Magma (algebra) - Magma (algebra)

Algebralliset rakenteet magmien ja ryhmien välillä .

In abstraktin algebran , joka on magma , Binar tai, harvoin, groupoid on perus eräänlainen algebrallinen rakenne . Erityisesti, magman koostuu joukko varustettu yhdellä laskutoimitus , joka on suljettu määritelmän. Muita ominaisuuksia ei aseteta.

Historia ja terminologia

Termi groupoid otettiin käyttöön vuonna 1927 Heinrich Brandt kuvailemalla hänen Brandt-ryhmäänsä (käännetty saksalaisesta Gruppoidista ). Termin omistivat sitten BA Hausmann ja Øystein Ore (1937) tässä artikkelissa käytetyssä merkityksessä (sarja, jossa on binäärinen operaatio). Muutamassa Zentralblattin myöhempien julkaisujen arvostelussa Brandt oli täysin eri mieltä terminologian ylikuormituksesta. Brandt-ryhmäryhmä on ryhmätekniikka siinä mielessä, jota käytetään kategoriateoriassa, mutta ei siinä mielessä, jota Hausmann ja Ore käyttävät, mutta puoliryhmäteorian vaikuttavat kirjat, mukaan lukien Clifford ja Preston (1961) ja Howie (1995), käyttävät ryhmässä Hollmann (2014) kirjoittaa, että termiä groupoid käytetään "ehkä useimmiten nykyaikaisessa matematiikassa" siinä mielessä, että se on annettu kategoriateoriassa.

Bergmanin ja Hausknechtin (1996) mukaan: "Ei ole yleisesti hyväksyttyä sanaa joukolle, jolla ei ole välttämättä assosiatiivista binääritoimintoa. Sanaa groupoid käyttävät monet universaalit algebraistit, mutta kategoriateorian ja siihen liittyvien alojen työntekijät vastustavat voimakkaasti tätä käyttöä koska he käyttävät samaa sanaa tarkoittamaan luokkaa, jossa kaikki morfismit ovat käänteisiä. Serre käytti termiä magma [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]. " Se esiintyy myös Bourbaki n Éléments de Mathématique , Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

Määritelmä

Magma on joukko M, joka on sovitettu operaatioon , • joka lähettää minkä tahansa kaksi elementtiä a , b ∈ M toiselle elementille, a • b . Symboli • on yleinen paikkamerkki oikein määritellylle toiminnolle. Laadun ja toiminnan ( M , •) on täytettävä magma, jotta se täyttäisi seuraavat vaatimukset (tunnetaan nimellä magma tai sulkemisaksiooma ):

Kaikille , b on M , tulos operaation • b on myös M .

Ja matemaattisesti:

{\ displaystyle a, b \ M: ssä tarkoittaa \ cdot b \ M: ssä}

.

Jos • on sen sijaan osittainen operaatio , ( M , •) kutsutaan osittaiseksi magmaksi tai useammin osittaiseksi ryhmäksi .

Magmojen morfismi

Morfismi of magmat on funktio, f : M → N , kartoitus magma M on magma N , joka säilyttää laskutoimitus:

f ( x • _M y ) = f ( x ) • _N f ( y )

jossa • _M ja • _N tarkoittavat laskutoimitus on M ja N vastaavasti.

Notaatio ja kombinatorika

Magmaoperaatiota voidaan käyttää toistuvasti, ja yleisessä, ei-assosiatiivisessa tapauksessa järjestyksellä on merkitystä, joka merkitään sulkeilla. Myös operaatio • jätetään usein pois ja merkitään rinnakkain:

(a • (b • c)) • d = (a (bc)) d

Lyhennettä käytetään usein sulkeiden lukumäärän vähentämiseen, jolloin sisimmät toiminnot ja sulkuparit jätetään pois, korvaten vain rinnastuksella, $xy • z = (x • y) • z$ . Esimerkiksi yllä oleva on lyhennetty seuraavaan lausekkeeseen, joka sisältää edelleen sulkeita:

(a • bc) d

.

Tapa välttää sulkeiden käyttö kokonaan on etuliitemerkintä , johon sama lauseke kirjoitettaisiin $•• a • bcd$ . Toinen ohjelmoijille tuttu tapa on postfix-merkintä ( käänteinen puolan merkintä ), jossa sama lauseke kirjoitettaisiin $abc •• d •$ , jossa suoritusjärjestys on yksinkertaisesti vasemmalta oikealle (ei currya ).

