Käänteinen puoliryhmä - Inverse semigroup

On ryhmä Teoriassa käänteinen puoliryhmä (joskus kutsutaan inversio puoliryhmä ) S on puoliryhmä , jossa jokainen elementti x on S on ainutlaatuinen käänteinen y on S siinä mielessä, että x = xyx ja y = YXY , eli säännöllinen puoliryhmä , jossa jokaisella elementillä on ainutlaatuinen käänteisarvo. Käänteisiä puoliryhmiä esiintyy monissa yhteyksissä; niitä voidaan esimerkiksi käyttää osittaisten symmetrioiden tutkimuksessa .

(Tässä artikkelissa noudatetaan yleissopimusta funktion kirjoittamisesta argumentin oikealle puolelle, esim. Xf eikä f (x) , ja funktioiden kirjoittamista vasemmalta oikealle - käytäntö, jota usein noudatetaan puoliryhmäteoriassa.)

Alkuperät

Käänteinen semigroups otettiin käyttöön itsenäisesti Viktor Vladimirovich Wagnerin että Neuvostoliitossa vuonna 1952, ja Gordon Preston on Yhdistyneessä kuningaskunnassa vuonna 1954. Molemmat kirjoittajat saapui käänteinen semigroups kautta tutkimuksen osittaisen bijections on asetettu a osittainen muutos α joukko X on funktio päässä ja B , jossa ja B ovat osajoukkoja X . Olkoon α ja β joukon X osamuunnoksia ; α ja β voidaan muodostaa (vasemmalta oikealle) suurimmalle alueelle , jolle on "järkevää" koota ne:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {dom} \ alfa \ beta = [\ operaattorinimi {im} \ alfa \ cap \ operaationimi {dom} \ beta] \ alfa ^{-1} \,}$

jossa α ^-1 merkitsee preimage alle  α . Osittaisia ​​muunnoksia oli jo tutkittu pseudoryhmien yhteydessä . Wagner oli kuitenkin ensimmäinen, joka havaitsi, että osittaisten muunnosten koostumus on binäärisuhteiden koostumuksen erityistapaus . Hän tunnisti myös, että kahden osamuunnoksen koostumuksen alue voi olla tyhjä joukko , joten hän otti käyttöön tyhjän muunnoksen tämän huomioon ottamiseksi. Kun tämä tyhjä muunnos lisätään, joukon osamuunnosten koostumuksesta tulee kaikkialla määritelty assosiatiivinen binaarinen operaatio . Tässä kokoonpanossa kokoelma joukon X kaikkia osittaisia ​​yksi-yksi -muunnoksia muodostaa käänteisen puoliryhmän, jota kutsutaan symmetriseksi käänteispuoliryhmäksi (tai monoidiksi) X: ssä , ja funktionaalinen käänteinen käänteinen määritetään kuvasta alueeseen (vastaavasti käänteissuhde ). Tämä on "arkkityyppinen" käänteinen puoliryhmä samalla tavalla kuin symmetrinen ryhmä on arkkityyppinen ryhmä . Esimerkiksi kuten jokainen ryhmä voidaan upottaa symmetriseen ryhmään , jokainen käänteinen puoliryhmä voidaan upottaa symmetriseen käänteiseen puoliryhmään (katso § Homomorfismit ja käänteisten puoliryhmien esitykset alla). ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {X}}$

Perusteet

Käänteisen puoliryhmän S elementin x käänteinen kirjoitetaan yleensä x ⁻¹ . Käänteispuoliryhmän käänteisillä on monia samoja ominaisuuksia kuin ryhmän käänteisillä , esimerkiksi ( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹ . Käänteisessä monoidi , xx ^-1 ja x ^-1 x ei välttämättä yhtä identiteettiä, mutta ne ovat molemmat idempotentti . Käänteinen monoidi S , jossa xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x , kaikille x : lle S: ssä ( yksipuolinen käänteismonoidi), on tietysti ryhmä .

