System av imprimitivitet - System of imprimitivity

Konseptet om imprimitivitetssystem brukes i matematikk , spesielt i algebra og analyse , begge innenfor konteksten av teorien om gruppeforestillinger . Det ble brukt av George Mackey som grunnlag for hans teori om induserte enhetsrepresentasjoner av lokalt kompakte grupper .

Det enkleste tilfellet, og konteksten der ideen først ble lagt merke til, er den av endelige grupper (se primitiv permutasjonsgruppe ). Betrakt en gruppe G og undergrupper H og K , med K inneholdes i H . Da de venstre cosets av H i G er hver foreningen av venstre cosets av K . Ikke bare det, men oversettelse (på den ene siden) av et hvilket som helst element g av G respekterer denne nedbrytningen. Forbindelsen med induserte representasjoner er at permutasjonsrepresentasjonen på cosets er det spesielle tilfellet av indusert representasjon, der en representasjon er indusert fra en triviell representasjon . Strukturen, kombinatorisk i dette tilfellet, respektert ved oversettelse, viser at enten K er en maksimal undergruppe av G , eller at det er et system av imprimitivitet (omtrent mangel på full "blanding"). For å generalisere dette til andre tilfeller, uttrykkes konseptet på nytt: først når det gjelder funksjoner på G -konstant på K -kosetter, og deretter når det gjelder projiseringsoperatører (for eksempel gjennomsnittet over K -kosetter av elementer i gruppen algebra ).

Mackey brukte også ideen for sin forklaring av kvantiseringsteori basert på bevaring av relativitetsgrupper som virker på konfigurasjonsrom . Dette generaliserte arbeidet til Eugene Wigner og andre, og regnes ofte som en av de banebrytende ideene innen kanonisk kvantisering .

Eksempel

For å motivere de generelle definisjonene formuleres først en definisjon, når det gjelder endelige grupper og deres representasjoner på endelige dimensjonale vektorrom .

Hvis G er en endelig gruppe og U en representasjon av G på en endelig-dimensjonalt kompleks vektor plass H . Virkningen av G på elementer av H induserer en handling av G på vektordelområdene W av H på denne måten:

${\ displaystyle U_ {g} W = \ {U_ {g} w: w \ i W \}.}$

Hvis X er et sett med underrom av H slik at

• elementene i X er permutert av virkningen av G på underrom og
• H er (intern) algebraisk direkte sum av elementene i X , dvs.

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {W \ in X} W.}$

Deretter ( U , X ) er et system av imprimitivity for G .

To påstander må inneholde definisjonen ovenfor:

• mellomrommene W for W ∈ X må strekke seg over H , og
• mellomrommene W ∈ X må være lineært uavhengige , det vil si

${\ displaystyle \ sum _ {W \ in X} c_ {W} v_ {W} = 0, \ quad v_ {W} \ i W \ setminus \ {0 \}}$

holder bare når alle koeffisientene c _W er null.

Hvis virkningen av G på elementene i X er transitive , så sier vi at dette er et transitivt system av imprimitivitet.

Hvis G er en endelig gruppe, G ₀ en undergruppe av G . En representasjon U av G induseres fra en representasjon V av G ₀ hvis og bare hvis det finnes følgende:

• et transitivt system av imprimitivitet ( U , X ) og
• et underrom W ₀ ∈ X

slik at G ₀ er fastpunktsundergruppen til W under virkningen av G , dvs.

${\ displaystyle G_ {0} = \ {g \ i G: U_ {g} W_ {0} \ subseteq W_ {0} \}.}$

og V tilsvarer representasjonen av G ₀ på W ₀ gitt av U _h | W ₀ for t ∈ G ₀ . Vær oppmerksom på at denne definisjonen, indusert av, er en sammenheng mellom representasjoner. Vi vil vise at det faktisk er en kartlegging av representasjoner som tilsvarer denne relasjonen.

For begrensede grupper kan man vise at det finnes en veldefinert induserende konstruksjon på ekvivalens av representasjoner ved å vurdere karakteren til en representasjon U definert av

${\ displaystyle \ chi _ {U} (g) = \ operatorname {tr} (U_ {g}).}$

Hvis en representasjon U av G er indusert fra en representasjon V av G ₀ , da

${\ displaystyle \ chi _ {U} (g) = {\ frac {1} {| G_ {0} |}} \ sum _ {\ {x \ i G: {x}^{-1} \, g \, x \ i G_ {0} \}} \ chi _ {V} ({x}^{-1} \ g \ x), \ quad \ forall g \ i G.}$

Således tegnet funksjon χ _U (og derfor U i seg selv) er fullstendig bestemt av χ _V .

