Integrale diretto - Direct integral

In matematica e analisi funzionale un integrale diretto è una generalizzazione del concetto di somma diretta . La teoria è più sviluppata per integrali diretti di spazi di Hilbert e integrali diretti di algebre di von Neumann . Il concetto è stato introdotto nel 1949 da John von Neumann in uno dei documenti della serie On Rings of Operators . Uno degli obiettivi di von Neumann in questo articolo era ridurre la classificazione delle (che ora vengono chiamate) algebre di von Neumann su spazi di Hilbert separabili alla classificazione dei cosiddetti fattori. I fattori sono analoghi alle algebre di matrici complete su un campo, e von Neumann voleva dimostrare un analogo continuo del teorema di Artin-Wedderburn che classifica gli anelli semi-semplici.

I risultati su integrali diretti possono essere visti come generalizzazioni di risultati su algebre C * di dimensione finita di matrici; in questo caso i risultati sono facili da dimostrare direttamente. Il caso a dimensione infinita è complicato da tecnicismi della teoria della misura.

La teoria integrale diretta è stata utilizzata anche da George Mackey nella sua analisi dei sistemi di imprimitività e nella sua teoria generale delle rappresentazioni indotte di gruppi separabili localmente compatti.

Integrali diretti di spazi di Hilbert

L'esempio più semplice di un integrale diretta sono i L ² spazi associati ad un (σ-finite) numerabilmente additivo misura μ su uno spazio misurabile X . Un po 'più in generale si può considerare uno spazio di Hilbert separabile H e lo spazio di funzioni con valore H integrabili al quadrato

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Nota terminologica : qui si segue la terminologia adottata dalla letteratura sull'argomento, secondo la quale uno spazio misurabile X è indicato come uno spazio di Borel e gli elementi della distinta σ-algebra di X come insiemi di Borel, indipendentemente dal fatto che la σ-algebra sottostante proviene da uno spazio topologico (nella maggior parte degli esempi lo fa). Uno spazio Borel è standard se e solo se è isomorfo allo spazio Borel sottostante di uno spazio polacco ; tutti gli spazi polacchi di una data cardinalità sono isomorfi tra loro (come spazi Borel). Data una misura additiva numerabile μ su X , un insieme misurabile è un insieme che differisce da un insieme Borel da un insieme nullo . La misura μ ​​su X è una misura standard se e solo se esiste un insieme nullo E tale che il suo complemento X - E sia uno spazio standard di Borel . Tutte le misure qui considerate sono σ-finite.

Definizione . Sia X uno spazio Borel dotato di una misura additiva numerabile μ. Una famiglia misurabile di spazi di Hilbert su ( X , μ) è una famiglia { H _x } _{x ∈ X} , che è localmente equivalente a una famiglia banale nel seguente senso: esiste una partizione numerabile

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

da sottoinsiemi misurabili di X tali che

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ in X_ {n}}$

dove H _n è lo spazio di Hilbert canonico n- dimensionale, cioè

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ right.}$

Una sezione trasversale del { H _x } _{x ∈ X} è una famiglia { s _x } _{x ∈ X} tali che s _x ∈ H _x per tutti x ∈ X . Una sezione trasversale è misurabile se e solo se la sua restrizione a ciascun elemento di partizione X _n è misurabile. Identificheremo sezioni d'urto misurabili s , t che sono quasi ovunque uguali . Data una famiglia misurabile di spazi di Hilbert, l'integrale diretto

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

consiste di classi di equivalenza (rispetto alla quasi ovunque uguaglianza) di misurabili quadrati integrabili sezioni trasversali { H _x } _{x ∈ X} . Questo è uno spazio di Hilbert sotto il prodotto interno

${\ Displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Data la natura locale della nostra definizione, molte definizioni applicabili a singoli spazi di Hilbert si applicano anche a famiglie misurabili di spazi di Hilbert.

Nota . Questa definizione è apparentemente più restrittiva di quella data da von Neumann e discussa nel trattato classico di Dixmier sulle algebre di von Neumann. Nella definizione più generale, le fibre spaziali di Hilbert H _x possono variare da punto a punto senza avere un requisito di banalità locale (locale in senso misura-teorico). Uno dei principali teoremi della teoria di von Neumann è quello di mostrare che in effetti la definizione più generale può essere ridotta a quella più semplice data qui.

