos de Borel, independientemente de si el σ-álgebra subyacente proviene de un espacio topológico (en la mayoría de los ejemplos lo hace). Un espacio Borel es estándar si y solo si es isomorfo al espacio Borel subyacente de un espacio polaco ; todos los espacios polacos de una cardinalidad dada son isomorfos entre sí (como espacios de Borel). Dada una medida aditiva contable μ en X , un conjunto medible es aquel que difiere de un conjunto de Borel por un conjunto nulo . La medida μ en X es una medida estándar si y solo si hay un conjunto nulo E tal que su complemento X - E es un espacio de Borel estándar . Todas las medidas consideradas aquí son σ-finitas.

Definición . Sea X un espacio de Borel equipado con una medida aditiva contable μ. Una familia medible de espacios de Hilbert en ( X , μ) es una familia { H _x } _{x ∈ X} , que es localmente equivalente a una familia trivial en el siguiente sentido: Hay una partición contable

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

por subconjuntos medibles de X tal que

${\ Displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ in X_ {n}}$

donde H _n es el espacio de Hilbert canónico n- dimensional, es decir

${\ Displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ right.}$

Una sección transversal de { H _x } _{x ∈ X} es una familia { s _x } _{x ∈ X} tal que s _x ∈ H _x para todo x ∈ X . Una sección transversal es medible si y solo si su restricción a cada elemento de partición X _n es medible. Identificaremos secciones transversales medibles s , t que son iguales en casi todas partes . Dada una familia medible de espacios de Hilbert, la integral directa

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

consta de clases de equivalencia (con respecto a casi todas partes la igualdad) de medibles de cuadrado integrable secciones transversales de { H _x } _{x ∈ X} . Este es un espacio de Hilbert debajo del producto interior.

${\ Displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Dada la naturaleza local de nuestra definición, muchas definiciones aplicables a espacios individuales de Hilbert también se aplican a familias medibles de espacios de Hilbert.

Observación . Esta definición es aparentemente más restrictiva que la dada por von Neumann y discutida en el tratado clásico de Dixmier sobre álgebras de von Neumann. En la definición más general, se permite que las fibras espaciales de Hilbert H _x varíen de un punto a otro sin tener un requisito de trivialidad local (local en un sentido teórico de la medida). Uno de los principales teoremas de la teoría de von Neumann es mostrar que, de hecho, la definición más general puede reducirse a la más simple dada aquí.

Tenga en cuenta que la integral directa de una familia medible de espacios de Hilbert depende sólo de la clase de medida de la medida μ; más precisamente:

Teorema . Suponga que μ, ν son medidas aditivas contables finitas σ en X que tienen los mismos conjuntos de medidas 0. Entonces el mapeo

${\ Displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

es un operador unitario

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Ejemplo

Técnicamente, los ejemplos más simples son cuando X es un conjunto contable y μ es una medida discreta. A lo largo del artículo, vamos a considerar el siguiente ejemplo se ejecuta en la que X = N y μ está contando medida en N . En este caso, cualquier secuencia { H _k } de espacios de Hilbert separables se puede considerar como una familia medible. Es más,

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Operadores descomponibles

En nuestro ejemplo de ejecución, cualquier operador lineal acotado T en

${\ Displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

está dado por una matriz infinita

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Considere los operadores que tienen una diagonal de bloque , es decir, todas las entradas fuera de la diagonal son cero. A estos operadores los llamamos descomponibles . Estos operadores se pueden caracterizar como los que conmutan con matrices diagonales:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Pasamos ahora a la definición general: se dice que una familia de operadores acotados { T _x } _{x ∈ X} con T _x ∈ L ( H _x ) es fuertemente medible si y solo si su restricción a cada X _n es fuertemente medible. Esto tiene sentido porque H _x es constante en X _n .

Familias medibles de operadores con una norma esencialmente limitada, es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

definir operadores lineales acotados

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

actuando de una manera puntual, es decir

${\ Displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Se dice que estos operadores son descomponibles .

Ejemplos de operadores descomponibles son aquellos definidos por valores escalares (es decir, C -valued) funciones medibles lambda en X . De hecho,

Teorema . El mapeo

${\ Displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

dada por

${\ Displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

es un isomorfismo algebraico involutivo sobre su imagen.

Por esta razón identificaremos L ^∞ _μ ( X ) con la imagen de φ.

Teorema Los operadores descomponibles son precisamente los que están en el operador conmutador del álgebra abeliana L ^∞ _μ ( X ).

Descomposición de álgebras de Abelian von Neumann

El teorema espectral tiene muchas variantes. Una versión particularmente poderosa es la siguiente:

Teorema . Para cualquier álgebra de Abelian von Neumann A en un espacio de Hilbert separable H , hay un espacio de Borel estándar X y una medida μ en X tal que es unitariamente equivalente como un operador de álgebra a L ^∞ _μ ( X ) que actúa sobre una integral directa de Espacios de Hilbert

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Afirmar que A es unitariamente equivalente a L ^∞ _μ ( X ) como un operador de álgebra significa que hay un unitario

${\ Displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

tal que U A U * es el álgebra de operadores diagonales L ^∞ _μ ( X ). Tenga en cuenta que esto afirma algo más que la equivalencia algebraica de A con el álgebra de operadores diagonales.

Sin embargo, esta versión no establece explícitamente cómo se obtiene el espacio X de Borel estándar subyacente . Hay un resultado de unicidad para la descomposición anterior.

