Analyyttinen toiminto - Analytic function

Vuonna matematiikassa , An analyyttinen funktio on funktio , joka on paikallisesti antama convergent potenssisarjaksi . On olemassa sekä todellisia analyyttisiä toimintoja että monimutkaisia analyyttisiä toimintoja . Kunkin tyyppiset toiminnot ovat äärettömän eroteltavissa , mutta monimutkaisilla analyyttisilla toiminnoilla on ominaisuuksia, jotka eivät yleensä päde todellisiin analyyttisiin toimintoihin. Funktio on analyyttinen vain ja vain, jos sen noin x _0: n Taylor-sarja lähenee funktion joillakin naapurustoilla jokaiselle toimialueellaan olevalle x ₀ : lle .

Määritelmät

Muodollisesti toiminto on todellinen analyyttinen koskevasta avoimessa joukossa on reaaliakselilla jos jostain voi kirjoittaa ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ D: ssä}$

{\ displaystyle f (x) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ vasen (x-x_ {0} \ oikea) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1 } (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + a_ {3} (x-x_ {0}) ^ {3} + \ cdots}

jossa kertoimet ovat reaalilukuja ja sarja on suppeneva ja varten , joka on lähellä . ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ pisteet}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$

Vaihtoehtoisesti todellinen analyyttinen toiminto on äärettömän erilainen toiminto siten, että Taylor-sarja missä tahansa toimialueellaan ${\ displaystyle x_ {0}}$

{\ displaystyle T (x) = \ summa _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0 }) ^ {n}}

suppenee varten naapurustossa pistemäinen . Tietyn joukon kaikkien todellisten analyyttisten toimintojen joukkoa merkitään usein . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle C ^ {\, \ omega} (D)}$

Reaalilinjan jossakin osajoukossa määritellyn funktion sanotaan olevan todellinen analyyttinen pisteessä, jos on naapurusto , josta on todellinen analyyttinen. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f}$

Monimutkaisen analyyttisen funktion määritelmä saadaan korvaamalla yllä olevissa määritelmissä "todellinen" "monimutkaisella" ja "todellinen viiva" "monimutkaisella tasolla". Funktio on monimutkainen analyyttinen vain ja vain, jos se on holomorfinen eli se on monimutkainen erottuva. Tästä syystä termejä "holomorfinen" ja "analyyttinen" käytetään usein vaihdettavasti tällaisiin toimintoihin.

Esimerkkejä

Tyypillisiä esimerkkejä analyyttisistä toiminnoista ovat:

Kaikki perustoiminnot :
- Kaikki polynomit : jos polynomin aste n , minkä tahansa niiden asteen mukaan suurempi kuin n sen Taylorin sarjan laskenta on välittömästi kadota 0, ja niin tämä sarja on triviaalisti konvergentti. Lisäksi jokainen polynomi on oma Maclaurin-sarja .
- Eksponentiaalinen funktio on analyyttinen. Kaikki tämän toiminnon Taylor-sarjat yhtyvät paitsi x: lle, joka on riittävän lähellä arvoa x ₀ (kuten määritelmässä), myös kaikille x: n arvoille (todellinen tai monimutkainen).
- Trigonometriset funktiot , logaritmi , ja teho toiminnot ovat analyyttisiä jossain avoimessa joukko verkkotunnuksesta.
Useimmat erikoistoiminnot (ainakin joillakin monimutkaisen tason alueilla):

Tyypillisiä esimerkkejä toiminnoista, jotka eivät ole analyyttisiä, ovat:

Absoluuttinen arvo toiminto, kun määritellään joukko todellisia lukuja tai kompleksilukuja ei ole kaikkialla analyyttinen koska se ei ole differentioituva 0 ° paloittain määritetty toimintoja (toiminnot annetaan eri kaavojen eri alueilla) eivät yleensä ole analyyttinen jossa palat kohtaavat.
Kompleksikonjugaatti funktio z → z * ei ole monimutkainen analyyttinen, vaikka sen rajoitus reaaliakselilla on identiteettifunktio ja siksi todellinen analyyttinen, ja se on todellinen analyyttinen kuin toiminto ja . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$
Muut ei-analyyttiset sujuvat toiminnot , etenkään mikään tasainen toiminta, jossa on kompakti tuki , ei voi olla analyyttinen . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f \ sisään C_ {0} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Vaihtoehtoiset kuvaukset

Seuraavat ehdot vastaavat:

${\ displaystyle f}$ on todellinen analyyttinen avoimessa sarjassa . ${\ displaystyle D}$
On monimutkainen analyyttinen laajennus avoimeen joukkoon, joka sisältää . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle G \ osajoukko \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle D}$
${\ displaystyle f}$ on todellinen sileä ja jokaiselle kompaktille joukolle on olemassa vakio sellainen, että seuraava sidottu pätee jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle ${\ displaystyle K \ osajoukko D}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle x \ muodossa K}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) \ right | \ leq C ^ {k + 1} k!}$

Monimutkaiset analyyttiset toiminnot vastaavat täsmälleen holomorfisia toimintoja ja ovat siten paljon helpommin karakterisoitavissa.

