Tilsvarende kart - Equivariant map

I matematikk er ekvivalens en form for symmetri for funksjoner fra ett rom med symmetri til et annet (for eksempel symmetriske mellomrom ). En funksjon sies å være et ekvivalent kart når domenet og kodomenet blir påvirket av den samme symmetri -gruppen , og når funksjonen pendler med gruppens handling. Det vil si å bruke en symmetri -transformasjon og deretter beregne funksjonen gir det samme resultatet som å beregne funksjonen og deretter bruke transformasjonen.

Tilsvarende kart generaliserer begrepet invarianter , funksjoner hvis verdi er uendret av en symmetri -transformasjon av deres argument. Verdien av et ekvivalent kart kalles ofte (upresist) en invariant.

I statistisk slutning er ekvivalens under statistiske transformasjoner av data en viktig egenskap ved forskjellige estimeringsmetoder; se invariant estimator for detaljer. I ren matematikk er ekvivalens et sentralt studieobjekt innen ekvivalent topologi og dens underemner ekvariant kohomologi og ekvariant stabil homotopiteori .

Eksempler

Elementær geometri

Sentroiden til en trekant (der de tre røde segmentene møtes) er likeverdig under affine transformasjoner : sentroiden til en transformert trekant er det samme punktet som transformasjonen av trekantenes midroid.

I trekantenes geometri er arealet og omkretsen til en trekant invarianter: å oversette eller rotere en trekant endrer ikke arealet eller omkretsen. Imidlertid er trekantsentre som centroid , circumcenter , incenter og ortocenter ikke invariante, fordi det å bevege en trekant også får sentrene til å bevege seg. I stedet er disse sentrene likeverdige: å bruke enhver euklidisk kongruens (en kombinasjon av oversettelse og rotasjon) til en trekant, og deretter konstruere senteret, produserer det samme punktet som å konstruere senteret først, og deretter bruke den samme kongruensen til senteret. Mer generelt er alle trekantsentre også likeverdige under likhetstransformasjoner (kombinasjoner av oversettelse, rotasjon og skalering), og sentroiden er likeverdig under affine transformasjoner .

Den samme funksjonen kan være en invariant for en gruppe symmetrier og ekvivariant for en annen gruppe symmetrier. For eksempel, under likhetstransformasjoner i stedet for kongruenser, er området og omkretsen ikke lenger invariant: skalering av en trekant endrer også sitt område og omkrets. Imidlertid skjer disse endringene på en forutsigbar måte: hvis en trekant skaleres med en faktor $s$ , skaleres også omkretsen med $s$ og arealet skaleres med $s 2$ . På denne måten kan funksjonen som kartlegger hver trekant til sitt område eller omkrets, sees på som likeverdig for en multiplikativ gruppeaksjon av skaleringstransformasjonene på de positive reelle tallene.

Statistikk

En annen klasse med enkle eksempler kommer fra statistisk estimering . Den midlere av en prøve (et sett av reelle tall) blir ofte brukt som en sentral tendens av prøven. Det er likeverdig under lineære transformasjoner av de reelle tallene, så det er for eksempel upåvirket av valget av enheter som brukes til å representere tallene. I motsetning til dette er gjennomsnittet ikke likeverdig med ikke -lineære transformasjoner som eksponensialer.

Den median av en prøve er equivariant for en mye større gruppe av transformasjoner, de (strengt) monoton funksjon av den virkelige tall. Denne analysen indikerer at medianen er mer robust mot visse typer endringer i et datasett, og at den (i motsetning til gjennomsnittet) er meningsfull for ordinære data .

Begrepene en invariant estimator og ekvivariant estimator har blitt brukt for å formalisere denne analysestilen.

Representasjonsteori

I representasjonsteorien for endelige grupper kalles et vektorrom utstyrt med en gruppe som virker ved lineære transformasjoner av rommet en lineær representasjon av gruppen. Et lineært kart som pendler med handlingen kalles en intertwiner . Det vil si at en sammenfletter er bare et ekvivalent lineært kart mellom to representasjoner. Alternativt kan en intertwiner for representasjoner av en gruppe $G$ i løpet av en felt $K$ er den samme som en modul homomorfi av $K [G]$ - moduler , hvor $K [G]$ er den gruppe ring av G .

Under noen betingelser, hvis X og Y begge er ureduserbare representasjoner , eksisterer en sammenflettning (annet enn nullkartet ) bare hvis de to representasjonene er likeverdige (det vil si at de er isomorfe som moduler ). Denne intertwiner er da unik opp til en multiplikativ faktor (en ikke-null skalar fra $K$ ). Disse egenskapene holder når bildet av $K [G]$ er en enkel algebra, med sentrum $K$ (ved det som kalles Schurs Lemma : se enkel modul ). Som en konsekvens er konstruksjonen av en sammenfletter i viktige tilfeller nok til å vise at representasjonene faktisk er de samme.

Formalisering

Equivariance kan formalisert ved bruk av konseptet med en $G$ -set for en gruppe $G$ . Dette er en matematisk gjenstand som består av et matematisk sett $S$ og en gruppe virkning (på venstre side) av $G$ på $S$ . Hvis $X$ og $Y$ begge er $G$ -sett for samme gruppe $G$ , sies en funksjon $f : X \to Y$ å være likeverdig hvis

f (g \cdot x) = g \cdot f (x)

for all $g \in G$ og alle $x i X$ .

Hvis en eller begge handlingene er riktige handlinger, kan ekvivalensbetingelsen endres passende:

f (x \cdot g) = f (x) \cdot g

; (høyre-høyre)

f (x \cdot g) = g -1 \cdot f (x)

; (høyre venstre)

f (g \cdot x) = f (x) \cdot g -1

; (venstre høyre)

Equivariant kart er homomorfier i kategorien av G -sets (for en fast G ). Derfor er de også kjent som G -morfisme , G -kart eller G -homomorfisme . Isomorphisms av G -sets er rett og slett bijektive equivariant kart.

Tilsvarende tilstand kan også forstås som følgende kommutative diagram . Merk at det angir kartet som tar et element og returnerer . ${\ displaystyle g \ cdot}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle g \ cdot z}$

Generalisering

Tilsvarende kart kan generaliseres til vilkårlige kategorier på en enkel måte. Hver gruppe G kan sees på som en kategori med et enkelt objekt ( morfisme i denne kategorien er bare elementene i G ). Gitt en vilkårlig kategori C , en representasjon av G i kategorien C er en funktor fra G til C . En slik funktor velger et objekt av C og en undergruppe av automorfismer av objektet. For eksempel, en G -set er ekvivalent med en funktor fra G til den kategori av settene , Set , og en lineær representasjon tilsvarer en funktor til den kategori av vektorrom over et felt, Vect _K .

Gitt to representasjoner, ρ og σ, for G i C , er et ekvivalent kart mellom disse representasjonene ganske enkelt en naturlig transformasjon fra ρ til σ. Ved hjelp av naturlige transformasjoner som morphisms, kan man danne kategori av alle representasjoner av G i C . Dette er bare funktor kategori C ^G .

For et annet eksempel, ta C = Top , kategorien topologiske mellomrom . En representasjon av G in Top er et topologisk rom som G virker kontinuerlig på . En equivariant kart er da et sammenhengende kart f : X → Y mellom representasjoner som pendler med virkningen av G .

Se også

Curtis - Hedlund - Lyndon teorem , en karakterisering av mobilautomater når det gjelder ekvivalente kart

Languages

In other projects