Käänteisellä puoliryhmällä S on useita vastaavia karakterisointeja :

• Jokaisella S: n elementillä on ainutlaatuinen käänteinen, yllä olevassa mielessä.
• Jokainen osa S on ainakin yksi käänteinen ( S on säännöllinen puoliryhmä ) ja idempotents kulkevat (eli idempotents ja S muodostavat semilattice ).
• Jokainen luokka ja jokainen luokka sisältää täsmälleen yhden idempotentin , missä ja ovat kaksi Greenin suhdetta .${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Idempotentti että luokan ja s on s ^-1 s , kun taas idempotentti että luokan ja s on ss ^-1 . Siksi on olemassa yksinkertainen kuvaus Greenin suhteista käänteisessä puoliryhmässä: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle a \, {\ mathcal {L}} \, b \ Longleftrightarrow a^{-1} a = b^{-1} b, \ quad a \, {\ mathcal {R}} \, b \ Pitkävasenoikea nuoli aa^{-1} = bb^{-1}}$

Ellei toisin mainita, E (S) merkitsee käänteisen puoliryhmän S idempotenttien semilatticea .

Esimerkkejä käänteisistä puoliryhmistä

• Osittainen bijections on joukko X muodostaa käänteisen puoliryhmä alle koostumus.
• Jokainen ryhmä on käänteinen puoliryhmä.
• Bisyklinen puoliryhmä on käänteinen, ja ( , b ) ^-1 = ( b , ).
• Jokainen semilattice on käänteinen.
• Brandt puoliryhmä on käänteinen.
• Munn puoliryhmä on käänteinen.

Esimerkki kertotaulukosta. Se on assosiatiivinen ja jokaisella elementillä on oma käänteisarvo aba = a, bab = b mukaan. Sillä ei ole identiteettiä eikä se ole kommutoivaa.

Käänteinen puoliryhmä

&	a	b	c	d	e
a	a	a	a	a	a
b	a	b	c	a	a
c	a	a	a	b	c
d	a	d	e	a	a
e	a	a	a	d	e

Luonnollinen osittainen järjestys

Käänteisellä puoliryhmällä S on luonnollinen osajärjestyssuhde ≤ (joskus merkitty ω: llä), joka määritellään seuraavasti:

${\ displaystyle a \ leq b \ Longleftrightarrow a = eb,}$

joillekin idempotentille e : lle S: ssä . Vastaavasti,

${\ displaystyle a \ leq b \ Longleftrightarrow a = bf,}$

joidenkin (yleensä eri) idempotentti f on S . Itse asiassa, e voidaan ottaa olla aa ^-1 ja f on ^-1 .

Luonnollinen osittainen järjestys on yhteensopiva sekä kertomisen että kääntämisen kanssa, ts.

${\ displaystyle a \ leq b, c \ leq d \ Longrightarrow ac \ leq bd}$

ja

${\ displaystyle a \ leq b \ Longrightarrow a^{-1} \ leq b^{-1}.}$

On ryhmä , tämä osittainen jotta yksinkertaisesti vähentää tasa, koska henkilöllisyys on vain idempotentti . Symmetrisessä käänteisessä puoliryhmässä osittainen järjestys supistuu kuvausten rajoittamiseen, ts. Α ≤ β, jos ja vain jos α: n domeeni sisältyy β -domeeniin ja x α = x β, kaikille x verkkotunnukselle α: sta.

Käänteisen puoliryhmän luonnollinen osajärjestys on vuorovaikutuksessa Greenin suhteiden kanssa seuraavasti: jos s ≤ t ja s t , niin s = t . Samoin, jos s t . ${\ displaystyle \, {\ mathcal {L}} \,}$${\ displaystyle \, {\ mathcal {R}} \,}$

On E (S) , luonnollinen osittainen järjestys tulee:

${\ displaystyle e \ leq f \ Longleftrightarrow e = ef,}$

niin, koska idempotentit muodostavat puolijohdon tuotteen toiminnassa, E (S): n tuotteet antavat vähiten ylärajat suhteessa ≤.

Jos E (S) on äärellinen ja muodostaa ketju (eli E (S) on täysin järjestetty mukaan ≤), niin S on liitto on ryhmiä . Jos E (S) on ääretön ketju, on mahdollista saada analoginen tulos lisähypoteeseilla S ja E (S).

