Groupoid - Groupoid

Vuonna matematiikan , erityisesti luokkaan teoriassa ja Homotopia teoria , joka on groupoid (harvemmin Brandt groupoid tai virtuaaliryhmän ) yleistetään käsite ryhmän usealla vastaavalla tavalla. Ryhmämuoto voidaan nähdä seuraavasti:

• Ryhmä , jolla on osittainen funktio korvaa laskutoimitus ;
• Luokka , jossa jokainen morfismi on käänteinen. Luokan tämmöinen voidaan pitää täydentää yleisellä unaari operaatio , jota kutsutaan käänteinen vastaavasti ryhmä teoria . Ryhmä, jossa on vain yksi esine, on tavallinen ryhmä.

Riippuvaisen kirjoittamisen läsnä ollessa luokkaa yleensä voidaan pitää kirjoitettuna monoidina , ja vastaavasti ryhmätyyppiä voidaan pitää yksinkertaisesti kirjoitettuna ryhmänä. Morphisms ottaa yksi objektista toiseen, ja muodostaa Perheen tyyppejä, mikä morphisms voitaisiin kirjoittaa , sanovat. Koostumus on tällöin kokonaisfunktio:, niin että . ${\ displaystyle g: A \ oikea nuoli B}$${\ displaystyle h: B \ oikea nuoli C}$${\ displaystyle \ circ: (B \ oikea nuoli C) \ oikea nuoli (A \ oikea nuoli B) \ oikea nuoli A \ oikea nuoli C}$${\ displaystyle h \ circ g: A \ oikea nuoli C}$

Erityistapauksia ovat:

• Setoidit : sarjat , joilla on vastaavuussuhde ,
• G-sarjaa : sarjaa varustettu toiminnan ryhmän.${\ displaystyle G}$

Ryhmäloideja käytetään usein pohtimaan geometrisista esineistä, kuten jakotukista . Heinrich Brandt  ( 1927 ) esitteli ryhmäloidit epäsuorasti Brandt -puoliryhmien kautta .

Määritelmät

Groupoid on algebrallinen rakenne , joka koostuu ei-tyhjä joukko ja binaarinen osittainen funktio ' ' määritellään . ${\ displaystyle (G, \ ast)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle G}$

Algebrallinen

Ryhmäloidi on joukko, jolla on epätavallinen toiminta ja osittainen funktio . Tässä * ei ole binäärinen operaatio, koska sitä ei välttämättä ole määritetty kaikille elementtipareille . Tarkkoja ehtoja, joissa määritellään, ei ole tässä esitetty, ja ne vaihtelevat tilanteen mukaan. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {}^{-1}: G \ G,}$ ${\ displaystyle *: G \ kertaa G \ rightharpoonup G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle \ ast}$ja ^-1 on seuraavat aksiomaattinen ominaisuudet: Kaikille , ja vuonna , ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$

1. Assosiatiivisuus : Josjaon määritelty, niinjaon määritelty ja ovat samanarvoisia. Päinvastoin, jos yksijaon määritelty, niin ovat molemmatjasekä=.${\ displaystyle a*b}$${\ displaystyle b*c}$${\ displaystyle (a*b)*c}$${\ displaystyle a*(b*c)}$${\ displaystyle (a*b)*c}$${\ displaystyle a*(b*c)}$${\ displaystyle a*b}$${\ displaystyle b*c}$${\ displaystyle (a*b)*c}$${\ displaystyle a*(b*c)}$
2. Käänteinen :jane määritellään aina.${\ displaystyle a^{-1}*a}$${\ displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. Identiteetti : Joson määritelty, niinja. (Kaksi edellistä aksioomaa osoittavat jo, että nämä lausekkeet ovat määriteltyjä ja yksiselitteisiä.)${\ displaystyle a*b}$${\ displaystyle a*b*{b^{-1}} = a}$${\ displaystyle {a^{-1}}*a*b = b}$

Näistä aksioomista seuraa kaksi helppoa ja kätevää ominaisuutta:

• ${\ displaystyle (a^{-1})^{-1} = a}$,
• Jos on määritelty, niin .${\ displaystyle a*b}$${\ displaystyle (a*b)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}}$

Luokka teoreettinen

Groupoid on pieni luokka , jossa jokainen morfismi on isomorfismi eli käänteinen. Tarkemmin sanottuna ryhmätyyppi G on:

• Joukko G ₀ ja esineitä ;
• Kunkin parin esineiden x ja y on G: ₀ , on olemassa (mahdollisesti tyhjä) asetetaan G ( x , y ) on morphisms (tai nuolet ) peräisin x ja y . Kirjoitamme f  : x → y osoittamaan, että f on G: n ( x , y ) alkuaine .
• Jokainen esine x , nimetty elementti on G ( x , x );${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {x}}$
• Kunkin kolmen esineiden x , y , ja z , joka on funktio ;${\ displaystyle \ mathrm {comp} _ {x, y, z}: G (y, z) \ kertaa G (x, y) \ oikea nuoli G (x, z) :( g, f) \ mapsto gf}$
• Jokaiselle objektiparille x , y funktio ;${\ displaystyle \ mathrm {inv}: G (x, y) \ oikea nuoli G (y, x): f \ mapsto f^{-1}}$

tyydyttävä kaikille f  : x → y , g  : y → z ja h  : z → w :

