Direkte integreret - Direct integral

I matematik og funktionel analyse er en direkte integral en generalisering af begrebet direkte sum . Teorien er mest udviklet til direkte integraler af Hilbert-rum og direkte integraler af von Neumann-algebraer . Konceptet blev introduceret i 1949 af John von Neumann i et af papirerne i serien On Rings of Operators . Et af von Neumanns mål i denne artikel var at reducere klassificeringen af ​​(hvad der nu kaldes) von Neumann-algebraer på adskillelige Hilbert-rum til klassificeringen af ​​såkaldte faktorer. Faktorer er analoge med algebraer i fuld matrix over et felt, og von Neumann ønskede at bevise en kontinuerlig analog af Artin – Wedderburn-sætningen, der klassificerede semi-enkle ringe.

Resultater på direkte integraler kan ses som generaliseringer af resultater om endelige-dimensionelle C * -algebras af matricer; i dette tilfælde er resultaterne nemme at bevise direkte. Det uendelige dimensionelle tilfælde kompliceres af måle-teoretiske teknikker.

Direkte integreret teori blev også brugt af George Mackey i sin analyse af systemer med imprimitivitet og hans generelle teori om inducerede repræsentationer af lokalt kompakte adskillelige grupper.

Direkte integraler af Hilbert-rum

Den enkleste eksempel på en direkte integral er L ² rum, der er forbundet til en (σ-finite) tælleligt additivt mål μ på en målbar rum X . Lidt mere generelt kan man overveje et adskilleligt Hilbert-rum H og rummet med kvadratisk-integrerbare H- værdiansatte funktioner

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Terminologisk note : Den terminologi, der er vedtaget af litteraturen om emnet, følges her, hvorefter et målbart rum X betegnes som et borelum og elementerne i den fremtrædende σ-algebra af X som Borel sæt, uanset om det er den underliggende σ-algebra kommer fra et topologisk rum (i de fleste eksempler gør det det). Et Borel-rum er standard, hvis og kun hvis det er isomorft til det underliggende Borel-rum i et polsk rum ; alle polske rum i en given kardinalitet er isomorfe for hinanden (som Borel-mellemrum). Givet et målbart additivt mål μ på X , er et målbart sæt et, der adskiller sig fra et Borel-sæt ved et nul-sæt . Målingen μ på X er et standardmål , hvis og kun hvis der er et nul-sæt E, således at dets komplement X - E er et standardborelrum . Alle målinger, der overvejes her, er σ-endelige.

Definition . Lad X være et borelum udstyret med et målbart additivt mål μ. En målbar familie af Hilbert-rum på ( X , μ) er en familie { H _x } _{x ∈ X} , som lokalt svarer til en triviel familie i følgende betydning: Der er en tællelig partition

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

ved målbare undersæt af X sådan, at

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ i X_ {n}}$

hvor H _n er det kanoniske n- dimensionelle Hilbert-rum, dvs.

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ højre.}$

Et tværsnit af { H _x } _{x ∈ X} er en familie { s _x } _{x ∈ X} , således at s _x ∈ H _x for alle x ∈ X . Et tværsnit er målelig hvis og kun hvis dens begrænsning til hver partition element X _n er målelig. Vi identificerer målbare tværsnit s , t, der er lige næsten overalt . Givet en målbar familie af Hilbert-rum, den direkte integral

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

består af ækvivalensklasser (med hensyn til næsten overalt lighed) af målelige kvadratiske integrable tværsnit af { H _x } _{x ∈ X} . Dette er et Hilbert-rum under det indre produkt

${\ displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

I betragtning af vores definitions lokale karakter gælder mange definitioner for enkelt Hilbert-rum også for målbare familier af Hilbert-rum.

Bemærk . Denne definition er tilsyneladende mere restriktiv end den, der gives af von Neumann og diskuteret i Dixmiers klassiske afhandling om von Neumann-algebraer. I den mere generelle definition tillades Hilbert- rumfibrene H _x at variere fra punkt til punkt uden at have et lokalt trivialitetskrav (lokal i en måle-teoretisk forstand). En af de vigtigste sætninger i von Neumann-teorien er at vise, at den mere generelle definition faktisk kan reduceres til den enklere, der er givet her.

