Intégrale directe - Direct integral

En mathématiques et en analyse fonctionnelle, une intégrale directe est une généralisation du concept de somme directe . La théorie est la plus développée pour les intégrales directes des espaces de Hilbert et les intégrales directes des algèbres de von Neumann . Le concept a été introduit en 1949 par John von Neumann dans l'un des articles de la série On Rings of Operators . L'un des objectifs de von Neumann dans cet article était de réduire la classification des algèbres de von Neumann (ce que l'on appelle maintenant) sur des espaces de Hilbert séparables à la classification des soi-disant facteurs. Les facteurs sont analogues aux algèbres matricielles complètes sur un corps, et von Neumann voulait prouver un analogue continu du théorème d'Artin-Wedderburn classifiant les anneaux semi-simples.

Les résultats sur les intégrales directes peuvent être considérés comme des généralisations de résultats sur les algèbres C * de dimension finie de matrices; dans ce cas, les résultats sont faciles à prouver directement. Le cas de dimension infinie est compliqué par des aspects techniques de la théorie des mesures.

La théorie de l'intégrale directe a également été utilisée par George Mackey dans son analyse des systèmes d'imprimitivité et sa théorie générale des représentations induites de groupes séparables localement compacts.

Intégrales directes des espaces de Hilbert

L'exemple le plus simple d'une intégrale directe sont les L ² espaces associés à une (σ-finie) mesure dénombrable additif μ sur un espace mesurable X . Un peu plus généralement on peut considérer un espace de Hilbert séparable H et l'espace des fonctions à valeurs H carrées intégrables

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Note terminologique : La terminologie adoptée par la littérature sur le sujet est suivie ici, selon laquelle un espace mesurable X est appelé espace de Borel et les éléments de la σ-algèbre distinguée de X comme ensembles de Borel, indépendamment du fait que la σ-algèbre sous-jacente provient d'un espace topologique (dans la plupart des exemples, c'est le cas). Un espace Borel est standard si et seulement s'il est isomorphe à l'espace Borel sous-jacent d'un espace polonais ; tous les espaces polonais d'une cardinalité donnée sont isomorphes les uns par rapport aux autres (comme les espaces de Borel). Étant donné une mesure cumulable μ sur X , un ensemble mesurable est celui qui diffère d'un ensemble de Borel par un ensemble nul . La mesure μ sur X est une mesure standard si et seulement s'il existe un ensemble nul E tel que son complément X - E est un espace de Borel standard . Toutes les mesures considérées ici sont σ-finies.

Définition . Soit X un espace de Borel équipé d'une mesure additive dénombrable μ. Une famille mesurable d'espaces de Hilbert sur ( X , μ) est une famille { H _x } _{x ∈ X} , qui est localement équivalente à une famille triviale au sens suivant: Il y a une partition dénombrable

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

par des sous-ensembles mesurables de X tels que

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ in X_ {n}}$

où H _n est l' espace de Hilbert n- dimensionnel canonique , c'est-à-dire

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ right.}$

Une section transversale de { H _x } _{x ∈ X} est une famille { de _{la x} } _{x ∈ X} tels que s _x ∈ H _x pour tout x ∈ X . Une section est mesurable si et seulement si sa restriction à chaque élément de partition X _n est mesurable. Nous identifierons des sections s , t mesurables égales presque partout . Étant donné une famille mesurable d'espaces de Hilbert, l'intégrale directe

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

se compose de classes d'équivalence (par rapport à presque partout l' égalité) de la place des sections transversales intégrables mesurables de { H _x } _{x ∈ X} . Ceci est un espace Hilbert sous le produit intérieur

${\ displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Étant donné la nature locale de notre définition, de nombreuses définitions applicables aux espaces de Hilbert simples s'appliquent également aux familles mesurables d'espaces de Hilbert.

Remarque . Cette définition est apparemment plus restrictive que celle donnée par von Neumann et discutée dans le traité classique de Dixmier sur les algèbres de von Neumann. Dans la définition plus générale, les fibres spatiales de Hilbert H _x peuvent varier d'un point à l'autre sans avoir d'exigence de trivialité locale (locale au sens de la théorie de la mesure). L'un des principaux théorèmes de la théorie de von Neumann est de montrer qu'en fait la définition la plus générale peut être réduite à la plus simple donnée ici.