Homomorfismit ja käänteisten puoliryhmien esitykset

Homomorfismi (tai morfismi ) käänteisen semigroups on määritelty täsmälleen samalla tavalla kuin mikä tahansa muu puoliryhmä: käänteisen semigroups S ja T , joka on funktio θ välillä S ja T on morfismi jos ( sθ ) ( tθ ) = ( s ) θ , kaikki s , t on S . Käänteisten puoliryhmien morfismin määritelmää voitaisiin täydentää sisällyttämällä ehto ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θ , mutta sitä ei tarvitse tehdä, koska tämä ominaisuus seuraa yllä olevasta määritelmästä seuraavan lauseen avulla:

Lause. Käänteisen puoliryhmän homomorfinen kuva on käänteinen puoliryhmä; elementin käänteisarvo on aina yhdistetty kyseisen elementin kuvan käänteiseen .

Yksi varhaisimmista Tulokset osoittivat noin käänteinen semigroups oli Wagner-Preston lauseen , joka on analoginen cayleyn lause varten ryhmille :

Wagner -Preston -lause. Jos S on käänteinen puoliryhmä, niin funktio φ välillä S ja , antama ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {S}}$

dom ( a φ) = Sa ⁻¹ ja x ( a φ) = xa

on uskollinen esitys on S .

Siten mikä tahansa käänteinen puoliryhmä voidaan upottaa symmetriseen käänteiseen puoliryhmään, ja kuva suljetaan käänteisoperaation aikana osittaisilla leikkauksilla. Päinvastoin, mikä tahansa symmetrisen käänteisen puoliryhmän alaryhmä, joka on suljettu käänteisoperaation alla, on käänteinen puoliryhmä. Näin ollen puoliryhmä S on isomorfinen symmetrisen käänteisen puoliryhmän aliryhmälle, joka on suljettu käänteisillä alueilla vain ja ainoastaan ​​silloin, kun S on käänteinen puoliryhmä.

Onnittelut käänteisille puoliryhmille

Kongruenssit määritellään käänteisissä puoliryhmissä täsmälleen samalla tavalla kuin muillakin puoliryhmillä: kongruenssi ρ on ekvivalenssisuhde, joka on yhteensopiva puoliryhmän kertomisen kanssa, ts.

${\ displaystyle a \, \ rho \, b, \ quad c \, \ rho \, d \ Longrightarrow ac \, \ rho \, bd.}$

Erityisen mielenkiintoista on suhde , jonka käänteinen puoliryhmä S määrittelee ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle a \, \ sigma \, b \ Longleftrightarrow}$on olemassa kanssa${\ displaystyle c \ in S}$${\ displaystyle c \ leq a, b.}$

Voidaan osoittaa, että σ on kongruenssi ja itse asiassa se on ryhmän kongruenssi , mikä tarkoittaa, että tekijä puoliryhmä S / σ on ryhmä. Kaikkien ryhmäryhmien S -puoliryhmän S joukossa minimielementin (joukkojen sisällyttämisellä määritetyn osittaisen järjestyksen) ei tarvitse olla pienin elementti. Erityistapauksessa, jossa S on käänteinen puoliryhmä, σ on pienin yhdenmukaisuus S: llä siten, että S / σ on ryhmä, toisin sanoen, jos τ on jokin muu S : n yhtymäkohta S / τ -ryhmän kanssa, σ sisältyy τ . Yhdenmukaisuutena σ kutsutaan vähintään ryhmä congruence on S . Vähimmäisryhmien yhdenmukaisuutta voidaan käyttää karakterisoimaan E -yksikön käänteisiä puoliryhmiä (katso alla).

Käänteisen puoliryhmän S kongruenssia ρ kutsutaan idempotentiksi puhtaana, jos

${\ displaystyle a \ in S, e \ in E (S), a \, \ rho \, e \ Longrightarrow a \ in E (S).}$

E -yksikön käänteiset puoliryhmät

Yksi luokka käänteinen semigroups, jota on tutkittu laajasti viime vuosina on luokan E -unitary käänteinen semigroups: käänteisen puoliryhmä S (jossa on semilattice E on idempotents ) on E - yhtenäinen , jos kaikissa e kohteessa E , ja kaikki s on S ,

${\ displaystyle es \ in E \ Longrightarrow s \ in E.}$

Vastaavasti,

${\ displaystyle se \ in E \ Rightarrow s \ in E.}$

Yksi edelleen karakterisointiin E -unitary käänteinen puoliryhmä S on seuraava: jos e on E ja e ≤ s , joidenkin s on S , niin s on E .

