Direktes Integral - Direct integral

In der Mathematik und Funktionsanalyse ist ein direktes Integral eine Verallgemeinerung des Konzepts der direkten Summe . Die Theorie ist am besten für direkte Integrale von Hilbert-Räumen und direkte Integrale von von Neumann-Algebren entwickelt . Das Konzept wurde 1949 von John von Neumann in einem der Artikel in der Reihe Über Ringe von Operatoren eingeführt . Eines von von Neumanns Zielen in dieser Arbeit war es, die Klassifizierung von (was jetzt genannt wird) von Neumann-Algebren auf trennbaren Hilbert-Räumen auf die Klassifizierung von sogenannten Faktoren zu reduzieren. Faktoren sind analog zu Vollmatrixalgebren über einem Feld, und von Neumann wollte ein kontinuierliches Analogon des Artin-Wedderburn-Theorems beweisen , das semi-einfache Ringe klassifiziert.

Ergebnisse zu direkten Integralen können als Verallgemeinerungen von Ergebnissen über endlichdimensionale C * -Algebren von Matrizen angesehen werden. In diesem Fall sind die Ergebnisse leicht direkt zu beweisen. Der unendlich dimensionale Fall wird durch messungstheoretische Techniken kompliziert.

Die direkte Integraltheorie wurde auch von George Mackey in seiner Analyse von Imprimitivitätssystemen und seiner allgemeinen Theorie induzierter Darstellungen lokal kompakter trennbarer Gruppen verwendet.

Direkte Integrale von Hilbert-Räumen

Das einfachste Beispiel für ein direktes Integral sind die L ² -Räume, die einem (σ-endlichen) zählbar additiven Maß μ auf einem messbaren Raum X zugeordnet sind . Etwas allgemeiner kann man einen trennbaren Hilbert-Raum H und den Raum quadratintegrierbarer H- bewerteter Funktionen betrachten

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Terminologische Anmerkung : Hier wird die in der Literatur zu diesem Thema verwendete Terminologie befolgt, wonach ein messbarer Raum X als Borel-Raum bezeichnet wird und die Elemente der unterschiedenen σ-Algebra von X als Borel-Mengen, unabhängig davon, ob oder nicht Die zugrunde liegende σ-Algebra stammt aus einem topologischen Raum (in den meisten Beispielen). Ein Borel-Raum ist genau dann Standard, wenn er isomorph zum zugrunde liegenden Borel-Raum eines polnischen Raums ist . Alle polnischen Räume einer bestimmten Kardinalität sind isomorph zueinander (als Borel-Räume). Bei einem zählbar additiven Maß μ auf X unterscheidet sich eine messbare Menge von einer Borel-Menge durch eine Nullmenge . Das Maß μ auf X ist genau dann ein Standardmaß , wenn es eine Nullmenge E gibt, so dass sein Komplement X - E ein Standard-Borel-Raum ist . Alle hier betrachteten Maße sind σ-endlich.

Definition . Sei X ein Borel-Raum, der mit einem zählbar additiven Maß μ ausgestattet ist. Eine messbare Familie von Hilbert-Räumen auf ( X , μ) ist eine Familie { H _x } _{x ∈ X} , die lokal einer trivialen Familie im folgenden Sinne entspricht: Es gibt eine zählbare Partition

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

durch messbare Teilmengen von X, so dass

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ in X_ {n}}$

wobei H _n der kanonische n- dimensionale Hilbert-Raum ist, das heißt

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ right.}$

Ein Querschnitt von { H _x } _{x ∈ X} ist eine Familie { s _x } _{x ∈ X,} so dass s _x ∈ H _x für alle x ∈ X gilt . Ein Querschnitt ist genau dann messbar, wenn seine Beschränkung auf jedes Trennelement X _n messbar ist. Wir identifizieren messbare Querschnitte s , t , die gleich sind fast überall . Bei einer messbaren Familie von Hilbert-Räumen ist das direkte Integral

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

besteht aus Äquivalenzklassen (in Bezug auf fast überall Gleichheit) messbarer quadratisch integrierbaren Querschnitt von { H _x } _{x ∈ X} . Dies ist ein Hilbert-Raum unter dem inneren Produkt

${\ displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Angesichts der lokalen Natur unserer Definition gelten viele Definitionen für einzelne Hilbert-Räume auch für messbare Familien von Hilbert-Räumen.

Bemerkung . Diese Definition ist offenbar restriktiver als die von Neumann gegebene und in Dixmiers klassischer Abhandlung über von Neumann-Algebren diskutierte. In der allgemeineren Definition dürfen die Hilbert- Raumfasern H _x von Punkt zu Punkt variieren, ohne dass eine lokale Trivialitätsanforderung besteht (lokal im messungstheoretischen Sinne). Einer der Hauptsätze der von Neumann-Theorie besteht darin, zu zeigen, dass die allgemeinere Definition tatsächlich auf die hier gegebene einfachere reduziert werden kann.