• ${\ displaystyle f \ \ mathrm {id} _ {x} = f}$ja ;${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {y} \ f = f}$
• ${\ displaystyle (hg) f = h (gf)}$;
• ${\ displaystyle ff^{-1} = \ mathrm {id} _ {y}}$ja .${\ displaystyle f^{-1} f = \ mathrm {id} _ {x}}$

Jos f on osa G ( x , y ), niin x kutsutaan lähde on f , kirjallinen s ( f ), ja y on nimeltään tavoite on f , kirjallinen t ( f ). Ryhmää G kutsutaan joskus nimellä , missä on kaikkien morfismien joukko, ja kaksi nuolta edustavat lähdettä ja kohdetta. ${\ displaystyle G_ {1} \ rightrightrows G_ {0}}$${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1} \ to G_ {0}}$

Yleisemmin voidaan harkita ryhmäomaista esinettä mielivaltaisessa luokassa, joka sallii äärelliset kuitutuotteet.

Määritelmien vertailu

Algebralliset ja luokkateoreettiset määritelmät ovat vastaavia, kuten nyt osoitamme. Annetaan groupoid kategoriassa teoreettista mielessä, anna G olla erillisiä unionin kaikkien sarjojen G ( x , y ) (eli sarjaa morphisms välillä x ja y ). Sitten ja tulee osittain toimintansa G , ja itse asiassa määritellään kaikkialla. Määrittelemme ∗ olla ja ⁻¹ olla , mikä antaa ryhmämuoto algebrallisessa merkityksessä. Selkeä viittaus G _{0: een} (ja siten siihen ) voidaan jättää pois. ${\ displaystyle \ mathrm {comp}}$${\ displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {comp}}$${\ displaystyle \ mathrm {inv}}$${\ displaystyle \ mathrm {id}}$

Päinvastoin, kun otetaan huomioon ryhmäpohja G algebrallisessa mielessä, määritä elementtien ekvivalenssisuhde iff a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Olkoon G ₀ ekvivalenssiluokkien joukko , eli . Merkitsevät * ^-1 mukaan , jos kanssa . ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle a \ sim b}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle G_ {0}: = G/\! \! \ sim}$${\ displaystyle 1_ {x}}$${\ displaystyle a \ G: ssä}$${\ displaystyle x \ in G_ {0}}$

Nyt määritellä joukoksi kaikki elementit f sellainen, että on olemassa. Annettu ja niiden yhdistelmä määritellään . Nähdäksesi, että tämä on hyvin määritelty, huomioi, että siitä lähtien ja olemassa, niin on . Tällöin identiteetin morfismi x: llä on ja f: n kategoriateoreettinen käänteisarvo on f ⁻¹ . ${\ displaystyle G (x, y)}$${\ displaystyle 1_ {x}*f*1_ {y}}$${\ displaystyle f \ G (x, y)}$${\ displaystyle g \ G: ssä (y, z),}$${\ displaystyle gf: = f*g \ in G (x, z)}$${\ displaystyle (1_ {x}*f)*1_ {y}}$${\ displaystyle 1_ {y}*(g*1_ {z})}$${\ displaystyle (1_ {x}*f*1_ {y})*(g*1_ {z}) = f*g}$${\ displaystyle 1_ {x}}$

Yllä olevien määritelmien sarjat voidaan korvata luokilla , kuten luokkateoriassa yleensä tapahtuu.

Vertex -ryhmät ja kiertoradat

Annetaan groupoid G , The kärki ryhmät tai isotropia ryhmät tai esine ryhmät on G ovat osajoukkoja muotoa G ( x , x ), jossa x on mikä tahansa kohde G . Yllä olevista aksioomista seuraa helposti, että nämä ovat todellakin ryhmiä, koska jokainen elementtipari on kokoonpantavissa ja käänteiset ovat samassa kärkipisteessä.

Kiertoradalla on groupoid G pisteessä saadaan joukko sisältää jokainen piste, joka voidaan liittää x jota morfismi G. Jos kaksi pistettä ja ovat samassa kiertoradan, niiden kärki ryhmiä ja ovat isomorfisia : jos on jokin morfismi alkaen ja sitten isomorfismi antama kartoitus . ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle s (t^{-1} (x)) \ osajoukko X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle G (x)}$${\ displaystyle G (y)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g \ to fgf^{-1}}$

Kiertoradat muodostavat osion joukosta X, ja ryhmää kutsutaan transitiiviseksi, jos sillä on vain yksi kiertorata (vastaavasti, jos se on kytketty luokkaan). Siinä tapauksessa kaikki kärkipisteet ovat isomorfisia (toisaalta tämä ei ole riittävä ehto transitiivisuudelle; katso vastaesimerkkejä alla olevasta osiosta ).