Lause. Olkoon S käänteinen puoliryhmä, jossa on idempotenttien semilattice E ja minimiryhmän yhdenmukaisuus σ . Sitten seuraavat vastaavat:

• S on E -yksikkö;
• σ on idempotentti puhdas;
• ${\ displaystyle \ sim}$= σ ,

jossa on yhteensopivuus suhde on S , on määritelty ${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle a \ sim b \ Longleftrightarrow ab^{-1}, a^{-1} b}$ ovat idempotentteja.

McAlisterin kattava lause. Jokaisessa käänteisessä puoliryhmässä S on E-yksikkökansi; että on olemassa idempotentti, joka erottaa surjektiivisen homomorfismin joistakin E-yksikköpuoliryhmästä T S.

Keskeinen E -yksikön käänteisten puoliryhmien tutkimuksessa on seuraava rakenne. Antaa olla osittain järjestetty joukko , jossa tilaus ≤, ja anna olla osajoukko on kanssa ominaisuuksia, ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$on alempi semilattice , eli jokaisella elementtiparilla A , B in on suurin alaraja A B in (suhteessa ≤);${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$ ${\ displaystyle \ kiila}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$on järjestys ihanteellinen on , että on, sillä , B on , jos on ja B ≤ , niin B on .${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$

Nyt G on ryhmä, joka toimii päälle (vasemmalla), siten, että ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

• Kaikkien g kohteessa G ja kaikki , B on , gA = gB , jos, ja vain jos, = B ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$
• kullekin g : lle G: lle ja jokaiselle B : lle on olemassa A siten , että gA = B ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$
• kaikille A , B in , A ≤ B jos ja vain jos gA ≤ gB ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$
• Kaikkien g , h on G ja kaikki in , g ( hA ) = ( gh ) .${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Kolmikolla oletetaan myös olevan seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

• jokainen X on , on olemassa g on G ja sisään siten, että gA = X ;${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$
• kaikille g : lle G , g ja niillä on tyhjä leikkaus.${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$

Tällaista kolminkertaista kutsutaan McAlister -kolminkertaiseksi . McAlister -kolminkertaista käytetään seuraavien määrittämiseen: ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

${\ displaystyle P (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}}) = \ {(A, g) \ in {\ mathcal {Y}} \ kertaa G: g^{-1} A \ {matematiikassa {Y}} \}}$

yhdessä kertomisen kanssa

${\ displaystyle (A, g) (B, h) = (A \ kiila gB, gh)}$.

Sitten on käänteinen puoliryhmä tämän kertolasku, jossa on ( , g ) ^-1 = ( g ^-1 , g ^-1 ). Yksi tärkeimmistä tuloksista E -yksikön käänteisten puoliryhmien tutkimuksessa on McAlisterin P -lause : ${\ displaystyle P (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

McAlisterin P-lause. Olkoon McAlister -kolminkertainen. Sitten on E -yksikkö käänteinen puoliryhmä. Päinvastoin, jokainen E -yksikön käänteinen puoliryhmä on isomorfinen jollekin tämän tyyppiselle. ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$${\ displaystyle P (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$

F -käänteiset puoliryhmät

Käänteisen puoliryhmän sanotaan olevan F -käänteinen, jos jokaisen elementin yläpuolella on ainutlaatuinen maksimielementti luonnollisessa osittaisessa järjestyksessä, eli jokaisella σ -luokalla on maksimielementti. Jokainen F -käänteinen puoliryhmä on E -yksikkö. MV Lawson on parantanut McAlisterin kattavaa teoriaa seuraavasti:

Lause. Jokaisessa käänteisessä puoliryhmässä on F -käänteinen kansi.

McAlisterin P -lause on käytetty myös F -käänteisten puoliryhmien karakterisointiin . McAlister kolminkertainen on F -inverse Puoliryhmä jos ja vain jos on pääasiallinen ihanne ja on semilattice. ${\ displaystyle (G, {\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {Y}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Vapaat käänteiset puoliryhmät

Vapaan ryhmän kaltainen rakenne on mahdollista käänteisille puoliryhmille. Esitys vapaan käänteisen puoliryhmä joukkoon X , voidaan saada ottamalla huomioon vapaa puoliryhmä kanssa involuution , jossa kiertyminen on ottaminen käänteinen, ja sitten kun osamäärä , jonka Vagner congruence