Teorema . Si el álgebra A de Abelian von Neumann es unitariamente equivalente tanto a L ^∞ _μ ( X ) como a L ^∞ _ν ( Y ) actuando sobre los espacios integrales directos

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

y μ, ν son medidas estándar, entonces hay un isomorfismo de Borel

${\ Displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

donde E , F son conjuntos nulos tales que

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {casi en todas partes}}}$

φ es un isomorfismo de clase de medida, es decir φ y su inverso preservan conjuntos de medida 0.

Estos dos teoremas anteriores proporcionan la clasificación completa de las álgebras de Abelian von Neumann en espacios de Hilbert separables. Tenga en cuenta que esta clasificación en realidad tiene en cuenta la realización del álgebra de von Neumann como un álgebra de operadores. Si solo consideramos el álgebra de von Neumann subyacente independientemente de su realización como un álgebra de von Neumann, entonces su estructura está determinada por invariantes teóricos de medidas muy simples.

Integrales directas de álgebras de von Neumann

Sea { H _x } _{x ∈ X} una familia medible de espacios de Hilbert. Una familia de álgebras de von Neumann { A _x } _{x ∈ X} con

${\ Displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

es medible si y solo si hay un conjunto contable D de familias de operadores medibles que generan puntualmente { A _x } _{x ∈ X} como un álgebra de von Neumann en el siguiente sentido: Para casi todo x ∈ X ,

${\ Displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

donde * W ( S ) denota el álgebra de von Neumann generada por el conjunto S . Si { A _x } _{x ∈ X} es una familia medible de álgebras de von Neumann, la integral directa de las álgebras de von Neumann

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

consta de todos los operadores de la forma

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

para T _x ∈ A _x .

Uno de los principales teoremas de von Neumann y Murray en su serie original de artículos es una prueba del teorema de descomposición: cualquier álgebra de von Neumann es una integral directa de factores. Expresamos esto precisamente a continuación.

Teorema . Si { A _x } _{x ∈ X} es una familia medible de álgebras de von Neumann y μ es estándar, entonces la familia de conmutadores de operadores también es medible y

${\ Displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Descomposición central

Suponga que A es un álgebra de von Neumann. sea Z ( A ) el centro de A , que es el conjunto de operadores en A que conmuta con todos los operadores A , es decir

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) es un álgebra de Abelian von Neumann.

Ejemplo . El centro de L ( H ) es unidimensional. En general, si A es un álgebra de von Neumann, si el centro es unidimensional, decimos que A es un factor .

Ahora suponga que A es un álgebra de von Neumann cuyo centro contiene una secuencia de proyecciones no nulas ortogonales por pares mínimas { E _i } _{i ∈ N} tal que

${\ Displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Entonces A E _i es un álgebra de von Neumann en el rango H _i de E _i . Es fácil ver que A E _i es un factor. Así, en este caso especial

${\ Displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

representa A como una suma directa de factores. Este es un caso especial del teorema de descomposición central de von Neumann.

En general, podemos aplicar el teorema de la estructura de las álgebras de Abelian von Neumann que representa Z ( A ) como un álgebra de operadores diagonales escalares. En tal representación, todos los operadores en A son operadores descomponibles. De hecho, podemos usar esto para probar el resultado básico de von Neumann de que cualquier álgebra de von Neumann admite una descomposición en factores.

Teorema . Suponer

${\ Displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

es una descomposición integral directa de H y A es un álgebra de von Neumann en H de modo que Z ( A ) está representado por el álgebra de operadores diagonales escalares L ^∞ _μ ( X ) donde X es un espacio estándar de Borel. Entonces

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

donde para casi todo x ∈ X , A _x es un álgebra de von Neumann que es un factor .

Familias medibles de representaciones

Si A es un álgebra C * separable, podemos considerar familias mensurables de representaciones * no degeneradas de A ; recuerde que en el caso de que A tenga una unidad, la no degeneración es equivalente a la preservación de la unidad. Por la correspondencia general que existe entre las representaciones unitarias fuertemente continuas de un grupo G localmente compacto y las representaciones no degeneradas * de los grupos C * -álgebra C * ( G ), la teoría de las C * -álgebras proporciona inmediatamente una teoría de descomposición para representaciones de grupos compactos localmente separables.

Teorema . Sea A un C * -álgebra separable y π una representación involutiva no degenerada de A en un espacio H de Hilbert separable . Sea W * (π) sea el álgebra de von Neumann generada por los operadores π ( un ) para un ∈ A . Luego, correspondiente a cualquier descomposición central de W * (π) sobre un espacio de medida estándar ( X , μ) (que, como se indicó, es único en un sentido teórico de medidas), existe una familia medible de representaciones de factores

${\ Displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ in X}}$

de A tales que

${\ Displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

Además, hay un subconjunto N de X con μ medida cero, tal que π _x , π _y son disjuntos siempre que x , y ∈ X - N , donde se dice que las representaciones están disjuntas si y solo si no hay operadores entrelazados entre ellos .

Se puede demostrar que la integral directa puede ser indexado en la llamada cuasi-espectro Q de A , que consiste en clases cuasi-equivalencia de representaciones de factor de A . Por lo tanto, hay una medida estándar μ en Q y una familia medible de representaciones de factores indexadas en Q de manera que π _x pertenece a la clase de x . Esta descomposición es esencialmente única. Este resultado es fundamental en la teoría de las representaciones de grupos.

Referencias

• J. Dixmier , álgebras de Von Neumann , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, C * álgebras ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , The Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Sobre anillos de operadores. Teoría de la reducción The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, núm. 2 (abril de 1949), págs. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", enciclopedia de ciencias matemáticas, Springer-Verlag, 2001-2003 (el primer volumen se publicó en 1979 en 1. Edición) ISBN   3-540-42248-X