Automorfismi - Automorphism

Automorphism ja Klein neljän ryhmä esitetty kartoitus kahden Cayley kuvaajat , permutaatio on syklin merkintätapa , ja kartoitus kahden Cayley taulukoita .

Vuonna matematiikassa , An automorphism on isomorfismi peräisin matemaattinen esineen itselleen. Se on jossain mielessä kohteen symmetria ja tapa kartoittaa esine itselleen säilyttäen sen koko rakenne. Joukko kaikista automorphisms objektin muodostaa ryhmä , jota kutsutaan automorphism ryhmä . Se on löyhästi ottaen kohteen symmetriaryhmä .

Määritelmä

Abstraktin algebran yhteydessä matemaattinen esine on algebrallinen rakenne , kuten ryhmä- , rengas- tai vektoritila . Automorphism on yksinkertaisesti bijektiivinen Homomorfismi objektin itsensä kanssa. (Homomorfismin määritelmä riippuu algebrallisen rakenteen tyypistä; katso esimerkiksi ryhmähomorfismi , rengashomomorfismi ja lineaarinen operaattori ).

Identiteetti morfismi ( identiteetti kartoitus ) kutsutaan triviaalia automorphism joissakin yhteyksissä. Vastaavasti muita (ei-identiteetti) automorfismeja kutsutaan ei-triviaaleiksi automorfismeiksi .

Automorfismin tarkka määritelmä riippuu kyseessä olevan "matemaattisen objektin" tyypistä ja siitä, mikä tarkalleen ottaen on kyseisen objektin "isomorfismi". Yleisin asetus, jossa näillä sanoilla on merkitys, on matematiikan abstrakti haara, jota kutsutaan kategoriateoriaksi . Luokkateoria käsittelee abstrakteja esineitä ja näiden objektien välisiä morfismeja .

Luokassa Teoriassa automorphism on endomorphism (eli morfismi esineestä itseensä), joka on myös isomorfismi (vuonna kategorinen merkityksessä, eli on olemassa oikea ja vasen käänteinen endomorphism).

Tämä on hyvin abstrakti määritelmä, koska kategoriateoriassa morfismit eivät välttämättä ole funktioita eivätkä objektit välttämättä joukkoa. Useimmissa konkreettisissa asetuksissa objektit asetetaan kuitenkin joillakin lisärakenteilla, ja morfismit ovat toimintoja, jotka säilyttävät kyseisen rakenteen.

Automorfismin ryhmä

Jos automorphisms objektin X muodostavat joukon (sen sijaan, että oikea luokan ), niin ne muodostavat ryhmän mukaisesti koostumus on morphisms . Tämä ryhmä on nimeltään automorphism ryhmä ja X .

Päättäminen: Kahden automorfismin koostumus on toinen automorfismi.
Assosiatiivisuus: Se on osa luokan määritelmää, että morfismien koostumus on assosiatiivinen.
Identiteetti: Identiteetti on identiteettimorfismi objektista itselleen, mikä on automorfismi.
Käänteiset: Määritelmän mukaan jokaisella isomorfismilla on käänteinen muoto, joka on myös isomorfismi, ja koska käänteinen on myös saman objektin endomorfismi, se on automorfismi.

C- luokan objektin X automorfismiryhmä merkitään Aut _C ( X ) tai yksinkertaisesti Aut ( X ), jos luokka on selkeä kontekstista.