${\ displaystyle \ {(xx^{-1} x, x), \; (xx^{-1} yy^{-1}, yy^{-1} xx^{-1}) \; | \ ; x, y \ in (X \ cup X^{-1})^{+} \}.}$

Sana ongelma ilmaiseksi käänteisen semigroups on paljon monimutkaisemman kuin vapaiden ryhmien. Tunnettu tulos tällä alueella WD Munnin ansiosta, joka osoitti, että vapaan käänteisen puoliryhmän elementtejä voidaan luonnollisesti pitää puina, joita kutsutaan Munn -puiksi. Kertoamisella vapaassa käänteisessä puoliryhmässä on kirjeenvaihtaja Munn -puissa , joka koostuu olennaisesti puiden yhteisistä osista päällekkäin. (katso lisätietoja Lawson 1998)

Mikä tahansa vapaa käänteinen puoliryhmä on F -käänteinen.

Yhteydet kategoriateoriaan

Yllä oleva joukon osamuunnosten koostumus synnyttää symmetrisen käänteisen puoliryhmän. On olemassa toinenkin tapa muodostaa osittaisia ​​muunnoksia, jotka ovat rajoittavampia kuin edellä käytetty: kaksi osamuunnosta a ja β muodostetaan vain ja vain, jos α: n kuva on yhtä suuri kuin β: n domeeni ; muuten koostumus aβ on määrittelemätön. Tämän vaihtoehtoisen koostumuksen mukaan joukon kaikkien osittaisten yksi-yhden muunnosten kokoelma ei muodosta käänteistä puoliryhmää vaan induktiivista ryhmätyyppiä kategoriateorian merkityksessä . Tämä tiivis yhteys käänteisten puoliryhmien ja induktiivisten ryhmien välillä ilmentyy Ehresmann – Schein – Nambooripad -lauseessa , jonka mukaan induktiivinen ryhmä voidaan aina rakentaa käänteisestä puoliryhmästä ja päinvastoin. Tarkemmin sanottuna, käänteinen Puoliryhmä on nimenomaan groupoid kategoriassa Posets joka on Etale groupoid suhteessa sen (dual) Alexandrov rakenteeseen ja jonka poset kohteiden on tapaaminen semilattice.

Käänteisten puoliryhmien yleistykset

Kuten edellä mainittiin, käänteisen puoliryhmä S voidaan määritellä ehdot (1) S on säännöllinen puoliryhmä , ja (2) idempotents on S kulkevat; tämä on johtanut kahteen erilliseen käänteisen puoliryhmän yleistysluokkaan: puoliryhmiin, joissa (1) pätee, mutta (2) ei, ja päinvastoin.

Esimerkkejä käänteisen puoliryhmän säännöllisistä yleistyksistä ovat:

• Säännölliset puoliryhmät : puoliryhmä S on säännöllinen, jos jokaisella elementillä on vähintään yksi käänteisosa; vastaavasti, kunkinon S , on x on S siten, että axa =.
• Paikallisesti käänteiset puoliryhmät : tavallinen puoliryhmä S on paikallisesti käänteinen, jos eSe on käänteinen puoliryhmä, jokaiselle idempotentille e .
• Ortodoksiset puoliryhmät : tavallinen puoliryhmä S on ortodoksinen, jos sen idempotenttien osajoukko muodostaa alaryhmän.
• Yleistetyt käänteiset puoliryhmät : Säännöllistä puoliryhmää S kutsutaan yleistetyksi käänteiseksi puoliryhmäksi, jos sen idempotentit muodostavat normaalikaistan, eli xyzx = xzyx , kaikille idempotenteille x , y , z .

Luokka yleisen käänteisen semigroups on leikkauspiste luokan paikallisesti käänteinen semigroups ja luokan oikeaoppisen semigroups.

Käänteisen puoliryhmän epäsäännöllisten yleistysten joukossa ovat:

• (Vasen, oikea, kaksipuolinen) riittävät puoliryhmät.
• (Vasen, oikea, kaksipuolinen) runsaasti puoliryhmiä.
• (Vasen, oikea, kaksipuolinen) puoliautomaattiset puoliryhmät.
• Heikosti (vasen, oikea, kaksipuolinen) runsaasti puoliryhmiä.