Eksempel

La G være en begrenset gruppe og vurdere plass H av komplekse-verdsatte funksjoner på G . Venstre vanlig representasjon av G på H er definert av

${\ displaystyle [\ operatorname {L} _ {g} \ psi] (h) = \ psi (g^{-1} h).}$

Nå kan H betraktes som den algebraiske direkte summen av de endimensjonale mellomrommene W _x , for x ∈ G , hvor

${\ displaystyle W_ {x} = \ {\ psi \ i H: \ psi (g) = 0, \ quad \ forall g \ neq x \}.}$

Mellomrommene W _x er permutert av L _g .

Uendelige dimensjonale systemer av imprimitivitet

For å generalisere den endelige dimensjons definisjonen gitt i det foregående avsnitt, en egnet erstatning for settet X vektor underrom av H som er permut ved representasjonen U er nødvendig. Som det viser seg, vil en naiv tilnærming basert på underrom av H ikke fungere; for eksempel har oversettelsesrepresentasjonen av R på L ² ( R ) ikke noe system av imprimitivitet i denne forstand. Den riktige formuleringen av direkte sumnedbrytning er formulert når det gjelder fremskrivningsverdier .

Mackey opprinnelige formulering ble uttrykt i form av et lokalt kompakt andre tellbar (lcsc) gruppe G , en standard Borel plass X og en Borel gruppe handling

${\ displaystyle G \ times X \ rightarrow X, \ quad (g, x) \ mapsto g \ cdot x.}$

Vi vil referere til dette som et standard Borel G -rom.

Definisjonene kan gis i en mye mer generell kontekst, men det opprinnelige oppsettet som ble brukt av Mackey er fortsatt ganske generelt og krever færre tekniske detaljer.

Definisjon . La G være en lcsc gruppe som opptrer på en standard Borel plass X . Et system av imprimitivitet basert på ( G , X ) består av et separerbart Hilbert -rom H og et par bestående av

• En av sterkt sammenhengende enhetlig representasjon U : g → U _g av G på H .
• Et projeksjons-verdt mål π på Borelsettene X med verdier i projeksjonene til H ;

som tilfredsstiller

${\ displaystyle U_ {g} \ pi (A) U_ {g^{-1}} = \ pi (g \ cdot A).}$

Eksempel

La X være en standard G plass og μ en σ-endelig countably additiv -varierende grad på X . Dette betyr

${\ displaystyle \ mu (g^{-1} A) = \ mu (A) \ quad}$

for all g ∈ G og Borel undergrupper A av G .

La π ( A ) være multiplikasjon med indikatorfunksjonen til A og U _g være operatoren

${\ displaystyle [U_ {g} \ psi] (x) = \ psi (g^{-1} x). \ quad}$

Deretter er ( U , π) et system med imprimitivitet av ( G , X ) på L ² _μ ( X ).

Dette imprimitivitetssystemet kalles noen ganger Koopman -systemet for imprimitivitet .

Homogene systemer av imprimitivitet

Et system av imprimitivitet er homogent med multiplisitet n , hvor 1 ≤ n ≤ ω hvis og bare hvis det tilsvarende projeksjon-verdsatte målet π på X er homogent med multiplisitet n . Faktisk brytes X inn i en tellbar usammenhengende familie { X _n } _{1 ≤ n ≤ ω} av Borelsett slik at π er homogen med multiplisitet n på X _n . Det er også lett å vise X _n er G invariant.

Lemma . Ethvert imprimitivitetssystem er en ortogonal direkte sum av homogene.

Det kan vises at hvis virkningen av G på X er transitiv, er ethvert system av imprimitivitet på X homogent. Mer generelt, hvis virkningen av G på X er ergodisk (noe som betyr at X ikke kan reduseres med uforanderlige riktige Borelsett med X ), er ethvert system av imprimitivitet på X homogent.

Vi diskuterer nå hvordan strukturen til homogene systemer av imprimitivitet kan uttrykkes i en form som generaliserer Koopman -representasjonen gitt i eksemplet ovenfor.

I det følgende antar vi at μ er et σ -endelig mål på et standard Borel G -rom X slik at virkningen av G respekterer målklassen μ. Denne tilstanden er svakere enn uforanderlighet, men det er tilstrekkelig å konstruere en enhetlig oversettelsesoperator som ligner Koopman -operatøren i eksemplet ovenfor. G respekterer målklassen μ betyr at Radon-Nikodym-derivatet

${\ displaystyle s (g, x) = {\ bigg [} {\ frac {d \ mu} {dg^{-1} \ mu}} {\ bigg]} (x) \ in [0, \ infty) }$

er godt definert for hver g ∈ G , hvor

${\ displaystyle g^{-1} \ mu (A) = \ mu (gA). \ quad}$

Det kan vises at det er en versjon av s som er felles Borel målbar, det vil si

${\ displaystyle s: G \ times X \ rightarrow [0, \ infty)}$

er Borel målbar og tilfredsstiller

${\ displaystyle s (g, x) = {\ bigg [} {\ frac {d \ mu} {dg^{-1} \ mu}} {\ bigg]} (x) \ in [0, \ infty) }$

for nesten alle verdier av ( g , x ) ∈ G x X .

