Tor funktionor - Tor functor

I matematik er Tor-funktionerne de afledte funktioner af tensorproduktet af moduler over en ring . Sammen med Ext-funktoren er Tor et af de centrale begreber homologisk algebra , hvor ideer fra algebraisk topologi bruges til at konstruere invarianter af algebraiske strukturer. Den homologi grupper , Lie algebraer og associative algebraer kan alle defineres i form af Tor. Navnet kommer fra et forhold mellem den første Tor-gruppe Tor ₁ og torsionsundergruppen til en abelisk gruppe .

I det særlige tilfælde af abeliske grupper blev Tor introduceret af Eduard Čech (1935) og navngivet af Samuel Eilenberg omkring 1950. Den blev først anvendt på Künneth-sætningen og den universelle koefficientteorem i topologi. For moduler over enhver ring blev Tor defineret af Henri Cartan og Eilenberg i deres 1956-bog Homological Algebra .

Definition

Lad R være en ring . Skriv R -Mod for kategorien af venstre R- moduler og Mod- R for kategorien af højre R- moduler. (Hvis R er kommutativ , kan de to kategorier identificeres.) For en fast venstre R- modul B , lad for A være i Mod- R . Dette er en nøjagtig nøjagtig funktion fra Mod- R til kategorien abeliske grupper Ab, og så har den efterladt afledte funktioner . Tor-grupperne er de abeliske grupper defineret af ${\ displaystyle T (A) = A \ otimes _ {R} B}$ ${\ displaystyle L_ {i} T}$

{\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) = (L_ {i} T) (A),}

for et heltal i . Per definition betyder dette: tage enhver projektiv opløsning

{\ displaystyle \ cdots \ til P_ {2} \ til P_ {1} \ til P_ {0} \ til A \ til 0,}

fjern udtrykket A , og dann kædekomplekset :

{\ displaystyle \ cdots \ to P_ {2} \ otimes _ {R} B \ to P_ {1} \ otimes _ {R} B \ to P_ {0} \ otimes _ {R} B \ to 0}

For hvert heltal i gruppen er homologien af dette kompleks i position i . Det er nul for i negativ. Desuden er cokernel af kortet , som er isomorf til . ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {0} ^ {R} (A, B)}$ ${\ displaystyle P_ {1} \ otimes _ {R} B \ to P_ {0} \ otimes _ {R} B}$ ${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

Alternativt kan man definere Tor ved fastsættelse A og under de venstre afledte functors af retten nøjagtige functor G ( B ) = A ⊗ _R B . Det vil sige tensor A med en projektiv opløsning af B og tage homologi. Cartan og Eilenberg viste, at disse konstruktioner er uafhængige af valget af projektiv opløsning, og at begge konstruktioner giver de samme Tor-grupper. Desuden er Tor for en fast ring R en funktor i hver variabel (fra R- moduler til abeliske grupper).

For en kommutativ ring R og R- modul A og B , Tor ^R
_i ( A , B ) er et R- modul (ved at bruge A ⊗ _R B er et R- modul i dette tilfælde). For en ikke-kommutativ ring R , Tor ^R
_i ( A , B ) er generelt kun en abelsk gruppe. Hvis R er en algebra over en ring S (hvilket især betyder, at S er kommutativ), så er Tor ^R
_i ( A , B ) er i det mindste et S- modul.

Ejendomme

Her er nogle af de grundlæggende egenskaber og beregninger af Tor-grupper.

Tor ^R
₀ ( A , B ) ≅ A ⊗ _R B nogen ret R -modul A og venstre R -modul B .

Tor ^R
_i ( A , B ) = 0 for alle i > 0, hvis enten A eller B er flad (for eksempel fri ) som et R- modul. Faktisk kan man beregne Tor ved hjælp af en flad opløsning på enten A eller B ; dette er mere generelt end en projektiv (eller gratis) opløsning.

Der er samtaler til den foregående erklæring:
- Hvis Tor ^R
  ₁ ( A , B ) = 0 for alle B , så er A flad (og dermed Tor ^R
  _i ( A , B ) = 0 for alle i > 0).
- Hvis Tor ^R
  ₁ ( A , B ) = 0 for alle A , så er B flad (og dermed Tor ^R
  _i ( A , B ) = 0 for alle i > 0).

Ved de generelle egenskaber af afledte funktioner inducerer hver korte nøjagtige sekvens 0 → K → L → M → 0 af højre R- moduler en lang nøjagtig sekvens af formen

{\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {Tor} _ {2} ^ {R} (M, B) \ to \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (K, B) \ to \ operatorname { Tor} _ {1} ^ {R} (L, B) \ til \ operatornavn {Tor} _ {1} ^ {R} (M, B) \ til K \ otimes _ {R} B \ til L \ otimes _ {R} B \ til M \ otimes _ {R} B \ til 0,}

for nogen venstre R -modul B . Den analoge nøjagtige sekvens gælder også for Tor med hensyn til den anden variabel.

Symmetri: for en kommutativ ring R er der en naturlig isomorfisme Tor ^R
_i ( A , B ) ≅ Tor ^R
_i ( B , A ). (For R kommutativ er der ingen grund til at skelne mellem venstre og højre R- moduler.)