Käänteinen luokka

Tämä käänteiskäsitys yleistyy helposti myös luokkiin . Käänteinen luokka on yksinkertaisesti luokka, jossa jokainen morfismi f  : X → Y on yleisen käänteinen g  : Y → X siten, että fgf = f ja GFG = g . Käänteinen luokka on itsedual . Joukkojen ja osittaisten katkelmien luokka on hyvä esimerkki.

Käänteisluokat ovat löytäneet erilaisia ​​sovelluksia teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä .

Katso myös

Huomautuksia

Viitteet

• Clifford, AH; Preston, GB (1967). Puoliryhmien algebrallinen teoria . American Mathematical Societyn matemaattiset kyselyt. 7 . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, JB (1979). "Riittävät puoliryhmät" . Edinburghin matemaattisen seuran julkaisut . 22 (2): 113–125. doi : 10.1017/S0013091500016230 .
• Gołab, St. (1939). "Über den Begriff der" Pseudogruppe von Transformationen " ". Mathematische Annalen (saksaksi). 116 : 768-780. doi : 10.1007/BF01597390 .
• Exel, R. (1998). "Ryhmien osittaiset toimet ja käänteisten puoliryhmien toimet". American Mathematical Societyn julkaisut . 126 (12): 3481-4. arXiv : funct-an/9511003 . doi : 10.1090/S0002-9939-98-04575-4 .
• Gould, V. "(heikosti) jätti E-runsaasti puoliryhmiä" . Arkistoitu alkuperäisestä (Postscript) 26.8.2005 . Haettu 2006-08-28 .
• Howie, JM (1995). Puoliryhmäteorian perusteet . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Lawson, MV (1998). Käänteiset puoliryhmät: Osittaisten symmetrioiden teoria . World Scientific. ISBN 9810233167.
• McAlister, DB (1974a). "Ryhmät, semilattices ja käänteiset puoliryhmät". American Mathematical Societyn tapahtumat . 192 : 227–244. doi : 10.2307/1996831 . JSTOR  1996831 .
• McAlister, DB (1974b). "Ryhmät, semilattices ja käänteiset puoliryhmät II" . American Mathematical Societyn tapahtumat . 196 : 351–370. doi : 10.2307/1997032 . JSTOR  1997032 .
• Petrich, M. (1984). Käänteiset puoliryhmät . Wiley. ISBN 0471875457.
• Preston, GB (1954a). "Käänteiset puoliryhmät". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 396–403. doi : 10.1112/jlms/s1-29.4.396 .
• Preston, GB (1954b). "Käänteiset puoliryhmät, joilla on minimaaliset oikeat ihanteet". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 404–411. doi : 10.1112/jlms/s1-29.4.404 .
• Preston, GB (1954c). "Käänteisten puoliryhmien esitykset". Journal of the London Mathematical Society . 29 (4): 411–9. doi : 10.1112/jlms/s1-29.4.411 .
• Schein, BM (1981). "Kuolinilmoitus: Viktor Vladimirovitš Vagner (1908–1981)". Puoliryhmän foorumi . 28 : 189–2002. doi : 10.1007/BF02676643 .
• Schein, BM (2002). "Kirjan arvostelu:" Käänteiset puoliryhmät: osittaisten symmetrioiden teoria ", Mark V. Lawson". Puoliryhmän foorumi . 65 : 149–158. doi : 10.1007/s002330010132 .
• Wagner, VV (1952). "Yleiset ryhmät". Neuvostoliiton tiedeakatemian artikkelit (venäjäksi). 84 : 1119–1122. Englanninkielinen käännös (PDF)
• Wagner, VV (1953). "Yleistettyjen kasojen ja yleistettyjen ryhmien teoria". Matematicheskii Sbornik . Novaja Seriya (venäjäksi). 32 (74): 545–632.

Lue lisää

• Lyhyt johdanto käänteisiin puoliryhmiin, katso Clifford & Preston 1967 , luku 7 tai Howie 1995 , luku 5.
• Kattavammat esittelyt löytyvät julkaisuista Petrich 1984 ja Lawson 1998 .
• Linckelmann, M. (2012). "Käänteisistä luokista ja siirrosta kotitekniikassa" (PDF) . Edinburghin matemaattisen seuran julkaisut . 56 : 187. doi : 10.1017/S0013091512000211 . Avoimen pääsyn esipainatus