Notez que l'intégrale directe d'une famille mesurable d'espaces de Hilbert ne dépend que de la classe de mesure de la mesure μ; plus précisément:

Théorème . Supposons que μ, ν sont des mesures σ-finies dénombrables additives sur X qui ont les mêmes ensembles de mesure 0. Ensuite, l'application

${\ displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

est un opérateur unitaire

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Exemple

Techniquement, les exemples les plus simples sont lorsque X est un ensemble dénombrable et μ est une mesure discrète. Tout au long de l'article, nous examinerons l'exemple en cours d' exécution suivante dans laquelle X = N et μ est sur mesure comptent N . Dans ce cas, toute séquence { H _k } d'espaces de Hilbert séparables peut être considérée comme une famille mesurable. De plus,

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Opérateurs décomposables

Dans notre exemple en cours d'exécution, tout opérateur linéaire borné T sur

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

est donnée par une matrice infinie

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Considérez les opérateurs qui sont en diagonale de bloc , c'est-à-dire que toutes les entrées hors de la diagonale sont nulles. Nous appelons ces opérateurs décomposables . Ces opérateurs peuvent être caractérisés comme ceux qui commutent avec des matrices diagonales:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Nous passons maintenant à la définition générale: Une famille d'opérateurs bornés { T _x } _{x ∈ X} avec T _x ∈ L ( H _x ) est dite fortement mesurable si et seulement si sa restriction à chaque X _n est fortement mesurable. Cela a du sens car H _x est constant sur X _n .

Familles mesurables d'opérateurs avec une norme essentiellement bornée, c'est-à-dire

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

définir des opérateurs linéaires bornés

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

agissant de manière ponctuelle, c'est-à-dire

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

On dit que ces opérateurs sont décomposables .

Des exemples d'opérateurs décomposables sont ceux définis par une valeur scalaire (ie C -Évaluées) fonctions mesurables sur X X . En réalité,

Théorème . La cartographie

${\ displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

donné par

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

est un isomorphisme algébrique involutif sur son image.

Pour cette raison, nous identifierons L ^∞ _μ ( X ) avec l'image de φ.

Théorème Les opérateurs décomposables sont précisément ceux qui sont dans l'opérateur commutant de l'algèbre abélienne L ^∞ _μ ( X ).

Décomposition des algèbres abéliennes de von Neumann

Le théorème spectral a de nombreuses variantes. Une version particulièrement puissante est la suivante:

Théorème . Pour toute algèbre abélienne de von Neumann A sur un espace de Hilbert séparable H , il existe un espace de Borel standard X et une mesure μ sur X telle qu'elle est unitaire équivalente comme algèbre d'opérateur à L ^∞ _μ ( X ) agissant sur une intégrale directe de Espaces Hilbert

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Affirmer A est unitaire équivalent à L ^∞ _μ ( X ) car une algèbre d'opérateur signifie qu'il y a un unitaire

${\ displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

tel que U A U * est l'algèbre des opérateurs diagonaux L ^∞ _μ ( X ). Notez que cela affirme plus que juste l'équivalence algébrique de A avec l'algèbre des opérateurs diagonaux.

Cette version n'indique cependant pas explicitement comment l'espace Borel standard sous-jacent X est obtenu. Il y a un résultat d'unicité pour la décomposition ci-dessus.

Théorème . Si l'algèbre abélienne de von Neumann A est unitaire équivalente à L ^∞ _μ ( X ) et L ^∞ _ν ( Y ) agissant sur les espaces intégraux directs

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

et μ, ν sont des mesures standard, alors il y a un isomorphisme de Borel

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

où E , F sont des ensembles nuls tels que

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {presque partout}}}$

φ est un isomorphisme de classe de mesure, c'est-à-dire φ et son inverse conserve les ensembles de mesure 0.

Ces deux théorèmes précédents fournissent la classification complète des algèbres abéliennes de von Neumann sur des espaces de Hilbert séparables. Notez que cette classification prend en fait en compte la réalisation de l'algèbre de von Neumann comme une algèbre d'opérateurs. Si nous ne considérons que l'algèbre de von Neumann sous-jacente indépendamment de sa réalisation en tant qu'algèbre de von Neumann, alors sa structure est déterminée par des invariants très simples de la théorie des mesures.

Intégrales directes des algèbres de von Neumann

Soit { H _x } _{x ∈ X} une famille mesurable d'espaces de Hilbert. Une famille d'algèbres de von Neumann { A _x } _{x ∈ X} avec

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

est mesurable si et seulement s'il existe un ensemble dénombrable D de familles d'opérateurs mesurables qui génèrent ponctuellement { A _x } _{x ∈ X} comme une algèbre de von Neumann dans le sens suivant: Pour presque tout x ∈ X ,

${\ displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

où W * ( S ) désigne l'algèbre de von Neumann engendrée par l'ensemble S . Si { A _x } _{x ∈ X} est une famille mesurable d'algèbres de von Neumann, l'intégrale directe des algèbres de von Neumann

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

se compose de tous les opérateurs du formulaire

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

pour T _x ∈ A _x .