Esimerkkejä

On joukko-opin , mielivaltaisessa permutaatio elementtien joukko X on automorphism. Automorphism ryhmä X kutsutaan myös symmetrinen ryhmä X .
Vuonna alkeis aritmeettinen , joukko kokonaislukuja , Z , pitää ryhmässä Lisäksi on ainutlaatuinen triviaali automorphism: negaatio. Sormuksena pidetään kuitenkin vain triviaalia automorfismia. Yleisesti ottaen kieltäminen on minkä tahansa abelilaisen ryhmän , mutta ei renkaan tai kentän, automorfismi .
Ryhmäautomorfismi on ryhmän isomorfismi ryhmästä itseensä. Epävirallisesti se on ryhmäelementtien permutaatio siten, että rakenne pysyy muuttumattomana. Jokaiselle ryhmälle G on luonnollinen homomorfismi G → Aut ( G ), jonka kuva on ryhmä Inn ( G ) ja sisemmän automorphisms ja joiden ydin on keskus on G . Siten, jos G: llä on triviaalikeskus , se voidaan upottaa omaan automorfismiryhmäänsä.
In lineaarialgebraa , endomorphism on vektori tilaa V on lineaarinen operaattori V → V . Automorfismi on käänteinen lineaarinen operaattori V: llä . Kun vektoritila on rajallinen, V: n automorfismiryhmä on sama kuin yleinen lineaarinen ryhmä GL ( V ). ( Kaikkien V: n endomorfismien algebrallinen rakenne on itsessään algebra, joka on saman kantakentän päällä kuin V , jonka käänteiset elementit koostuvat tarkalleen GL: stä ( V ).)
Kenttä automorphism on bijektiivinen rengas homomorfismi päässä kenttä itseensä. Tapauksissa on järkevä numerot ( Q ) ja reaalilukuja ( R ) ei ole triviaali kenttä automorphisms. Joillakin R: n alikentillä on ei-triviaaleja kenttäautomorfismeja, jotka eivät kuitenkaan ulotu kaikkiin R: iin (koska ne eivät voi säilyttää luvun, jolla on neliöjuuri R: ssä, ominaisuutta ). Siinä tapauksessa kompleksilukuja , C , on ainutlaatuinen triviaali automorphism, joka lähettää R osaksi R : kompleksikonjugaattisignaali , mutta on olemassa äärettömän ( uncountably ) monta "villi" automorphisms (olettaen, että selviö valinta ). Kenttäautomorfismit ovat tärkeitä kenttälaajennusten , erityisesti Galois-laajennusten , teorialle . Galois-laajennuksen L / K tapauksessa kaikkien K: n kiinnittävien L- automorfismien alaryhmää kutsutaan laajennuksen Galois-ryhmäksi .
Automorphism ryhmä quaternions ( H ), kuten renkaan ovat sisempi automorphisms, jonka Skolem-Noetherin lause : kartoittaa muotoa ↦ bab ^-1 . Tämä ryhmä on isomorfinen on SO (3) , ryhmä kierrosten 3-ulotteisessa avaruudessa.
Automorphism ryhmä octonions ( O ) on poikkeuksellinen Lien ryhmä G ₂ .
In graafiteoria automorphism kuvaajan on permutaatio solmujen joka säilyttää reunat ja ei-reunat. Erityisesti, jos kaksi solmua on liitetty reunalla, niin myös niiden kuvat ovat permutaation alla.
On geometria , automorphism voidaan kutsua liike tilaa. Käytetään myös erikoistunutta terminologiaa:
- In metrinen geometria automorphism on itse isometria . Automorfismiryhmää kutsutaan myös isometriryhmäksi .
- Luokkaan Riemannin pintojen , automorphism on biholomorphic kartta (kutsutaan myös konformikuvaus ), pinnasta itseensä. Esimerkiksi Riemannin pallon automorfismit ovat Möbiuksen muunnoksia .
- Automorphism of differentioituva jakotukin M on diffeomorfismi päässä M itselleen. Automorfismiryhmää kutsutaan joskus Diffiksi ( M ).
- On topologia , morphisms välillä topologinen tiloja kutsutaan jatkuva karttoja , ja automorphism topologinen tila on homeomorfismi tilaa itselleen, tai itse-homeomorfismi (katso homeomorfismi ryhmä ). Tässä esimerkissä ei riitä , että morfismi on bijektiivinen olemaan isomorfismi.