Alaryhmät ja morfismit

Subgroupoid of on alaluokka , joka on itsessään groupoid. Sitä kutsutaan leveäksi tai täydeksi, jos se on alaluokana leveä tai täynnä eli vastaavasti, jos tai jokaisen . ${\ displaystyle G \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle H \ rightrightarrows Y}$${\ displaystyle X = Y}$${\ displaystyle G (x, y) = H (x, y)}$${\ displaystyle x, y \ in Y}$

Groupoid morfismi on yksinkertaisesti functor kahden (luokka teoreettista) groupoids.

Erityiset ryhmätyyppien morfismit ovat kiinnostavia. Morfismi on groupoids kutsutaan kuidutuksen jos kunkin objektin on ja kukin morfismi on alkaen on morfismi on alkaen siten, että . Fibraatiota kutsutaan peittäväksi morfismiksi tai ryhmien peittämiseksi, jos tällainen on edelleen ainutlaatuinen. Katteen morphisms on groupoids ovat erityisen hyödyllisiä, koska ne voidaan mallintaa kattavat kartat tiloihin. ${\ displaystyle p: E \ to B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p (e) = b}$${\ displaystyle e}$

On myös totta, että tietyn ryhmätyypin peittävien morfismien luokka vastaa ryhmien ryhmien toimintojen luokkaa . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Esimerkkejä

Topologia

Kun otetaan huomioon topologinen tila , anna olla joukko . Morphisms pisteestä pisteeseen ovat ekvivalenssiluokkia on jatkuva polkuja välillä ja , jossa on kaksi polkua vastaavaksi, jos ne ovat homotopic . Kaksi tällaista morfismia koostuu seuraamalla ensin ensimmäistä polkua, sitten toista; homotopian vastaavuus takaa, että tämä koostumus on assosiatiivinen . Tämä groupoid kutsutaan perustavanlaatuinen groupoid on , merkitään (tai joskus, ). Tavallinen perusryhmä on sitten pisteen kärkipiste . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ Pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x)}$${\ displaystyle x}$

Perusryhmän kiertoradat ovat radan kytkettyjä komponentteja . Näin ollen polkuun yhdistetyn tilan perusryhmä on transitiivinen, ja saamme takaisin tiedossa olevan tosiasian, että perusryhmät missä tahansa tukipisteessä ovat isomorfisia. Lisäksi tässä tapauksessa perusryhmä ja perusryhmät ovat luokkia vastaavia (katso yleinen teoria alla olevasta osiosta ). ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle X}$

Tämän ajatuksen tärkeä laajennus on ottaa huomioon perusryhmä, jossa on valittu "peruspisteiden" joukko. Tässä on (laaja) alaryhmä , jossa tarkastellaan vain polkuja, joiden päätepisteet kuuluvat . Joukko voidaan valita tilanteen mukaan. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$${\ displaystyle A \ osajoukko X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, A)}$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Vastaavuussuhde

Jos on setoidi , eli joukko, jolla on ekvivalenssisuhde , tämän ekvivalenssisuhteen "edustava" ryhmä voidaan muodostaa seuraavasti: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ sim}$

• Ryhmän esineet ovat elementtejä ;${\ displaystyle X}$
• Tahansa kaksi elementtiä ja on , on yksi morfismi kohteesta kohteeseen (tarkoittavat mukaan ), jos ja vain jos ;${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (y, x)}$${\ displaystyle x \ sim y}$
• Koostumus ja on .${\ displaystyle (z, y)}$${\ displaystyle (y, x)}$${\ displaystyle (z, x)}$

Tämän groupoidin kärkipisteet ovat aina triviaalit; Lisäksi tämä ryhmäpoika ei yleensä ole transitiivinen ja sen kiertoradat ovat juuri ekvivalenssiluokkia. On kaksi äärimmäistä esimerkkiä:

• Jos jokainen osa on suhteessa kaikkien muiden osa , saadaan pari groupoid on , joka on koko kuin joukko nuolia, ja joka on transitiivinen.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ kertaa X}$
• Jos jokainen elementti on vain suhteessa itseensä, saadaan yksikköryhmä , jolla on joukko nuolia , ja joka on täysin intransitiivinen (jokainen yksittäinen on kiertorata).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle s = t = id_ {X}}$${\ displaystyle \ {x \}}$

Esimerkkejä

Esimerkiksi, jos on sileä surjective uppoaminen on sileä pakosarjat , niin on ekvivalenssirelaatio koska on topologia isomorfinen osamäärä topologia on alle surjective kartta topologinen tiloja. Jos kirjoitamme, saamme ryhmämuodon${\ displaystyle f: X_ {0} \ - Y}$ ${\ displaystyle X_ {0} \ times _ {Y} X_ {0} \ osajoukko X_ {0} \ x X_ {0}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {1} = X_ {0} \ kertaa _ {Y} X_ {0}}$

${\ displaystyle X_ {1} \ rightrightrows X_ {0}}$

jota kutsutaan joskus sileiden jakotukien surjektiivisen upotuksen banaaliseksi ryhmäksi.