Beachten Sie, dass das direkte Integral einer messbaren Familie von Hilbert-Räumen nur von der Maßklasse des Maßes μ abhängt; etwas präziser:

Satz . Angenommen, μ, ν sind σ-endliche zählbare additive Maße auf X , die die gleichen Maßsätze 0 haben. Dann die Abbildung

${\ displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

ist ein einheitlicher Operator

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Beispiel

Technisch gesehen sind die einfachsten Beispiele, wenn X eine zählbare Menge und μ ein diskretes Maß ist. Im gesamten Artikel werden wir das folgende laufende Beispiel betrachten, in dem X = N und μ das Maß für N zählen . In diesem Fall kann jede Folge { H _k } trennbarer Hilbert-Räume als messbare Familie betrachtet werden. Außerdem,

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Zerlegbare Operatoren

In unserem laufenden Beispiel ist jeder begrenzte lineare Operator T on

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

ist durch eine unendliche Matrix gegeben

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Betrachten Sie Operatoren mit Blockdiagonale, dh alle Einträge außerhalb der Diagonale sind Null. Wir nennen diese Operatoren zerlegbar . Diese Operatoren können als solche charakterisiert werden, die mit diagonalen Matrizen pendeln:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Wir fahren nun mit der allgemeinen Definition fort: Eine Familie von begrenzten Operatoren { T _x } _{x ∈ X} mit T _x ∈ L ( H _x ) gilt genau dann als stark messbar, wenn ihre Beschränkung auf jedes X _n stark messbar ist. Dies ist sinnvoll, da H _x auf X _n konstant ist .

Messbare Familien von Operatoren mit einer im Wesentlichen begrenzten Norm, das heißt

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

Definieren Sie begrenzte lineare Operatoren

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

das heißt, punktuell handeln

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Solche Operatoren sollen zerlegbar sein .

Beispiele für zerlegbare Operatoren sind solche, die durch skalarwertige (dh C -bewertete ) messbare Funktionen λ auf X definiert sind . Eigentlich,

Satz . Das Mapping

${\ displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

gegeben durch

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

ist ein involutiver algebraischer Isomorphismus auf seinem Bild.

Aus diesem Grund werden wir L ^∞ _μ ( X ) mit dem Bild von φ identifizieren .

Satz Zerlegbare Operatoren sind genau diejenigen, die sich im Operatorkommutanten der abelschen Algebra L ^∞ _μ ( X ) befinden.

Zersetzung abelscher von Neumann-Algebren

Der Spektralsatz hat viele Varianten. Eine besonders leistungsstarke Version ist wie folgt:

Satz . Für jede abelsche von Neumann-Algebra A auf einem trennbaren Hilbert-Raum H gibt es einen Standard-Borel-Raum X und ein Maß μ auf X, so dass es als Operatoralgebra einheitlich äquivalent zu L ^∞ _μ ( X ) ist, das auf ein direktes Integral von wirkt Hilbert Räume

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Zu behaupten, A sei einheitlich äquivalent zu L ^∞ _μ ( X ), da eine Operatoralgebra bedeutet, dass es eine Einheit gibt

${\ displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

so dass U A U * die Algebra der Diagonaloperatoren L ^∞ _μ ( X ) ist. Beachten Sie, dass dies mehr als nur die algebraische Äquivalenz von A mit der Algebra von Diagonaloperatoren bestätigt.

Diese Version gibt jedoch nicht explizit an, wie der zugrunde liegende Standard-Borel-Raum X erhalten wird. Es gibt ein Eindeutigkeitsergebnis für die obige Zerlegung.

Satz . Wenn die abelsche von Neumann-Algebra A einheitlich äquivalent zu L ^∞ _μ ( X ) und L ^∞ _ν ( Y ) ist, die auf die direkten Integralräume wirken

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

und μ, ν sind Standardmaße, dann gibt es einen Borel-Isomorphismus

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

wobei E , F Nullmengen sind, so dass

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {fast überall}}}$

φ ist ein Isomorphismus der Maßklasse, dh φ, und seine inversen erhalten Mengen von Maß 0.

Diese beiden vorhergehenden Sätze liefern die vollständige Klassifizierung von Abelschen von Neumann-Algebren auf trennbaren Hilbert-Räumen. Beachten Sie, dass diese Klassifizierung tatsächlich die Realisierung der von Neumann-Algebra als Algebra von Operatoren berücksichtigt. Betrachtet man die zugrunde liegende von Neumann-Algebra nur unabhängig von ihrer Realisierung als von Neumann-Algebra, so wird ihre Struktur durch sehr einfache messungstheoretische Invarianten bestimmt.

Direkte Integrale von Neumann-Algebren

Sei { H _x } _{x ∈ X} eine messbare Familie von Hilbert-Räumen. Eine Familie von von Neumann-Algebren { A _x } _{x ∈ X} mit

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

ist genau dann messbar, wenn es eine zählbare Menge D messbarer Operatorfamilien gibt, die punktweise { A _x } _{x ∈ X} als von Neumann-Algebra im folgenden Sinne erzeugen : Für fast alle x ∈ X ,

${\ displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

wobei W * ( S ) die von Neumann-Algebra bezeichnet, die durch die Menge S erzeugt wird . Wenn { A _x } _{x ∈ X} eine messbare Familie von von Neumann-Algebren ist, das direkte Integral von von Neumann-Algebren

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

besteht aus allen Operatoren des Formulars

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

für T _x ∈ A _x .