Historia

Irlantilainen matemaatikko William Rowan Hamilton antoi erään varhaisimmista ryhmäautomorfismeista (ryhmän automorfismi, ei pelkästään pisteiden automorfismiryhmä) ikosianlaskussaan , jossa hän löysi tilauksen kaksi automorfismia, kirjoittamalla:

joten se on uusi viides juuren ykseys, joka on yhdistetty entiseen viidenteen juureen täydellisen vastavuoroisuuden suhteilla. ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Sisäiset ja ulkoiset automorfismit

Joissakin luokissa - erityisesti ryhmissä , renkaissa ja Lie-algebroissa - on mahdollista erottaa automorfismit kahteen tyyppiin, joita kutsutaan "sisäisiksi" ja "ulkoisiksi".

Ryhmien tapauksessa sisäiset automorfismit ovat itse ryhmän elementtien konjugaatioita. Jokaiselle elementille ryhmän G , konjugoinnin on toiminta φ : G → G antama φ ( g ) = aga ^-1 (tai ^-1ga , käyttö vaihtelee). Yksi helppo tarkistaa, että konjugaatio jota on ryhmä automorphism. Sisäiset automorfismit muodostavat normaalin Aut ( G ) -alaryhmän , jota merkitsee Inn ( G ); tätä kutsutaan Goursatin lemmaksi .

Muita automorfismeja kutsutaan ulkoisiksi automorfismeiksi . Osamäärä ryhmä Aut ( G ) / Inn ( G ) on yleensä merkitty Out ( G ); ei-triviaalit elementit ovat kosetit, jotka sisältävät ulommat automorfismit.

Sama määritelmä pätee missä tahansa unitaalisessa renkaassa tai algebrassa, jossa a on mikä tahansa käänteinen elementti . For Lie algebras määritelmä on hieman erilainen.

Katso myös

Antiautomorfismi
Automorfismi (Sudoku-palapeleissä)
Tyypillinen alaryhmä
Endomorfismi soi
Frobeniuksen automorfismi
Morfismi
Tilausautomorfismi ( järjestysteoriassa ).
Suhteita säilyttävä automorfismi
Murtolukuinen Fourier-muunnos

Viitteet

^ PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismit" . Laskennallisen tekniikan matemaattiset perusteet (Felix Pahl-käännös). Springer. s. 376. ISBN 3-540-67995-2.
^ Yale, Paul B. (toukokuu 1966). "Kompleksilukujen automorfismit" (PDF) . Matematiikka-lehti . 39 (3): 135–141. doi : 10.2307 / 2689301 . JSTOR 2689301 .
^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2. painos), Cambridge University Press, s. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
^ Käsikirja algebrasta , 3 , Elsevier , 2003, s. 453
^ Sir William Rowan Hamilton (1856). "Muistio uuden yhtenäisyyden juurien järjestelmän kunnioittamisesta" (PDF) . Filosofinen aikakauslehti . 12 : 446.

Ulkoiset linkit

[Pahl-1] PJ Pahl, R Damrath (2001). "§7.5.5 Automorfismit" . Laskennallisen tekniikan matemaattiset perusteet (Felix Pahl-käännös). Springer. s. 376. ISBN 3-540-67995-2.

[2] Yale, Paul B. (toukokuu 1966). "Kompleksilukujen automorfismit" (PDF) . Matematiikka-lehti . 39 (3): 135–141. doi : 10.2307 / 2689301 . JSTOR 2689301 .

[3] Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2. painos), Cambridge University Press, s. 22–23, ISBN 0-521-00551-5

[4] Käsikirja algebrasta , 3 , Elsevier , 2003, s. 453

[5] Sir William Rowan Hamilton (1856). "Muistio uuden yhtenäisyyden juurien järjestelmän kunnioittamisesta" (PDF) . Filosofinen aikakauslehti . 12 : 446.

Languages

In other projects