Čech -ryhmä

Čech -ryhmälohko ^{pg 5} on erityinen ryhmätyyppi, joka liittyy vastaavuussuhteeseen, jonka antaa jonkin jakoputken avoin kansi . Sen kohteet ovat hajoavan liiton antamia${\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ I}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} = \ coprod U_ {i}}$

ja sen nuolet ovat risteyksiä

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} = \ coprod U_ {ij}}$

Lähde- ja kohdekartat annetaan sitten indusoiduilla kartoilla

${\ displaystyle {\ begin {aligned} s = \ phi _ {j}: U_ {ij} \ - U_ {j} \\ t = \ phi _ {i}: U_ {ij} \ - U_ {i} \ loppu {tasattu}}}$

ja osallisuuskartta

${\ displaystyle \ varepsilon: U_ {i} \ - U_ {ii}}$

joka antaa ryhmittymän rakenteen. Itse asiassa tätä voidaan laajentaa edelleen asettamalla

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = {\ mathcal {G}} _ {1} \ _ _ {{\ mathcal {G}} _ {0}} \ cdots \ times _ {{\ matematiikka {G}} _ {0}} {\ matematiikka {G}} _ {1}}$

kuten -iterated kuitutuote, jossa on -tuples ja koottavat nuolia. Kuidutuotteen rakennekartta on epäsuorasti kohdekartta, koska${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} U_ {ijk} & \ to & U_ {ij} \\\ downarrow && \ downarrow \\ U_ {ik} & \ to & U_ {i} \ end {matrix}}}$

on suorakulmainen kaavio, jossa kartat ovat kohdekarttoja. Tätä rakennetta voidaan pitää mallina joillekin ∞-ryhmille . Myös toinen tämän rakenteen artefakti on k-cocycles${\ displaystyle U_ {i}}$

${\ displaystyle [\ sigma] \ in {\ check {H}}^{k} ({\ mathcal {U}}, {\ underline {A}})}$

joillekin jatkuville nippuille Abelin ryhmiä voidaan esittää funktiona

${\ displaystyle \ sigma: \ coprod U_ {i_ {1} \ cdots i_ {k}} \ kohteeseen A}$

antaa selkeä esitys kotitekniikan tunneista.

Ryhmätoiminta

Jos ryhmä vaikuttaa joukkoon , voimme muodostaa tätä ryhmätoimintaa edustavan toimintaryhmän (tai muunnosryhmän ) seuraavasti: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$

• Esineet ovat elementtejä ;${\ displaystyle X}$
• Tahansa kaksi elementtiä ja on , morphisms välillä ja vastaavat elementit on sellainen, että ;${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle gx = y}$
• Koostumus on morphisms tulkitsee laskutoimitus on .${\ displaystyle G}$

Enemmän eksplisiittisesti toiminta groupoid on pieni luokka ja sekä lähde ja kohde karttoja ja . Se on usein merkitty (tai oikealle toiminnalle). Kertolasku (tai kokoonpano) ryhmässä määritetään silloin . ${\ displaystyle \ mathrm {ob} (C) = X}$${\ displaystyle \ mathrm {hom} (C) = G \ kertaa X}$${\ displaystyle s (g, x) = x}$${\ displaystyle t (g, x) = gx}$${\ displaystyle G \ ltimes X}$${\ displaystyle X \ rtimes G}$${\ displaystyle (h, y) (g, x) = (hg, x)}$${\ displaystyle y = gx}$

Sillä on , kärki ryhmä koostuu niistä , joilla , mikä on vain isotrooppisuus alaryhmä on annetulle toiminta (minkä takia kärki ryhmiä kutsutaan myös isotrooppisuus ryhmiä). Samoin toimintaryhmän kiertoradat ovat ryhmätoiminnan kiertorata , ja ryhmäloidi on transitiivinen silloin ja vain, jos ryhmätoiminto on transitiivinen . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (g, x)}$${\ displaystyle gx = x}$${\ displaystyle x}$

Toinen tapa kuvata -sarjoja on functor -luokka , jossa on ryhmäelementti (luokka), jossa on yksi elementti ja joka on isomorfinen ryhmälle . Itse asiassa jokainen functor tämän luokan määrittelee joukon ja jokaiselle vuonna (eli jokaista morfismi vuonna ) indusoi bijektio  : . Funktionaalisen kategorian rakenne vakuuttaa meille, että määritellään sarjan toiminto . The (ainutlaatuinen) esitettäväksi functor  : on Cayley esitys on . Itse asiassa, tämä functor on isomorfinen ja niin lähettää joukkoon , joka on määritelmän mukaan "asetettu" ja morfismi on (eli elementti on ) ja permutaation joukon . Me päätellä Yoneda upottamisen että ryhmä on isomorfinen ryhmän , joka on alaryhmä ryhmän permutaatioiden on . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle [\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Set}]}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X = F (\ mathrm {Gr})}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$ ${\ displaystyle F_ {g}}$${\ displaystyle X \ to X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr} \ to \ mathrm {Set}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr},-)}$${\ displaystyle \ mathrm {ob} (\ mathrm {Gr})}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ mathrm {Gr}, \ mathrm {Gr})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathrm {Gr}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F_ {g}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ {F_ {g} \ mid g \ in G \}}$${\ displaystyle G}$