Kaikkien mahdollisten merkkijonojen joukkoa, joka koostuu magman elementtejä osoittavista symboleista, ja tasapainotettujen sulkeiden joukkoa kutsutaan Dyck-kieleksi . Kokonaismäärä eri tavoin kirjoittamisen $n$ sovellusten magma operaattorin saadaan Katalonian numero , $C n$ . Siten esimerkiksi $C 2 = 2$ , mikä on vain lausunto siitä, että $(ab) c$ ja $a (bc)$ ovat ainoat kaksi tapaa yhdistää magman kolme elementtiä kahteen operaatioon. Vähemmän triviaalisti, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $( (bc)) d$ , $(ab) (cd)$ , $(($ $bc$ $)$ $d$ $)$ , ja $($ $b$ $($ $cd$ $))$ .

On $n n 2$ magmat kanssa $n$ elementtejä, joten on 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (sekvenssi A002489 on OEIS ) magmat 0, 1, 2, 3, 4, ... elementtejä. Vastaava määrä kuin Isomorfisen magmat ovat 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (sekvenssi A001329 on OEIS ) ja numerot samanaikaisesti ei-isomorfinen ja ei- antiisomorphic magmat ovat 1, 1, 7, 1734 , 89521056, ... (sekvenssi A001424 on OEIS ).

Ilmainen magma

Vapaa magma , M _X , on asetettu, X , on "yleisin mahdollista" magma syntyy X (eli ei ole olemassa suhteet tai aksioomia asetetuista generaattorit; katso vapaa objekti ). M _{X: n} binääritoiminto muodostetaan kääkemällä molemmat operandit sulkeisiin ja vierekkäin ne samassa järjestyksessä. Esimerkiksi:

a • b = (a) (b)

a • (a • b) = (a) ((a) (b))

(a • a) • b = ((a) (a)) (b)

M _X: tä voidaan kuvata ei-assosiatiivisten sanojen joukoksi X : ssä suluilla.

Sitä voidaan myös tarkastella, mitä tuttu tietotekniikassa , kuten magma binääripuita lehdet leimattu elementtejä X . Toimenpide on puiden liittäminen juuressa. Siksi sillä on perustava rooli syntaksissa .

Vapaalla magmalla on universaali ominaisuus , että jos f : X → N on funktio X: stä mihin tahansa magmaan, N , niin f: llä on ainutlaatuinen jatke magmojen morfismiin f ′

f ': M _X → N .

Magmatyypit

Magmoja ei usein tutkita sellaisenaan; sen sijaan magmaa on useita erilaisia, riippuen siitä, mitä aksiomia operaation on täytettävä. Yleisesti tutkittuja magmatyyppejä ovat:

Quasigroup: Magma, jossa jakaminen on aina mahdollista
Silmukka: Quasigroup, jossa on identiteettielementti
Puoliryhmä: Magma, jossa operaatio on assosiatiivinen
Käänteinen puoliryhmä: Puoliryhmä käänteisellä.
Semilattice: Puoliryhmä, jossa operaatio on kommutatiivinen ja idempotenttinen
Yksinäinen: Puoliryhmä, jossa on identiteettielementti
Ryhmä: Monoidi, jossa on käänteisiä elementtejä , tai vastaavasti assosiatiivinen silmukka tai ei-tyhjä assosiatiivinen kvasi-ryhmä
Abelin ryhmä: Ryhmä, jossa operaatio on kommutatiivinen

Huomaa, että jaettavuus ja käännettävyys tarkoittavat peruutusominaisuutta .

Luokittelu ominaisuuksien mukaan

Ryhmän kaltaiset rakenteet
	Kokonaisuus	Assosiatiivisuus	Identiteetti	Käänteettömyys	Kommutatiivisuus
Puoliryhmä	Ei tarvita	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita	Ei tarvita
Pieni luokka	Ei tarvita	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita
Groupoidi	Ei tarvita	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita
Magma	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita	Ei tarvita	Ei tarvita
Quasigroup	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita	Edellytetään	Ei tarvita
Unital Magma	Edellytetään	Ei tarvita	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita
Silmukka	Edellytetään	Ei tarvita	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita
Puoliryhmä	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita	Ei tarvita
Käänteinen puoliryhmä	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita	Edellytetään	Ei tarvita
Yksinäinen	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita	Ei tarvita
Kommutatiivinen monoidi	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita	Edellytetään
Ryhmä	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Ei tarvita
Abelin ryhmä	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään	Edellytetään
^ α Sulkeminen , jota käytetään monissa lähteissä, on ekvivalentti aksioma kokonaisuudelle, vaikka se on määritelty eri tavalla.