Bemærk, at den direkte integral af en målbar familie af Hilbert-rum kun afhænger af målklassen for målingen μ; mere præcist:

Sætning . Antag, at μ, ν er σ-endelige, talbart additive mål på X, der har de samme sæt mål 0. Derefter kortlægningen

${\ displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

er en enhedsoperatør

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Eksempel

Teknisk set er de enkleste eksempler, når X er et tællesæt, og μ er et diskret mål. Under hele artiklen, vil vi overveje følgende kørende eksempel, hvor X = N , og μ er tællemålet på N . I dette tilfælde som helst sekvens { H _k kan betragtes} adskillelige Hilbertrum som en målelig familie. I øvrigt,

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Nedbrydelige operatører

I vores køreeksempel er enhver afgrænset lineær operator T on

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

er givet ved en uendelig matrix

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ slut {bmatrix}}.}$

Overvej operatører, der er blokdiagonale , det vil sige at alle poster fra diagonalen er nul. Vi kalder disse operatører nedbrydelige . Disse operatører kan karakteriseres som dem, der pendler med diagonale matricer:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Vi går nu videre til den generelle definition: En familie af afgrænsede operatorer { T _x } _{x ∈ X} med T _x ∈ L ( H _x ) siges at være stærkt målbare, hvis og kun hvis dens begrænsning til hver X _n er stærkt målbar. Dette giver mening, fordi H _x er konstant på X _n .

Målbare familier af operatører med en i det væsentlige afgrænset norm, dvs.

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

definere afgrænsede lineære operatorer

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ i \ operatornavn {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

handler på en punktvis måde, altså

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Sådanne operatører siges at være nedbrydelige .

Eksempler på nedbrydelige operatører, der er defineret ved skalar-værdsat (dvs. C -valued) målelige funktioner X på X . Faktisk,

Sætning . Kortlægningen

${\ displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

givet af

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

er en involverende algebraisk isomorfisme på dets image.

Af denne grund identificerer vi L ^∞ _μ ( X ) med billedet af φ.

Teorem Nedbrydelige operatører er netop dem, der er i operatørkommutanten for den abelske algebra L ^∞ _μ ( X ).

Nedbrydning af Abelian von Neumann algebraer

Den spektrale sætning har mange varianter. En særlig kraftfuld version er som følger:

Sætning . For enhver Abelian von Neumann-algebra A på et adskilleligt Hilbert-rum H , er der et standard Borel-rum X og et mål μ på X, således at det ensartet svarer til en operatøralgebra til L ^∞ _μ ( X ), der virker på en direkte integral af Hilbert rum

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

At hævde A svarer enhedsvis til L ^∞ _μ ( X ) som operatøralgebra betyder, at der er en enhed

${\ displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

sådan at U A U * er algebraen for diagonale operatorer L ^∞ _μ ( X ). Bemærk, at denne hævder mere end blot den algebraiske ækvivalens A med algebra af diagonale operatører.

Denne version angiver imidlertid ikke eksplicit, hvordan den underliggende standard Borel space X opnås. Der er et unikt resultat for ovenstående nedbrydning.

Sætning . Hvis Abelian von Neumann algebra A er ensartet svarende til både L ^∞ _μ ( X ) og L ^∞ _ν ( Y ), der virker på de direkte integrale rum

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

og μ, ν er standardmål, så er der en Borel-isomorfisme

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

hvor E , F er nul-sæt, således at

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {næsten overalt}}}$

φ er en måleklasse isomorfisme, det vil sige φ og dens inverse bevaringssæt af mål 0.

Disse to foregående sætninger giver den komplette klassificering af Abelian von Neumann-algebraer på adskillelige Hilbert-rum. Bemærk, at denne klassificering faktisk tager højde for realiseringen af ​​von Neumann-algebraen som en algebra af operatører. Hvis vi kun betragter den underliggende von Neumann-algebra uafhængigt af dens realisering som en von Neumann-algebra, bestemmes dens struktur af meget enkle måle-teoretiske invarianter.

Direkte integraler af von Neumann-algebraer

Lad { H _x } _{x ∈ X} være en målbar familie af Hilbert-rum. En familie af von Neumann algebraer { A _x } _{x ∈ X} med

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

er målbar, hvis og kun hvis der er et tællbart sæt D af målbare operatorfamilier, der punktvis genererer { A _x } _{x ∈ X} som en von Neumann-algebra i følgende betydning: For næsten alle x ∈ X ,

${\ displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

hvor W * ( S ) betegner von Neumann algebra genereret af sættet S . Hvis { A _x } _{x ∈ X} er en målbar familie af von Neumann-algebraer, er den direkte integral af von Neumann-algebraer

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

består af alle operatører af formularen

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

for T _x ∈ A _x .