Anta at H er en separerbar Hilbert plass, U ( H ) den enhetlige operatørene på H . En enhetlig syklus er en Borel -kartlegging

${\ displaystyle \ Phi: G \ times X \ rightarrow \ operatorname {U} (H)}$

slik at

${\ displaystyle \ Phi (e, x) = I \ quad}$

for nesten alle x ∈ X

${\ displaystyle \ Phi (gh, x) = \ Phi (g, h \ cdot x) \ Phi (h, x)}$

for nesten alle ( g , h , x ). En enhetlig syklus er streng hvis og bare hvis forholdene ovenfor gjelder for alle ( g , h , x ). Det kan vises at for enhver enhetlig sykkel er det en streng enhetlig syklus som er nesten overalt lik den (Varadarajan, 1985).

Teorem . Definere

${\ displaystyle [U_ {g} \ psi] (x) = {\ sqrt {s (g, g^{-1} x)}} \ \ Phi (g, g^{-1} x) \ \ psi (g^{-1} x).}$

Da er U en enhetlig representasjon av G på Hilbert -rommet

${\ displaystyle \ int _ {X}^{\ oplus} Hd \ mu (x).}$

Videre, hvis for et Borelsett A , er π ( A ) projiseringsoperatoren

${\ displaystyle \ pi (A) \ psi = 1_ {A} \ psi, \ quad \ int _ {X}^{\ oplus} Hd \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X}^{\ oplus} Hd \ mu (x),}$

da ( U , π) er et system med imprimitivitet av ( G , X ).

Motsatt er ethvert homogent system av imprimitivitet av denne formen, for et mål σ-endelig mål μ. Dette tiltaket er unikt for å måle ekvivalens, det vil si at to slike mål har samme sett med mål 0.

Mye mer kan sies om korrespondansen mellom homogene systemer av imprimitivitet og cocycles.

Når handlingen til G på X er transitiv , tar korrespondansen imidlertid en spesielt eksplisitt form basert på representasjonen som er oppnådd ved å begrense syklusen Φ til en fastpunktsundergruppe av handlingen. Vi vurderer denne saken i neste avsnitt.

Eksempel

Et system av imprimitivitet ( U , π) av ( G , X ) på et separerbart Hilbert -rom H er ureduserbart hvis og bare hvis det eneste lukkede underrommet invariant under alle operatørene U _g og π ( A ) for g og element i G og A a Borel -delsett av X er H eller {0}.

Hvis ( U , π) er ureduserbar, er π homogen. Videre er det tilsvarende målet på X i henhold til forrige teorem ergodisk.

Induserte representasjoner

Hvis X er et Borel G -mellomrom og x ∈ X , så er fastpunktsundergruppen

${\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ i G: g \ cdot x = x \}}$

er en lukket undergruppe av G . Siden vi bare antar at handlingen til G på X er Borel, er dette faktum ikke-trivielt. For å bevise det kan man bruke det faktum at et standard Borel G -rom kan legges inn i et kompakt G -rom der handlingen er kontinuerlig.

Teorem . Anta at G virker transittivt på X. Deretter er det et σ-endelig kvasi-invariant mål μ på X som er unikt for å måle ekvivalens (det vil si at to slike mål har samme sett med mål null).

Hvis Φ er en streng enhetlig syklus

${\ displaystyle \ Phi: G \ times X \ rightarrow \ operatorname {U} (H)}$

da er begrensningen av Φ til fastpunktsundergruppen G _x en Borel målbar enhetsrepresentasjon U av G _x på H (Her har U ( H ) den sterke operatortopologien). Imidlertid er det kjent at en Borel -målbar enhetsrepresentasjon er lik nesten overalt (med hensyn til Haar -mål) til en sterkt kontinuerlig enhetsrepresentasjon. Denne begrensningskartleggingen setter opp en grunnleggende korrespondanse:

Teorem . Anta at G virker transittivt på X med kvasi-invariant mål μ. Det er en vedeksjon fra enhetlige ekvivalensklasser av systemer med imprimitivitet for ( G , X ) og enhetlige ekvivalensklasser for representasjon av G _x .

Videre vil dette Bijeksjon bevarer irreducibility, som er et system av imprimitivity av ( G , X ) er ikke-reduserbare hvis og bare hvis den tilsvarende representasjon av G _x er ureduserbar.