Rajallinen sarja

Harkitse ryhmätoimintoa äärellisellä joukolla, joka vie jokaisen luvun negatiiviseen, niin ja . Osamääräryhmä on tämän ryhmätoiminnon vastaavuusluokkien joukko , ja sillä on ryhmätoiminto . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2}$${\ displaystyle X = \ {-2, -1,0,1,2 \}}$${\ displaystyle -2 \ mapsto 2}$${\ displaystyle 1 \ mapsto -1}$${\ displaystyle [X/G]}$${\ displaystyle \ {[0], [1], [2] \}}$${\ displaystyle [0]}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2}$

Osamääräinen lajike

Mikä tahansa äärellinen ryhmä, joka kartoitetaan antamaan ryhmätoiminto affiniseen tilaan (koska tämä on automorfismien ryhmä). Sitten osamääräinen ryhmätyyppi voi olla muodoltaan , ja sen pisteessä on yksi piste, jossa on stabilointiaine . Tällaiset esimerkit muodostavat perustan orbifolds -teorialle . Toinen yleisesti tutkittu orbifold-perhe on painotetut projektiiviset tilat ja niiden alatilat , kuten Calabi-Yau-orbifolds . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle GL (n)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle [\ mathbb {A} ^{n}/G]}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (n_ {1}, \ pisteitä, n_ {k})}$

Ryhmäkuitujen kuitutuote

Annettu kaavio ryhmätyypeistä, joilla on ryhmämuoto

${\ displaystyle {\ begin {aligned} && X \\ && \ downarrow \\ Y & \ rightarrow & Z \ end {aligned}}}$

missä ja voimme muodostaa groupoid tavoittele kolminkertaistuu , missä , ja vuonna . Morphisms voidaan määritellä pari morphisms jos ja siten, että kolmen , on kommutatiivinen kaavio on , ja . ${\ displaystyle f: X \ - Z}$${\ displaystyle g: Y \ - Z}$${\ displaystyle X \ kertaa _ {Z} Y}$${\ displaystyle (x, \ phi, y)}$${\ displaystyle x \ {{tekstissä {Ob}} (X)}$${\ displaystyle y \ {{text {Ob}}: ssa (Y)}$${\ displaystyle \ phi: f (x) \ g (y)}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle (\ alfa, \ beta)}$${\ displaystyle \ alpha: x \ x '}$${\ displaystyle \ beta: y \ y '}$${\ displaystyle (x, \ phi, y), (x ', \ phi', y ')}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f (\ alfa): f (x) \ - f (x ')}$${\ displaystyle g (\ beta): g (y) \ g (y ')}$${\ displaystyle \ phi, \ phi '}$

Homologinen algebra

Kaksivaiheinen kompleksi

${\ displaystyle C_ {1} {\ overset {d} {\ rightarrow}} C_ {0}}$

konkreettisten Abelin luokkien esineitä voidaan käyttää muodostamaan ryhmä. Siinä on joukko objekteina ja nuolina joukko ; lähdemorfismi on vain projektio päälle, kun taas kohdemorfismi on projektion lisääminen sävellykseen ja projektio päälle . Eli meillä on annettu ${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {1} \ oplus C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle c_ {1}+c_ {0} \ C_ {1} \ oplus C_ {0}}$

${\ displaystyle t (c_ {1}+c_ {0}) = d (c_ {1})+c_ {0}.}$

Tietenkin, jos abelilainen luokka on järjestelmän koherenssipyörien luokka , tätä rakennetta voidaan käyttää muodostamaan ryhmäpohjien esipaketti.

Palapelit

Vaikka Rubikin kuution kaltaisia ​​pulmia voidaan mallintaa ryhmäteorian avulla (katso Rubikin kuutio -ryhmä ), tietyt palapelit mallinnetaan paremmin ryhmämuotoisina.

Viidentoista palapelin muunnokset muodostavat ryhmämuodon (ei ryhmän, koska kaikkia liikkeitä ei voida koostaa). Tämä ryhmä toimii kokoonpanoissa.

Mathieu -ryhmä

Mathieu groupoid on groupoid käyttöön John Horton Conway toimii 13 pistettä siten, että elementit vahvistamisesta pisteen muodossa kopio Mathieu ryhmän M ₁₂ .