En af von Neumanns og Murrays hovedsætninger i deres originale papirerie er et bevis på nedbrydningssætningen: Enhver von Neumann-algebra er en direkte integrering af faktorer. Vi angiver dette nøjagtigt nedenfor.

Sætning . Hvis { A _x } _{x ∈ X} er en målbar familie af von Neumann-algebraer og μ er standard, så er familien af ​​operatorkommutanter også målbar og

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Central nedbrydning

Antag at A er en von Neumann-algebra. lad Z ( A ) være centrum for A , det er sættet af operatorer i A, der pendler med alle operatorer A , det vil sige

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) er en Abelian von Neumann algebra.

Eksempel . Midten af ​​L ( H ) er 1-dimensionel. Generelt, hvis A er en von Neumann-algebra, hvis centrum er 1-dimensionelt, siger vi A er en faktor .

Antag nu, at A er en von Neumann-algebra, hvis centrum indeholder en sekvens af minimale parvise, ortogonale ikke-nul-fremspring { E _i } _{i ∈ N,} således at

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Derefter A E _i er en von Neumann algebra på området H _i af E _i . Det er let at se A E _i er en faktor. Således i dette specielle tilfælde

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

repræsenterer A som en direkte sum af faktorer. Dette er et specielt tilfælde af von Neumanns centrale nedbrydningssætning.

Generelt kan vi anvende struktursætningen for Abelian von Neumann-algebraer, der repræsenterer Z ( A ) som en algebra af skalære diagonale operatorer. I en sådan repræsentation er alle operatører i A nedbrydelige operatører. Faktisk kan vi bruge dette til at bevise det grundlæggende resultat af von Neumann, at enhver von Neumann-algebra indrømmer en nedbrydning i faktorer.

Sætning . Formode

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

er en direkte integreret nedbrydning af H, og A er en von Neumann-algebra på H, så Z ( A ) er repræsenteret af algebraen for skalære diagonale operatører L ^∞ _μ ( X ), hvor X er et standardborelrum. Derefter

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

hvor for næsten alle x ∈ X er A _x en von Neumann-algebra, der er en faktor .

Målbare familier af repræsentationer

Hvis A er en adskillelig C * -algebra, kan vi overveje målbare familier af ikke-degenererede * -repræsentationer af A ; husk, at hvis A har en enhed, svarer ikke-degeneration til enhedsbevarelse. Ved den generelle korrespondance, der eksisterer mellem stærkt kontinuerlige enhedsrepræsentationer af en lokalt kompakt gruppe G og ikke-degenererede * -repræsentationer af grupperne C * -algebra C * ( G ), giver teorien for C * -algebras straks en nedbrydningsteori for repræsentationer af adskillelige lokalt kompakte grupper.

Sætning . Lad A være en adskillelig C * -algebra og π en ikke-degenereret involutive repræsentation af A på en adskillelig Hilbertrum H . Lad W * (π) være von Neumann algebra genereret af operatørerne π ( en ) til en ∈ A . Svarende til enhver central nedbrydning af W * (π) over et standardmålrum ( X , μ) (som som sagt er unik i en måle teoretisk forstand) er der en målbar familie af faktorrepræsentationer

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ i X}}$

af A sådan, at

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

Der er desuden en delmængde N af X med μ-mål nul, således at π _x , π _y er adskilt, når x , y ∈ X - N , hvor repræsentationer siges at være uadskillelige, hvis og kun hvis der ikke er nogen sammenflettede operatører mellem dem .

Man kan vise, at den direkte integral kan indekseres på den såkaldte kvasi-spektrum Q af A , bestående af kvasi-ækvivalensklasser af faktor repræsentationer af A . Der er således et standardmål μ på Q og en målbar familie af faktorrepræsentationer indekseret på Q, således at π _x hører til klassen x . Denne nedbrydning er i det væsentlige unik. Dette resultat er grundlæggende i teorien om gruppepræsentationer.

Referencer

• J. Dixmier , Von Neumann algebras , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, C * algebras ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , Theory of Unitary Group Representations , University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , On Rings of Operators. Reduktionsteori The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, nr. 2 (apr. 1949), s. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", encyklopædi for matematiske videnskaber, Springer-Verlag, 2001-2003 (første bind blev udgivet 1979 i 1. udgave) ISBN   3-540-42248-X