Hvis R er en kommutativ ring og u i R er ikke en nul divisor , så for ethvert R -modul B ,

{\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (R / (u), B) \ cong {\ begin {cases} B / uB & i = 0 \\ B [u] & i = 1 \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {cases}}}

hvor

{\ displaystyle B [u] = \ {x \ in B: ux = 0 \}}

er den u -torsion undergruppe af B . Dette er forklaringen på navnet Tor. Idet R at være ringen af heltal, kan denne beregning anvendes til beregning for enhver finitely genereret abelsk gruppe A .

{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {\ mathbb {Z}} (A, B)}

Ved at generalisere det foregående eksempel kan man beregne Tor-grupper, der involverer kvoten for en kommutativ ring ved hjælp af en hvilken som helst regelmæssig sekvens ved hjælp af Koszul-komplekset . For eksempel, hvis R er den polynomiske ring k [ x ₁ , ..., x _n ] over et felt k , så er den udvendige algebra over k på n generatorer i Tor ₁ . ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {\ mathbb {Z}} (A, B) = 0}$ for alle i ≥ 2. Årsagen: hver abelsk gruppe A har en fri opløsning af længde 1, da hver undergruppe af en fri abelsk gruppe er fri abelsk.

For enhver ring R bevarer Tor direkte summer (muligvis uendelige) og filtrerede kolimitter i hver variabel. For eksempel i den første variabel siger dette det

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} \ left (\ bigoplus _ {\ alpha} M _ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ bigoplus _ {\ alfa} \ operatornavn {Tor} _ {i} ^ {R} (M _ {\ alpha}, N) \\\ operatornavn {Tor} _ {i} ^ {R} \ venstre (\ varinjlim _ {\ alpha} M_ {\ alpha}, N \ right) & \ cong \ varinjlim _ {\ alpha} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M _ {\ alpha}, N) \ end {aligned}}}

Flad basisændring : for en kommutativ flad R- algebra T , R- modul A og B og et heltal i ,

{\ displaystyle \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) \ otimes _ {R} T \ cong \ mathrm {Tor} _ {i} ^ {T} (A \ otimes _ {R } T, B \ otimes _ {R} T).}

Det følger heraf, at Tor pendler med lokalisering . Det vil sige for et multiplikativt lukket sæt S i R ,

{\ displaystyle S ^ {- 1} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, B) \ cong \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {S ^ {- 1} R} \ left (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B \ højre).}

For en kommutativ ring R og kommutativ R -algebras A og B , Tor ^R
_* ( A , B ) har strukturen med en gradueret kommutativ algebra løbet R . Desuden har elementer af ulige grader i Tor-algebraen firkantet nul, og der er opdelt kraftoperationer på elementerne med positiv lige grad.

Vigtige specielle tilfælde

Gruppe homologi er defineret ved hvor G er en gruppe, M er en repræsentation af G over hele tal, og er den gruppe ring af G . ${\ displaystyle H _ {*} (G, M) = \ operatornavn {Tor} _ {*} ^ {\ mathbb {Z} [G]} (\ mathbb {Z}, M),}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

For en algebra A over et felt k og en A - bimodule M er Hochschild homologi defineret af

{\ displaystyle HH _ {*} (A, M) = \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {A \ otimes _ {k} A ^ {\ text {op}}} (A, M).}

Liealgebrakohomologi er defineret ved , hvor er en Lie algebra over en kommutativ ring R , M er en -modul, og er den universelle omsluttende algebra . ${\ displaystyle H _ {*} ({\ mathfrak {g}}, M) = \ operatornavn {Tor} _ {*} ^ {U {\ mathfrak {g}}} (R, M)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}}$

For en kommutativ ring R med en homomorfi på en mark k , er en gradueret-Kommutativ Hopf algebra løbet k . (Hvis R er en Noetherian lokal ring med rest felt k , så den dobbelte Hopf algebra til er Ext ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$ ^*
_R ( k , k ).) Som algebra er den gratis graduerede-kommutative opdelte effektalgebra på et gradueret vektorrum π _* ( R ). Når k har karakteristisk nul, kan π _* ( R ) identificeres med André-Quillen-homologien D _* ( k / R , k ). ${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {*} ^ {R} (k, k)}$

Se også

Bemærkninger

Referencer

Avramov, Luchezar ; Halperin, Stephen (1986), "Through the looking glass: a dictionary between rational homotopy theory and local algebra", i J.-E. Roos (red.), Algebra, algebraisk topologi og deres interaktioner (Stockholm, 1983) , Forelæsningsnotater i matematik, 1183 , Springer Nature , s. 1–27, doi : 10.1007 / BFb0075446 , ISBN 978-3-540-16453-1 , MR 0846435
Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Homologisk algebra , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2 , MR 0077480
Čech, Eduard (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 25 : 33–44, doi : 10.4064 / fm-25-1-33-44 , JFM 61.0609.02
Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969), Homology of local rings , Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, 20 , Queen's University, MR 0262227
Quillen, Daniel (1970), "On (co-) homology of commutative rings", Applications of categorical algebra , Proc. Symp. Pure Mat., 17 , American Mathematical Society , s. 65–87, MR 0257068
Sjödin, Gunnar (1980), "Hopf algebras and derivations", Journal of Algebra , 64 : 218-229, doi : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-X , MR 0575792
Weibel, Charles A. (1994). En introduktion til homologisk algebra . Cambridge-studier i avanceret matematik. 38 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .
Weibel, Charles (1999), "History of homological algebra", History of topology (PDF) , Amsterdam: North-Holland, s. 797–836, MR 1721123

eksterne links

The Stacks Project Forfattere, The Stacks Project

Languages

In other projects