Suhde ryhmiin

Ryhmämaiset rakenteet
	Kokonaisuus	Assosiatiivisuus	Identiteetti	Käänteisyys	Kommutatiivisuus
Puoliryhmä	Tarpeeton	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton	Tarpeeton
Pieni luokka	Tarpeeton	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton
Ryhmä	Tarpeeton	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton
Magma	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton	Tarpeeton	Tarpeeton
Kvasiryhmä	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton	Vaaditaan	Tarpeeton
Unital Magma	Vaaditaan	Tarpeeton	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton
Silmukka	Vaaditaan	Tarpeeton	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton
Puoliryhmä	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton	Tarpeeton
Käänteinen puoliryhmä	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton	Vaaditaan	Tarpeeton
Monoidi	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton	Tarpeeton
Kommutatatiivinen monoidi	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton	Vaaditaan
Ryhmä	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Tarpeeton
Abelin ryhmä	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan	Vaaditaan
^α Sulkeminen, jota käytetään monissa lähteissä, on kokonaisuudelle vastaava aksiooma, vaikka se määritelläänkin eri tavalla.

Jos groupoidilla on vain yksi objekti, sen morfismien joukko muodostaa ryhmän . Käyttämällä algebrallista määritelmää tällainen ryhmämuoto on kirjaimellisesti vain ryhmä. Monet käsitteet ryhmäteorian yleistää groupoids, jossa käsite functor joka korvasi homomorfismi .

Jokainen transitiivinen/kytketty ryhmäloidi - eli kuten edellä on selitetty, sellainen, jossa kaksi objektia on yhdistetty vähintään yhdellä morfismilla - on isomorfinen toimintaryhmään (kuten edellä on määritelty) . Transitiivisuudella toiminnan alla on vain yksi kiertorata . ${\ displaystyle (G, X)}$

Huomaa, että juuri mainittu isomorfismi ei ole ainutlaatuinen, eikä ole olemassa luonnollista valintaa. Valitessaan kuten isomorfismi varten transitiivisen groupoid olennaisesti merkitsee poiminta yksi kohde , joka on ryhmä isomorfismi päässä on , ja kunkin muun kuin , joka on morfismi on peräisin kohteeseen . ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle G (x_ {0})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x}$

Jos ryhmätyyppi ei ole transitiivinen, se on isomorfinen edellä kuvatun tyyppisten ryhmien hajoavalle liitokselle , jota kutsutaan myös sen yhdistetyiksi komponenteiksi (mahdollisesti eri ryhmillä ja sarjoilla kullekin kytketylle komponentille). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$

Kategoriateoreettisesti katsottuna kukin ryhmätyypin kytketty komponentti on vastaava (mutta ei isomorfinen ) ryhmäobjektille, jolla on yksi kohde, eli yksi ryhmä. Siten mikä tahansa ryhmätyyppi vastaa monia etuyhteydettömien ryhmien sarjaa . Toisin sanoen, vastaavuuden saamiseksi isomorfismin sijaan ei tarvitse määritellä joukkoja , vaan vain ryhmiä Esimerkiksi ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G.}$

• Perustavanlaatuinen groupoid on vastaa kokoelma perustavanlaatuinen ryhmien kunkin polun-kytketty komponentti on , mutta isomorfismi vaatii määritellään joukko pisteitä kussakin komponentissa;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Joukko, jolla on ekvivalenssisuhde, vastaa (ryhmätyyppisenä) yhtä triviaaliryhmän kopiota kutakin vastaavuusluokkaa kohti , mutta isomorfismi edellyttää, että kukin vastaavuusluokka on määritelty:${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sim}$
• Joukko, joka on varustettu ryhmän toiminnalla , vastaa (ryhmämaisena) yhtä kopiota kullekin toiminnan kiertoradalle , mutta isomorfismi vaatii määrittelemään, mikä joukko kukin kiertorata on.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Ryhmittymän romahtaminen pelkäksi ryhmien kokoelmaksi menettää jonkin verran tietoa jopa luokkateoreettisesta näkökulmasta, koska se ei ole luonnollista . Siten kun ryhmäpoikkeja syntyy muiden rakenteiden suhteen, kuten yllä olevissa esimerkeissä, voi olla hyödyllistä ylläpitää koko ryhmä. Muussa tapauksessa on valittava tapa tarkastella kutakin yksittäisen ryhmän kannalta, ja tämä valinta voi olla mielivaltainen. Topologian esimerkissä olisi valittava johdonmukaisesti polut (tai polkujen vastaavuusluokat) kustakin pisteestä samaan polkuun yhdistetyn komponentin jokaiseen pisteeseen . ${\ displaystyle G (x)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Valaisevampana esimerkkinä yhden endomorfismin omaavien ryhmien luokittelu ei rajoitu pelkästään ryhmäteoreettisiin näkökohtiin. Tämä on analogista siihen tosiseikkaan, että vektoriavaruuksien luokittelu yhdellä endomorfismilla on ei -triviaali.