Analyyttisen funktion tapauksessa, jossa on useita muuttujia (katso alla), todellinen analyyttisyys voidaan luonnehtia käyttämällä Fourier – Bros – Iagolnitzer-muunnosta .

Monivaihtelussa todelliset analyyttiset toiminnot tyydyttävät kolmannen karakterisoinnin suoran yleistämisen. Antaa olla avoin joukko, ja anna . ${\ displaystyle U \ osajoukko \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: U \ - \ mathbb {R}}$

Sitten on todellista analyyttistä, jos ja vain, jos jokaiselle kompaktille on olemassa vakio, niin että jokaiselle monihakemistolle seuraava sidottu pätee ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f \ muodossa C ^ {\ infty} (U)}$ ${\ displaystyle K \ subseteq U}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ alpha \ sisään \ mathbb {Z} _ {\ geq 0} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ sup _ {x \ muodossa K} \ vasen | {\ frac {\ osal ^ {\ alfa} f} {\ osittain x ^ {\ alfa}}} (x) \ oikea | \ leq C ^ { | \ alpha | +1} \ alfa!}

Analyyttisten toimintojen ominaisuudet

Analyyttisten toimintojen summat, tuotteet ja koostumukset ovat analyyttisiä.
Vastavuoroinen on analyyttinen funktio, joka ei ole missään nolla on analyyttinen, kuten on päinvastainen käännettävissä analyyttinen funktio jonka derivaatta ei ole missään nolla. (Katso myös Lagrangen inversiolause .)
Mikä tahansa analyyttinen toiminto on tasainen , toisin sanoen äärettömän erilainen. Päinvastoin ei päde todellisiin toimintoihin; itse asiassa tietyssä mielessä todelliset analyyttiset toiminnot ovat harvat verrattuna kaikkiin todellisiin äärettömän erilaistuviin toimintoihin. Kompleksiluvuille päinvastoin pätee , ja itse asiassa mikä tahansa toiminto, joka voidaan erottaa kerran avoimessa joukossa, on analyyttinen kyseiselle joukolle (katso alla "analyyttisyys ja erottuvuus").
Kaikille avoimille ryhmille Ω ⊆ C kaikkien analyyttisten toimintojen u : Ω → C joukko A (Ω) on Fréchet-tila suhteessa kompaktien joukkojen tasaiseen lähentymiseen. Se, että yhdenmukaiset rajoitukset pienikokoisille analyyttisten toimintojen ryhmille ovat analyyttisiä, on helppo seuraus Moreran lauseesta . Kaikkien rajattujen analyyttisten toimintojen joukko ylinormin kanssa on Banach-tila . ${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ infty} (\ Omega)}$

Polynomi ei voi olla nolla liian monessa pisteessä, ellei se ole nollapolynomi (tarkemmin sanottuna nollien lukumäärä on korkeintaan polynomin aste). Samanlainen, mutta heikompi lausuma pätee analyyttisiin toimintoihin. Jos analyyttisen funktion z nollasarjalla on kerääntymispiste toimialueensa sisällä , niin ƒ on nolla kaikkialla yhdistetyssä komponentissa, joka sisältää kertymispisteen. Toisin sanoen, jos ( r _n ) on sekvenssi erillisiä numeroita siten, että ƒ ( r _n ) = 0 kaikille n ja tämän sekvenssin suppenee pisteeseen r on verkkotunnuksen D , niin ƒ on identtisesti nolla kytketyn laitteen ja D sisältävät r . Tätä kutsutaan identiteettilauseeksi .

Lisäksi, jos kaikki analyyttisen funktion johdannaiset yhdessä pisteessä ovat nollia, funktio on vakio vastaavaan kytkettyyn komponenttiin.

Nämä lausunnot viittaavat siihen, että vaikka analyyttisillä toiminnoilla on enemmän vapausasteita kuin polynomeilla, ne ovat silti melko jäykkiä.

Analyyttisyys ja erotettavuus

Kuten edellä on mainittu, mikä tahansa analyyttinen funktio (reaali- tai kompleksiluku) on äärettömän differentioituva (tunnetaan myös sileä, tai C ^∞ ). (Huomaa, että tämä erotettavuus on todellisten muuttujien mielessä; vertaa alla olevia monimutkaisia johdannaisia.) On olemassa sileitä todellisia toimintoja, jotka eivät ole analyyttisiä: katso ei-analyyttinen sileä toiminto . Itse asiassa tällaisia toimintoja on monia.

