Functor de imagen inverso - Inverse image functor

En matemáticas, específicamente en topología algebraica y geometría algebraica , un functor de imagen inverso es una construcción contravariante de haces ; aquí “contravariant” en el sentido que le da un mapa , la imagen inversa funtor es un funtor de la categoría de haces en Y a la categoría de haces en X . El funtor de imagen directo es la operación principal en poleas, con la definición más simple. La imagen inversa exhibe algunas características relativamente sutiles. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

Functores de imagen para gavillas
imagen directa f ∗
imagen inversa f ∗
imagen directa con soporte compacto f !
excepcional imagen inversa Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Teoremas de cambio de base
v t mi

Definición

Supongamos que se nos da un fajo de y que queremos transporte a utilizar una función continua . ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$

Llamaremos al resultado imagen inversa o haz de retroceso . Si intentamos imitar la imagen directa configurando ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

para cada conjunto abierto de , inmediatamente nos encontramos con un problema: no es necesariamente abierto. Lo mejor que podemos hacer es aproximarlo por conjuntos abiertos, e incluso así obtendremos una gavilla y no una gavilla. En consecuencia, definimos como la gavilla asociada a la presheaf : ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Aquí hay un subconjunto abierto de y colimit se ejecuta sobre todos los subconjuntos abiertos de que contiene ). ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f (U)}$

Por ejemplo, si es solo la inclusión de un punto de , entonces es solo el tallo de en este punto. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathcal {F}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Los mapas de restricción, así como la functoriality de la imagen inversa de la siguiente propiedad universal de los límites directos .

Cuando se trata de morfismos de espacios anillados localmente , por ejemplo, esquemas de geometría algebraica , a menudo se trabaja con haces de módulos -donde se encuentra el haz de estructura . Entonces el functor es inapropiado, porque en general ni siquiera da haces de -módulos. Para remediar esto, se define en esta situación para un haz de módulos su imagen inversa por ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Propiedades

• Si bien es más complicado de definir que , los tallos son más fáciles de calcular: dado un punto , uno tiene .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f _ {\ ast}}$${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} \ cong {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$es un funtor exacto , como puede verse en el cálculo anterior de los tallos.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$es (en general) solo correcto exacto. Si es exacta, f se llama plana .${\ displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$es el adjunto izquierdo del functor de imagen directo . Esto implica que existen morfismos naturales de unidad y cuenta y . Estos morfismos producen una correspondencia de adjunción natural:${\ Displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Sin embargo, los morfismos y son casi nunca isomorfismos. Por ejemplo, si denota la inclusión de un subconjunto cerrado, el tallo de en un punto es canónicamente isomorfo a if is in y de otro modo. Un adjunto similar es válido para el caso de roldanas de módulos, reemplazando por . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle i \ colon Z \ to Y}$${\ Displaystyle i _ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle y \ in Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Z}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle i ^ {- 1}}$${\ Displaystyle i ^ {*}}$

Referencias

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190. Ver sección II.4.