Ryhmien morfismit ovat monenlaisia ​​kuin ryhmien morfismit : meillä on esimerkiksi fibraatioita , jotka kattavat morfismit , yleismaailmalliset morfismit ja jakautuvat morfismit . Näin alaryhmä on ryhmä , tuottaa toiminnan on joukko sivuluokkia ja on ja näin ollen kattaa morfismi päässä, esimerkiksi, on , jos on groupoid kanssa kärki ryhmien isomorfinen . Tällä tavalla ryhmän esitykset voidaan "nostaa" ryhmäesityksen esityksiin , ja tämä on hyödyllinen tapa saada tietoa alaryhmän esityksistä . Lisätietoja on Higginsin ja Brownin kirjoissa viitteissä. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$

Ryhmien ryhmä

Luokkaa, jonka kohteet ovat ryhmäloideja ja jonka morfismit ovat ryhmämorfismia, kutsutaan ryhmäpohjaiseksi kategoriaksi tai ryhmätyyppien kategoriaksi , ja sitä merkitään ryhmällä Grpd .

Luokka Grpd on, kuten pienten luokkien luokka, suorakulmainen suljettu : mille tahansa ryhmätyypille voidaan rakentaa ryhmä, jonka objektit ovat morfismeja ja nuolet ovat morfismien luonnollisia vastaavuuksia. Jos siis ovat vain ryhmiä, niin nuolet ovat morfismien konjugaatioita. Tärkein tulos on, että kaikille ryhmille on luonnollinen hajoaminen ${\ displaystyle H, K}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {GPD} (H, K)}$${\ displaystyle H \ to K}$${\ displaystyle H, K}$${\ displaystyle G, H, K}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Grpd} (G \ kertaa H, K) \ kong \ operaattorinimi {Grpd} (G, \ toiminimi {GPD} (H, K)).}$

Tämä tulos kiinnostaa, vaikka kaikki ryhmät ovat vain ryhmiä. ${\ displaystyle G, H, K}$

Toinen Grpd: n tärkeä ominaisuus on, että se on sekä täydellinen että osa -aikainen .

Suhde kissaan

Sisällys sisältää sekä vasemman että oikean liitännän : ${\ displaystyle i: \ mathbf {Grpd} \ - \ mathbf {Cat}}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (C [C^{-1}], G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (C, i (G))}$

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Cat}} (i (G), C) \ cong \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (G, \ mathrm {Core} (C))}$

Tässä tarkoittaa luokan lokalisointia, joka kääntää jokaisen morfismin, ja merkitsee kaikkien isomorfismien alakategoriaa. ${\ displaystyle C [C^{-1}]}$${\ displaystyle \ mathrm {Core} (C)}$

Suhde sSetiin

Hermo functor upottaa Grpd täytenä alaluokka luokan simplicial sarjoiksi. Ryhmähermo on aina Kan -kompleksi . ${\ displaystyle N: \ mathbf {Grpd} \ - \ mathbf {sSet}}$

Hermolla on vasen liitännäinen

${\ displaystyle \ hom _ {\ mathbf {Grpd}} (\ pi _ {1} (X), G) \ cong \ hom _ {\ mathbf {sSet}} (X, N (G))}$

Tässä tarkoittaa yksinkertaisen ryhmän X perusryhmää. ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

Ryhmät Grpd

On olemassa lisärakenne, joka voidaan johtaa ryhmätyyppien, kaksoisryhmien luokan sisäisistä ryhmätyypeistä . Koska Grpd on 2-luokka, nämä objektit muodostavat 2-luokan 1-luokan sijasta, koska rakenteita on enemmän. Pohjimmiltaan nämä ovat ryhmäpelejä, joissa on functors${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1}, {\ mathcal {G}} _ {0}}$

${\ displaystyle s, t: {\ mathcal {G}} _ {1} \ - {\ mathcal {G}} _ {0}}$

ja identiteettitoiminnon antama upotus

${\ displaystyle i: {\ mathcal {G}} _ {0} \ - {\ mathcal {G}} _ {1}}$

Yksi tapa ajatella näitä 2-ryhmätyyppejä on, että ne sisältävät esineitä, morfismeja ja neliöitä, jotka voivat koostua pystysuoraan ja vaakasuoraan. Esimerkiksi annetut neliöt

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ to & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \ end {matrix}}}$ ja ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ to & \ bullet \ end {matrix}}}$

kanssa samalla morfismi, ne voidaan pystysuoraan yhdistyivät antaa kaavio${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ bullet & \ to & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ xrightarrow {a} & \ bullet \\\ downarrow && \ downarrow \\\ bullet & \ & \ bullet \ end {matrix}}}$

joka voidaan muuntaa toiseksi neliöksi kirjoittamalla pystysuorat nuolet. Neliöiden vaakasuuntaisia ​​kiinnityksiä varten on samanlainen koostumuslaki.