Gitt en representasjon V av G _x den tilsvarende representasjon av G kalles representasjonen indusert av V .

Se teorem 6.2 av (Varadarajan, 1985).

Søknader til teorien om gruppeforestillinger

Systemer av imprimitivity oppstår naturlig i bestemmelsen av representasjoner av en gruppe G som er den halv direkte produkt av en abelsk gruppe N med en gruppe H som virker ved automorphisms av N . Dette betyr at N er en normal undergruppe av G og H en undergruppe av G slik at G = NH og N ∩ H = { e } (med e som identitetselement for G ).

Et viktig eksempel på dette er den inhomogene Lorentz -gruppen .

Fix G , H og N som ovenfor, og la X være tegnet plass av N . Spesielt virker H på X av

${\ displaystyle [h \ cdot \ chi] (n) = \ chi (h^{-1} nh).}$

Teorem . Det er en sammenføyning mellom enhetlige ekvivalensklasser av representasjoner av G og enhetlige ekvivalensklasser av systemer av imprimitivitet basert på ( H , X ). Denne korrespondansen bevarer sammenflettede operatører. Spesielt er en representasjon av G ureduserbar hvis og bare hvis det tilsvarende systemet med imprimitivitet er ureduserbar.

Dette resultatet er av særlig interesse når virkningen av H på X er slik at hvert ergodisk kvasi-invariant mål på X er transitive. I så fall er hvert slikt mål bildet av (en helt endelig versjon) av Haar -mål på X ved kartet

${\ displaystyle g \ mapsto g \ cdot x_ {0}.}$

En nødvendig forutsetning for at dette skal være tilfelle er at det er et Tellbar av H invariante Borelmengder som skiller banene H . Dette er for eksempel tilfellet for handlingen til Lorentz -gruppen på karakterrommet til R ⁴ .

Eksempel: Heisenberg -gruppen

Den Heisenberg-gruppen er gruppen av 3 x 3 virkelige matriser av formen:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Denne gruppen er det semi-direkte produktet av

${\ displaystyle H = {\ bigg \ {} {\ begin {bmatrix} 1 & w & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}: w \ in \ mathbb {R} {\ bigg \}}}$

og den abelske normale undergruppen

${\ displaystyle N = {\ bigg \ {} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & s \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}: s, t \ in \ mathbb {R} {\ bigg \}}.}$

Betegn den typiske matrisen i H med [ w ] og den typiske i N ved [ s , t ]. Deretter

${\ displaystyle [w]^{-1} {\ begin {bmatrix} s \\ t \ end {bmatrix}} [w] = {\ begin {bmatrix} s \\-ws+t \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\-w & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} s \\ t \ end {bmatrix}}}$

w virker på den duale til R ² ved multiplikasjon av den transponerte matrise

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & -w \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Dette tillater oss å fullstendig bestemme banene og representasjonsteorien.

Bane struktur : Banene faller i to klasser:

• En horisontal linje som krysser y -aksen ved en verdi som ikke er null y ₀ . I dette tilfellet kan vi ta det kvasi-invariante målet på denne linjen for å være Lebesgue-mål.
• Et enkelt punkt ( x ₀ , 0) på x -aksen

Faste punktundergrupper : Disse faller også inn i to klasser avhengig av bane:

• Den trivielle undergruppen {0}
• Gruppen H selv

Klassifisering : Dette lar oss fullstendig klassifisere alle ureduserbare representasjoner av Heisenberg -gruppen. Disse parametriseres av settet som består av

• R - {0}. Disse er uendelig dimensjonale.
• Par ( x ₀ , λ) ∈ R x R . x ₀ er abscissen i enkeltpunktets bane på x -aksen og λ er et element i dual av H Disse er endimensjonale.

Vi kan skrive ned eksplisitte formler for disse representasjoner ved å beskrive begrensningene til N og H .

Sak 1 . Den tilsvarende representasjonen π har formen: Den virker på L ² ( R ) med hensyn til Lebesgue -mål og

${\ displaystyle (\ pi [s, t] \ psi) (x) = e^{ity_ {0}} e^{isx} \ psi (x). \ quad}$

${\ displaystyle (\ pi [w] \ psi) (x) = \ psi (x+wy_ {0}). \ quad}$

Sak 2 . Den tilsvarende representasjonen er gitt av det 1-dimensjonale tegnet

${\ displaystyle \ pi [s, t] = e^{isx_ {0}}. \ quad}$

${\ displaystyle \ pi [w] = e^{i \ lambda w}. \ quad}$

Referanser

• GW Mackey, Theory of Unitary Group Representations , University of Chicago Press, 1976.
• VS Varadarajan, Geometry of Quantum Theory , Springer-Verlag, 1985.
• David Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, bind 42, nummer 1/september, 1979, s. 1–70.