Magmaa $(S, •)$ , jossa on $x, y, u, z$ ∈ $S$ , kutsutaan

Medial: Jos se täyttää identiteetin, $xy • uz \equiv xu • yz$
Vasen puoliaika: Jos se täyttää identiteetin, $xx • yz \equiv xy • xz$
Oikea puoliaika: Jos se täyttää identiteetin, $yz • xx \equiv yx • zx$
Puoliaikainen: Jos se on sekä vasen että oikea puoliaika
Vasen jakautuva: Jos se täyttää identiteetin, $x • yz \equiv xy • xz$
Oikea jakelu: Jos se täyttää identiteetin, $yz • x \equiv yx • zx$
Automaattinen jakelu: Jos se on sekä vasen että oikea jakautuva
Kommutatiivista: Jos se täyttää identiteetin, $xy \equiv yx$
Idempotentti: Jos se täyttää identiteetin, $xx \equiv x$
Yksivaltainen: Jos se täyttää identiteetin, $xx \equiv yy$
Zeropotentti: Jos se täyttää identiteetit, $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$
Vaihtoehtoinen: Jos se täyttää identiteetit $xx • y \equiv x • xy$ ja $x • yy \equiv xy • y$
Voima-assosiatiivinen: Jos minkä tahansa elementin tuottama almagma on assosiatiivinen
Joustava: jos $xy • x \equiv x • yx$
Puoliryhmä , tai assosiatiivinen: Jos se täyttää identiteetin, $x • yz \equiv xy • z$
Vasen unar: Jos se täyttää identiteetin, $xy \equiv xz$
Oikea unar: Jos se täyttää identiteetin, $yx \equiv zx$
Puoliryhmä, jossa nolla kertolasku, tai nolla puoliryhmä: Jos se täyttää identiteetin, $xy \equiv uv$
Unital: Jos siinä on identiteettielementti
Vasen - peruutus: Jos kaikkien $x: n, y$ : n ja, $z: n$ osalta $xy = xz$ tarkoittaa $y = z: tä$
Oikea-peruutus: Jos kaikkien $x: n, y$ : n ja, $z: n$ osalta $yx = zx$ viittaa $y = z: ään$
Peruuttava: Jos se on sekä oikeanpuoleinen että vasemmanpuoleinen
Puoliryhmä vasemmalla nollilla: Jos se on puoliryhmä ja kaikkien $x$ : n kohdalla identiteetti, $x \equiv xy$ , pätee
Puoliryhmä oikealla nollilla: Jos se on puoliryhmä ja kaikkien $x$ : n kohdalla identiteetti, $x \equiv yx$ , pätee
Aikataulu: Jos jokin kolmesta (ei välttämättä erillisestä) elementistä luo mediaalisen alimagman
Entropinen: Jos se on homomorphic kuva on mediaalinen peruutus magma.

Magmaluokka

Magmaluokka, nimeltään Mag , on luokka, jonka objektit ovat magmoja ja joiden morfismit ovat magmahomomorfismeja . Luokassa Mag on suoria tuotteita , ja on olemassa inkluusiofunktori : Aseta → Med ↪ Mag triviaalina magmana , projektion antamien operaatioiden avulla : $x$ $T$ $y$ $=$ $y$ .

Tärkeä ominaisuus on, että injektiivinen endomorphism voidaan laajentaa erään automorphism tahnan laajennus , vain colimit ja ( vakio sekvenssin) endomorphism .

Koska yksittäiseksi $({*}, *)$ on nolla kohde on Mag , ja koska Mag on algebrallinen , Mag on terävä ja täydellinen .

Yleistykset

Katso n -ary-ryhmä .

Katso myös

Magma-luokka
Automaattinen magma-esine
Universaali algebra
Magma-tietokonealgebrajärjestelmä , nimetty tämän artikkelin kohteen mukaan.
Kommutatiiviset ei-assosiatiiviset magmat
Algebralliset rakenteet, joiden aksioomat ovat kaikki identiteettejä
Groupoid-algebra
Hall-sarja

Viitteet

M. Hazewinkel (2001) [1994], "Magma" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Groupoid" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Vapaa magma" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press
Weisstein, Eric W. "Groupoid" . MathWorld .

Lisälukemista

Bruck, Richard Hubert (1971), Tutkimus binäärisysteemeistä (3. painos), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

Languages

In other projects