Si noti che l'integrale diretto di una famiglia misurabile di spazi di Hilbert dipende solo dalla classe di misura della misura μ; più precisamente:

Teorema . Supponiamo che μ, ν siano misure additive numerabili σ-finite su X che hanno gli stessi insiemi di misura 0. Quindi la mappatura

${\ displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

è un operatore unitario

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Esempio

Tecnicamente gli esempi più semplici sono quando X è un insieme numerabile e μ è una misura discreta. Tutto l'articolo, considereremo il seguente esempio in esecuzione in cui X = N e μ conta misura sul N . In questo caso qualsiasi sequenza { H _k } di spazi di Hilbert separabili può essere considerata una famiglia misurabile. Inoltre,

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Operatori scomponibili

Nel nostro esempio in esecuzione, qualsiasi operatore lineare limitato T on

${\ Displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

è dato da una matrice infinita

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Considera gli operatori che sono diagonali di blocco , ovvero tutte le voci fuori dalla diagonale sono zero. Chiamiamo questi operatori scomponibili . Questi operatori possono essere caratterizzati come quelli che commutano con matrici diagonali:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Procediamo ora alla definizione generale: una famiglia di operatori limitati { T _x } _{x ∈ X} con T _x ∈ L ( H _x ) si dice fortemente misurabile se e solo se la sua restrizione ad ogni X _n è fortemente misurabile. Questo ha senso perché H _x è costante su X _n .

Famiglie misurabili di operatori con una norma essenzialmente limitata, cioè

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

definire operatori lineari limitati

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

agire in modo puntuale, cioè

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Si dice che tali operatori siano scomponibili .

Esempi di operatori scomponibile sono quelle definite da valori scalari (cioè C -valued) funzioni misurabili À su X . Infatti,

Teorema . La mappatura

${\ Displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

dato da

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

è un isomorfismo algebrico involutivo sulla sua immagine.

Per questo motivo identificheremo L ^∞ _μ ( X ) con l'immagine di φ.

Teorema Gli operatori scomponibili sono proprio quelli che stanno nell'operatore commutante dell'algebra abeliana L ^∞ _μ ( X ).

Decomposizione delle algebre di Abelian von Neumann

Il teorema spettrale ha molte varianti. Una versione particolarmente potente è la seguente:

Teorema . Per ogni algebra abeliana di von Neumann A su uno spazio di Hilbert separabile H , esiste uno spazio di Borel standard X e una misura μ ​​su X tale che è unitariamente equivalente come algebra dell'operatore a L ^∞ _μ ( X ) che agisce su un integrale diretto di Spazi di Hilbert

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Affermare A è unitariamente equivalente a L ^∞ _μ ( X ) poiché un operatore algebrico significa che esiste un

${\ Displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

tale che U A U * è l'algebra degli operatori diagonali L ^∞ _μ ( X ). Notare che questo asserisce più della semplice equivalenza algebrica di A con l'algebra degli operatori diagonali.

Questa versione tuttavia non indica esplicitamente come si ottiene lo spazio X Borel standard sottostante . C'è un risultato di unicità per la suddetta decomposizione.

Teorema . Se l'algebra abeliana di von Neumann A è unitariamente equivalente sia a L ^∞ _μ ( X ) che a L ^∞ _ν ( Y ) agenti sugli spazi integrali diretti

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

e μ, ν sono misure standard, quindi c'è un isomorfismo di Borel

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

dove E , F sono insiemi nulli tali che

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {quasi ovunque}}}$

φ è un isomorfismo di una classe di misura, cioè φ e il suo inverso conserva insiemi di misura 0.

Questi due teoremi precedenti forniscono la classificazione completa delle algebre Abeliane di von Neumann su spazi di Hilbert separabili. Si noti che questa classificazione tiene effettivamente conto della realizzazione dell'algebra di von Neumann come algebra di operatori. Se consideriamo solo l'algebra di von Neumann sottostante indipendentemente dalla sua realizzazione come algebra di von Neumann, la sua struttura è determinata da invarianti teorici della misura molto semplici.

Integrali diretti di algebre di von Neumann

Sia { H _x } _{x ∈ X} una famiglia misurabile di spazi di Hilbert. Una famiglia di algebre di von Neumann { A _x } _{x ∈ X} con

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

è misurabile se e solo se esiste un insieme numerabile D di famiglie di operatori misurabili che generano puntualmente { A _x } _{x ∈ X} come algebra di von Neumann nel seguente senso: Per quasi tutti x ∈ X ,

${\ Displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

dove W * ( S ) indica l'algebra von Neumann generato dal set S . Se { A _x } _{x ∈ X} è una famiglia misurabile di algebre di von Neumann, l'integrale diretto delle algebre di von Neumann

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

è costituito da tutti gli operatori del modulo

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

per T _x ∈ A _x .