Tilanne on aivan erilainen, kun otetaan huomioon monimutkaiset analyyttiset toiminnot ja monimutkaiset johdannaiset. Voidaan todistaa, että mikä tahansa monimutkainen toiminto, joka voidaan erottaa (monimutkaisessa mielessä) avoimessa joukossa, on analyyttinen . Näin ollen monimutkaisessa analyysissä termi analyyttinen toiminto on synonyymi holomorfiselle toiminnalle .

Real vs. monimutkaiset analyyttiset toiminnot

Todellisilla ja monimutkaisilla analyyttisilla toiminnoilla on merkittäviä eroja (voidaan huomata, että jopa niiden erilaisesta suhteesta erilaistuvuuteen). Monimutkaisten toimintojen analyyttisyys on rajoittavampi ominaisuus, koska sillä on tiukemmat välttämättömät olosuhteet ja monimutkaisilla analyyttisilla toiminnoilla on enemmän rakennetta kuin niiden reaalilinjoilla.

Mukaan Liouvillen lauseen , jokin joka rajoittuu monimutkainen analyyttinen funktio määritellään koko kompleksitasossa on vakio. Vastaava todellisten analyyttisten toimintojen lause, jossa kompleksitaso korvataan todellisella viivalla, on selvästi väärä; tätä havainnollistaa

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}.}

Myös, jos monimutkainen analyyttinen funktio on määritelty avoin pallo pisteen ympäri x ₀ , sen tehosarjalaajennusta nimellä x ₀ suppenee koko avoin pallo ( holomorphic toiminnot ovat analyyttinen ). Tämä toteamus todellista analyyttisten funktioiden (avoin pallo tarkoittaa avointa väli on reaaliakselilla pikemminkin kuin avoin levy kompleksitason) ei ole totta yleensä; Yllä olevan esimerkin toiminto antaa esimerkin x ₀ = 0 ja pallon, jonka säde ylittää 1, koska tehosarja 1 - x ² + x ⁴ - x ⁶ ... eroaa | x | ≥ 1.

Mikä tahansa todellinen analyyttinen toiminto jollakin reaalilinjan avoimella joukolla voidaan laajentaa monimutkaiseksi analyyttiseksi funktioksi jollakin kompleksisen tason avoimella joukolla. Kaikkia koko reaalilinjalla määriteltyjä todellisia analyyttisiä toimintoja ei kuitenkaan voida laajentaa koko kompleksisella tasolla määriteltyihin monimutkaisiin toimintoihin. Yllä olevassa kappaleessa määritelty funktio ƒ ( x ) on vasta-esimerkki, koska sitä ei ole määritelty arvolle x = ± i . Tämä selittää, miksi Taylorin ƒ ( x ) -sarja eroaa | x | > 1, ts . Konvergenssisäde on 1, koska kompleksoidulla funktiolla on napa etäisyydellä 1 arviointipisteestä 0 eikä mitään muita napoja säteen 1 avoimen levyn sisällä arviointipisteen ympärillä.

Useiden muuttujien analyyttiset toiminnot

Analyysitoiminnot voidaan määritellä useissa muuttujissa näiden muuttujien tehosarjojen avulla (katso tehosarjat ). Usean muuttujan analyyttisillä funktioilla on samat ominaisuudet kuin yhden muuttujan analyyttisilla toiminnoilla. Erityisesti monimutkaisten analyyttisten toimintojen kohdalla uusia ja mielenkiintoisia ilmiöitä esiintyy kuitenkin kahdessa tai useammassa monimutkaisessa ulottuvuudessa:

Monien monimutkaisten analyyttisten toimintojen nollasarjat eivät ole koskaan erillisiä . Tämä voidaan todistaa Hartogsin jatkolauseella .
Yksiarvoisten toimintojen holomorfia -alueet koostuvat mielivaltaisista (yhdistetyistä) avoimista sarjoista. Useissa monimutkaisissa muuttujissa kuitenkin vain jotkut yhdistetyt avoimet joukot ovat holomorfian domeeneja. Holomorfian domeenien luonnehdinta johtaa käsitteeseen pseudokupera .

Katso myös

Huomautuksia

Viitteet

Conway, John B. (1978). Toiminnot Yksi kompleksimuuttujana minä . Matematiikan valmistuneet tekstit 11 (2. painos). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
Krantz, Steven ; Parks, Harold R. (2002). Todellisten analyyttisten toimintojen alusta (2. painos). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.

Languages

In other projects