Einer der Hauptsätze von Neumann und Murray in ihrer ursprünglichen Reihe von Arbeiten ist ein Beweis für den Zerlegungssatz: Jede von Neumann-Algebra ist ein direktes Integral von Faktoren. Wir geben dies genau unten an.

Satz . Wenn { A _x } _{x ∈ X} eine messbare Familie von von Neumann-Algebren ist und μ Standard ist, dann ist auch die Familie der Operator-Kommutanten messbar und

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Zentrale Zersetzung

Angenommen, A ist eine von Neumann-Algebra. sei Z ( A ) das Zentrum von A , dh die Menge der Operatoren in A , die mit allen Operatoren A pendeln , d. h

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) ist eine abelsche von Neumann-Algebra.

Beispiel . Das Zentrum von L ( H ) ist eindimensional. Im Allgemeinen, wenn A ein von Neumann - Algebra ist, wenn das Zentrum 1-dimensional ist sagen wir A ist ein Faktor .

Nehmen wir nun an, A ist eine von Neumann-Algebra, deren Zentrum eine Folge von minimalen paarweisen orthogonalen Nicht-Null-Projektionen { E _i } _{i ∈ N enthält,} so dass

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Dann ist A E _i eine von Neumann-Algebra im Bereich H _i von E _i . Es ist leicht zu erkennen, dass A E _i ein Faktor ist. Also in diesem speziellen Fall

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

repräsentiert A als direkte Summe von Faktoren. Dies ist ein Sonderfall des zentralen Zerlegungssatzes von Neumanns.

Im Allgemeinen können wir den Struktursatz der Abelschen von Neumann-Algebren anwenden, der Z ( A ) als Algebra skalarer Diagonaloperatoren darstellt. In einer solchen Darstellung sind alle Operatoren in A zerlegbare Operatoren. Tatsächlich können wir damit das grundlegende Ergebnis von Neumanns beweisen, dass jede von Neumann-Algebra eine Zerlegung in Faktoren zulässt.

Satz . Annehmen

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

ist eine direkte integrale Zerlegung von H und A ist eine von Neumann-Algebra auf H, so dass Z ( A ) durch die Algebra der skalaren Diagonaloperatoren L ^∞ _μ ( X ) dargestellt wird, wobei X ein Standard-Borel-Raum ist. Dann

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

wo für fast alle x ∈ X , A _x ist eine von Neumann Algebra , die a - Faktor .

Messbare Repräsentationsfamilien

Wenn A eine trennbare C * -Algebra ist, können wir messbare Familien nicht entarteter * -Darstellungen von A betrachten ; Denken Sie daran, dass in dem Fall, in dem A eine Einheit hat, die Nichtentartung der Erhaltung der Einheit entspricht. Durch die allgemeine Entsprechung zwischen stark kontinuierlichen einheitlichen Darstellungen einer lokal kompakten Gruppe G und nicht entarteten * -Darstellungen der Gruppen C * -Algebra C * ( G ) liefert die Theorie für C * -Algebren sofort eine Zerlegungstheorie für Darstellungen trennbarer lokal kompakter Gruppen.

Satz . Lasse A eine trennbare C * -Algebra und π eine nicht-degenerierte involutive Darstellung A auf einem abtrennbaren Hilbert - Raum H . Sei W * (π) die von Neumann-Algebra, die von den Operatoren π ( a ) für a ∈ A erzeugt wird . Entsprechend einer zentralen Zerlegung von W * (π) über einen Standardmessraum ( X , μ) (der, wie angegeben, in einem messungstheoretischen Sinne eindeutig ist) gibt es eine messbare Familie von Faktordarstellungen

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ in X}}$

von A so dass

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

Darüber hinaus gibt es eine Teilmenge N von X mit μ-Maß Null, so dass π _x , π _y immer dann disjunkt sind, wenn x , y ∈ X - N , wobei Darstellungen genau dann als disjunkt bezeichnet werden, wenn keine Verflechtungsoperatoren zwischen ihnen bestehen .

Man kann zeigen, dass das direkte Integral auf dem sogenannten Quasi-Spektrum Q von A indiziert werden kann , das aus Quasi-Äquivalenzklassen von Faktordarstellungen von A besteht . Somit gibt es ein Standardmaß μ für Q und eine messbare Familie von Faktordarstellungen, die für Q indiziert sind, so dass π _x zur Klasse von x gehört . Diese Zersetzung ist im Wesentlichen einzigartig. Dieses Ergebnis ist grundlegend für die Theorie der Gruppendarstellung.

Verweise

• J. Dixmier , Von Neumann-Algebren , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, C * -Algebren ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , Theorie einheitlicher Gruppenrepräsentationen , University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Über Ringe von Operatoren. Reduktionstheorie Die Annalen der Mathematik 2nd Ser., Vol. 50, No. 2 (April 1949), S. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theorie der Operatoralgebren I, II, III ", Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 2001–2003 (der erste Band wurde 1979 in der 1. Auflage veröffentlicht) ISBN   3-540-42248-X