Uno dei principali teoremi di von Neumann e Murray nella loro serie originale di articoli è una prova del teorema di decomposizione: qualsiasi algebra di von Neumann è un integrale diretto di fattori. Lo affermiamo precisamente di seguito.

Teorema . Se { A _x } _{x ∈ X} è una famiglia misurabile di algebre di von Neumann e μ è standard, allora è misurabile anche la famiglia degli operatori commutanti e

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Decomposizione centrale

Supponiamo che A sia un'algebra di von Neumann. sia Z ( A ) il centro di A , cioè l'insieme degli operatori in A che commutano con tutti gli operatori A , cioè

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) è un'algebra abeliana di von Neumann.

Esempio . Il centro di L ( H ) è unidimensionale. In generale, se A è un'algebra di von Neumann, se il centro è unidimensionale diciamo che A è un fattore .

Supponiamo ora che A sia un'algebra di von Neumann il cui centro contiene una sequenza di proiezioni ortogonali minime a coppie diverse da zero { E _i } _{i ∈ N} tali che

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Allora A E _i è un'algebra di von Neumann nell'intervallo H _i di E _i . È facile vedere che A E _i è un fattore. Così in questo caso speciale

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

rappresenta A come somma diretta di fattori. Questo è un caso speciale del teorema di decomposizione centrale di von Neumann.

In generale, possiamo applicare il teorema di struttura delle algebre di Abelian von Neumann che rappresenta Z ( A ) come algebra di operatori diagonali scalari. In una tale rappresentazione, tutti gli operatori in A sono operatori scomponibili. In effetti, possiamo usarlo per dimostrare il risultato di base di von Neumann che qualsiasi algebra di von Neumann ammette una scomposizione in fattori.

Teorema . Supponiamo

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

è una scomposizione integrale diretta di H e A è un'algebra di von Neumann su H così che Z ( A ) è rappresentato dall'algebra degli operatori diagonali scalari L ^∞ _μ ( X ) dove X è uno spazio Borel standard. Poi

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

dove per quasi tutti gli x ∈ X , A _x è un'algebra di von Neumann che è un fattore .

Famiglie misurabili di rappresentazioni

Se A è un'algebra C * separabile, possiamo considerare famiglie misurabili di rappresentazioni * non degeneri di A ; ricorda che nel caso in cui A ha un'unità, la non degenerazione equivale a preservare l'unità. Per la corrispondenza generale che esiste tra rappresentazioni unitarie fortemente continue di un gruppo G localmente compatto e rappresentazioni non degenerate * dei gruppi C * -algebra C * ( G ), la teoria per C * -algebre fornisce immediatamente una teoria di decomposizione per rappresentazioni di gruppi localmente compatti separabili.

Teorema . Lasciate Un essere un separabili C * -algebra e π una rappresentazione involutiva non degenere di A su un separabili spazio di Hilbert H . Sia W * (π) sia l'algebra von Neumann generato dagli operatori π ( una ) per un ∈ A . Quindi corrispondente a qualsiasi scomposizione centrale di W * (π) su uno spazio di misura standard ( X , μ) (che come affermato è unico in senso teorico di misura), esiste una famiglia misurabile di rappresentazioni fattoriali

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ in X}}$

di un tale che

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

Inoltre, esiste un sottoinsieme N di X con μ misura zero, tale che π _x , π _y sono disgiunti ogni volta che x , y ∈ X - N , dove si dice che le rappresentazioni sono disgiunte se e solo se non ci sono operatori intrecciati tra di loro .

Si può dimostrare che l'integrale diretta può essere indicizzata sul cosiddetto quasi-spettro Q di A , costituito da classi quasi-equivalenza di rappresentazioni fattore di A . Quindi esiste una misura standard μ su Q e una famiglia misurabile di rappresentazioni fattoriali indicizzate su Q tale che π _x appartiene alla classe di x . Questa scomposizione è essenzialmente unica. Questo risultato è fondamentale nella teoria delle rappresentazioni di gruppo.

Riferimenti

• J. Dixmier , algebre di Von Neumann , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, algebre C * ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , The Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Sugli anelli degli operatori. Teoria della riduzione The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, n. 2 (aprile 1949), pp. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", enciclopedia delle scienze matematiche, Springer-Verlag, 2001-2003 (il primo volume è stato pubblicato nel 1979 in 1. Edizione) ISBN   3-540-42248-X