L'un des principaux théorèmes de von Neumann et Murray dans leur série originale d'articles est une preuve du théorème de décomposition: toute algèbre de von Neumann est une intégrale directe de facteurs. Nous le déclarons précisément ci-dessous.

Théorème . Si { A _x } _{x ∈ X} est une famille mesurable d'algèbres de von Neumann et μ est standard, alors la famille des commutants d'opérateurs est également mesurable et

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Décomposition centrale

Supposons que A soit une algèbre de von Neumann. soit Z ( A ) le centre de A , c'est-à-dire l'ensemble des opérateurs de A qui commutent avec tous les opérateurs A , c'est-à-dire

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) est une algèbre abélienne de von Neumann.

Exemple . Le centre de L ( H ) est unidimensionnel. En général, si A est une algèbre de von Neumann, si le centre est à une dimension, nous disons que A est un facteur .

Supposons maintenant que A soit une algèbre de von Neumann dont le centre contienne une suite de projections orthogonales non nulles par paires minimales { E _i } _{i ∈ N} telles que

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Alors A E _i est une algèbre de von Neumann sur la gamme H _i de E _i . Il est facile de voir que A E _i est un facteur. Ainsi dans ce cas particulier

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

représente A comme une somme directe de facteurs. C'est un cas particulier du théorème de décomposition central de von Neumann.

En général, nous pouvons appliquer le théorème de structure des algèbres abéliennes de von Neumann qui représente Z ( A ) comme une algèbre d'opérateurs diagonaux scalaires. Dans une telle représentation, tous les opérateurs de A sont des opérateurs décomposables. En fait, nous pouvons utiliser cela pour prouver le résultat de base de von Neumann que toute algèbre de von Neumann admet une décomposition en facteurs.

Théorème . Supposer

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

est une décomposition intégrale directe de H et A est une algèbre de von Neumann sur H de sorte que Z ( A ) est représenté par l'algèbre des opérateurs diagonaux scalaires L ^∞ _μ ( X ) où X est un espace de Borel standard. Puis

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

où pour presque tout x ∈ X , A _x est une algèbre de von Neumann qui est un facteur .

Familles de représentations mesurables

Si A est une algèbre C * séparable, nous pouvons considérer des familles mesurables de représentations non dégénérées * de A ; rappelons que dans le cas où A a une unité, la non-dégénérescence équivaut à la préservation d'unité. Par la correspondance générale qui existe entre les représentations unitaires fortement continues d'un groupe localement compact G et les représentations non dégénérées * des groupes C * -algèbre C * ( G ), la théorie des C * -algèbres fournit immédiatement une théorie de décomposition pour représentations de groupes localement compacts séparables.

Théorème . Soit A soit un separable C * -algèbre et π une représentation involutive non dégénérée de A dans un espace de Hilbert séparable H . Soit W * (π) l'algèbre de von Neumann engendrée par les opérateurs π ( a ) pour un ∈ A . Ensuite, correspondant à toute décomposition centrale de W * (π) sur un espace de mesure standard ( X , μ) (qui, comme indiqué, est unique au sens de la théorie de la mesure), il existe une famille mesurable de représentations factorielles

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ in X}}$

d' un tel que

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

De plus, il existe un sous-ensemble N de X avec μ mesure zéro, tel que π _x , π _y sont disjoints chaque fois que x , y ∈ X - N , où les représentations sont dites disjointes si et seulement s'il n'y a pas d' opérateurs d'entrelacement entre elles .

On peut montrer que l'intégrale directe peut être indexée sur la dite quasi-spectre Q de A , constitué de classes quasi-équivalence de représentations des facteurs de A . Il existe donc une mesure standard μ sur Q et une famille mesurable de représentations factorielles indexées sur Q telles que π _x appartient à la classe de x . Cette décomposition est essentiellement unique. Ce résultat est fondamental dans la théorie des représentations de groupe.

Les références

• J. Dixmier , algèbres de Von Neumann , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, algèbres C * ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , The Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , Sur les anneaux des opérateurs. Théorie de la réduction The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, n ° 2 (avril 1949), pp. 401-485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", encyclopédie des sciences mathématiques, Springer-Verlag, 2001–2003 (le premier volume a été publié en 1979 en 1. Edition) ISBN   3-540-42248-X