Ryhmät geometrisilla rakenteilla

Kun tutkitaan geometrisia esineitä, syntyvillä ryhmätyypeillä on usein topologia , mikä muuttaa ne topologisiksi ryhmiksi tai jopa erottuvaksi rakenteeksi ja muuttaa ne Lie -ryhmäksi . Näitä viimeisiä kohteita voidaan tutkia myös niihin liittyvien Lie algebroidien suhteen , analogisesti Lie -ryhmien ja Lie algebras -suhteiden kanssa .

Geometriasta johtuvilla ryhmätyypeillä on usein muita rakenteita, jotka ovat vuorovaikutuksessa ryhmäpoikkeaman kanssa. Esimerkiksi Poisson -geometriassa on käsite symplektisestä ryhmästä , joka on Lie -ryhmä, jolla on yhteensopiva symplektinen muoto . Samoin voi olla ryhmät, joilla on yhteensopiva Riemannin metriikka tai monimutkainen rakenne jne.

Katso myös

• Ryhmämainen kotomologia
• ∞-ryhmä
• 2-ryhmä
• Homotopy -tyyppinen teoria
• Käänteinen luokka
• Ryhmäalgebra (ei pidä sekoittaa algebralliseen ryhmätyyppiin )
• R-algebroid

Huomautuksia

Viitteet

• Brandt, H (1927), "Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes", Mathematische Annalen , 96 (1): 360–366, doi : 10.1007/BF01209171 , S2CID  119597988
• Brown, Ronald, 1987, " Ryhmistä ryhmiin: lyhyt kysely ", Bull. Lontoon matematiikka. Soc. 19 : 113-34. Tarkastaa ryhmäloidien historiaa vuoteen 1987 asti, alkaen Brandtin työstä toisen asteen muodoissa. Ladattava versio päivittää monet viitteet.
• -, 2006. Topologia ja ryhmähoidot. Kirjakauppa. Aiemmin vuosina 1968 ja 1988 julkaistun kirjan tarkistettu ja laajennettu painos. Groupoidit esitetään niiden topologisen sovelluksen yhteydessä.
• -, korkeamman ulottuvuuden ryhmäteoria selitetään miten groupoid käsite on johtanut korkeamman ulottuvuuden Homotopia groupoids, jolla sovelluksia Homotopia teorian ja ryhmässä Kohomologia . Paljon viittauksia.
• Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), Ryhmä, jonka vapaan ryhmän injektioperäisten endomorfismien perhe on vahvistanut , Mathematical Surveys and Monographs, 195 , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0564-0
• Dokuchaev, M .; Exel, R .; Piccione, P. (2000). "Osittaiset esitykset ja osittaiset ryhmäalgebrat". Journal of Algebra . Elsevier. 226 : 505–532. arXiv : matematiikka/9903129 . doi : 10.1006/jabr.1999.8204 . ISSN  0021-8693 . S2CID  14622598 .
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois -teoriat. Cambridgen yliopisto Lehdistö. Osoittaa, kuinka Galois -teorian yleistykset johtavat Galois -ryhmään .
• Cannas da Silva, A. ja A. Weinstein , Geometriset mallit ei -kommutatiivisille algebroille. Erityisesti osa VI.
• Golubitsky, M. , Ian Stewart, 2006, " Verkkojen epälineaarinen dynamiikka: ryhmämuodostus ", Bull. Amer. Matematiikka. Soc. 43 : 305-64
• "Groupoid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Higgins, PJ, " Ryhmien kuvaajan perusryhmä ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145 - 149.
• Higgins, PJ ja Taylor, J., " Kiertoradan perustavanlaatuinen ryhmäpohja ja homotooppinen ristikompleksi ", kategoriateoriassa (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115 - 122.
• Higgins, PJ, 1971. Luokat ja ryhmät. Van Nostrandin muistiinpanoja matematiikassa. Julkaistu uudelleen julkaisussa Reprints in Theory and Applications of Categories , nro 7 (2005), s. 1–195; vapaasti ladattavissa . Merkittävä johdanto luokka -teoriaan painottaen erityisesti ryhmäpoikkeuksia. Esittelee ryhmäteorioiden sovelluksia ryhmäteoriassa, esimerkiksi Grushkon lauseen yleistykseen , ja topologiassa, esim. Perusryhmä .
• Mackenzie, KCH, 2005. Valheiden ryhmä- ja algebroidien yleinen teoria. Cambridgen yliopisto Lehdistö.
• Weinstein, Alan, " Groupoids: yhdistävä sisäinen ja ulkoinen symmetria - Kiertue joitain esimerkkejä. " Saatavana myös Postscriptissä. , Notices of the AMS, heinäkuu 1996, s. 744–752.
• Weinstein, Alan, " The Geometry of Momentum " (2002)
• RT Zivaljevic. "Ryhmittelyt kombinatorikassa - paikallisen symmetrian teorian sovelluksia". In Algebrallinen ja geometrinen kombinatoriikka , tilavuus 423 Contemp. Matematiikka , 305–324. Amer. Matematiikka. Soc., Providence, RI (2006)
• perustavanlaatuinen groupoid vuonna nLab
• ydin on nLab