Kædekompleks - Chain complex

I matematik , en kæde kompleks er en algebraisk struktur , der består af en sekvens af abelske grupper (eller moduler ) og en sekvens af homomorfier mellem konsekutive grupper, således at billedet af hver homomorfi er inkluderet i kernen af den næste. Associeret til et kædekompleks er dets homologi , der beskriver, hvordan billederne er inkluderet i kernerne.

Et cochain-kompleks ligner et chain-kompleks, bortset fra at dets homomorfier følger en anden konvention. Homologien i et cochain-kompleks kaldes dets cohomology.

I algebraisk topologi konstrueres det enestående kædekompleks af et topologisk rum X ved hjælp af kontinuerlige kort fra en simplex til X, og kædekompleksets homomorfier indfanger, hvordan disse kort begrænser sig til simplexens grænse. Homologien i dette kædekompleks kaldes singular homology of X og er en almindeligt anvendt invariant i et topologisk rum.

Kædekomplekser undersøges i homologisk algebra , men bruges i flere områder af matematik, herunder abstrakt algebra , Galois-teori , differentiel geometri og algebraisk geometri . De kan defineres mere generelt i abeliske kategorier .

Definitioner

En kæde-kompleks er en sekvens af abelske grupper eller moduler ..., A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , ... forbundet ved homomorfier (kaldet grænsebetingelser operatører eller differentialer ) d _n : A _n → A _n_-1 , således at sammensætningen af to på hinanden følgende kort er nul-kortet. Eksplicit tilfredsstiller differentierne d _n ∘ d _n₊₁ = 0 , eller med indekser undertrykt, d ² = 0 . Komplekset kan skrives ud som følger. ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d _ {\ bullet})}$

{\ displaystyle \ cdots {\ xleftarrow {d_ {0}}} A_ {0} {\ xleftarrow {d_ {1}}} A_ {1} {\ xleftarrow {d_ {2}}} A_ {2} {\ xleftarrow {d_ {3}}} A_ {3} {\ xleftarrow {d_ {4}}} A_ {4} {\ xleftarrow {d_ {5}}} \ cdots}

Den cochain kompleks er den dobbelte begreb til en kæde kompleks. Den består af en række abeliske grupper eller moduler ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ... forbundet med homomorfier d ⁿ : A ⁿ → A ⁿ^{+1, der} tilfredsstiller d ⁿ⁺¹ ∘ d ⁿ = 0 . Cochain-komplekset kan skrives ud på samme måde som kædekomplekset. ${\ displaystyle (A ^ {\ bullet}, d ^ {\ bullet})}$

{\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {d ^ {- 1}}} A ^ {0} {\ xrightarrow {d ^ {0}}} A ^ {1} {\ xrightarrow {d ^ {1}}} A ^ {2} {\ xrightarrow {d ^ {2}}} A ^ {3} {\ xrightarrow {d ^ {3}}} A ^ {4} {\ xrightarrow {d ^ {4}}} \ cdots}

Indekset n i enten A _n eller A ⁿ er benævnt grad (eller dimension ). Forskellen mellem kæde- og cochain-komplekser er, at differentierne i kædekomplekser mindsker dimensionen, mens de i cochain-komplekser øger dimensionen. Alle begreber og definitioner for kædekomplekser gælder for cochain-komplekser, bortset fra at de vil følge denne anden konvention for dimension, og ofte får termer præfikset co- . I denne artikel gives definitioner for kædekomplekser, når forskellen ikke er påkrævet.

En afgrænset kæde kompleks er en, hvor næsten alle de A _n er 0; det vil sige et endeligt kompleks udvidet til venstre og højre med 0. Et eksempel er kædekomplekset, der definerer den enkle homologi af et endelig simplicial kompleks . Et kædekompleks er afgrænset ovenfor, hvis alle moduler over en fast grad N er 0, og afgrænses nedenfor, hvis alle moduler under en eller anden fast grad er 0. Det er klart, at et kompleks er afgrænset både over og under, hvis og kun hvis komplekset er afgrænset.

Elementerne i de enkelte grupper i et (co) kædekompleks kaldes (co) kæder . Elementerne i kernen af d kaldes (co) cyklusser (eller lukkede elementer), og elementerne i billedet af d kaldes (co) grænser (eller nøjagtige elementer). Lige fra definitionen af differentialen er alle grænser cyklusser. Den n 'te (co) homologi gruppe H _n ( H ⁿ ) er gruppen af (co) cyklusser modulo (co) grænser i graden n , dvs.

{\ displaystyle H_ {n} = {\ frac {\ ker d_ {n}} {{\ mbox {im}} d_ {n + 1}}} \ quad \ left (H ^ {n} = {\ frac { \ ker d ^ {n}} {{\ mbox {im}} d ^ {n-1}}} \ højre)}

Præcise sekvenser

En nøjagtig sekvens (eller eksakt kompleks) er et kædekompleks, hvis homologigrupper alle er nul. Dette betyder, at alle lukkede elementer i komplekset er nøjagtige. En kort nøjagtige sekvens er en afgrænset nøjagtige sekvens, hvor kun grupperne A _k , A _{k +1} , A _{k 2} kan være forskellig fra nul. For eksempel er det følgende kædekompleks en kort nøjagtig sekvens.

{\ displaystyle \ cdots {\ xrightarrow {}} \; 0 \; {\ xrightarrow {}} \; \ mathbf {Z} \; {\ xrightarrow {\ times p}} \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / p \ mathbf {Z} \; {\ xrightarrow {}} \; 0 \; {\ xrightarrow {}} \ cdots}

I den midterste gruppe er de lukkede elementer elementerne p Z ; disse er helt klart de nøjagtige elementer i denne gruppe.

Kædekort

Et kædekort f mellem to kædekomplekser og er en sekvens af homomorfismer for hver n, der pendler med grænseoperatorerne på de to kædekomplekser, så . Dette er skrevet i det følgende kommutative diagram . ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet})}$ ${\ displaystyle (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$ ${\ displaystyle f _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle f_ {n}: A_ {n} \ rightarrow B_ {n}}$ ${\ displaystyle d_ {B, n} \ circ f_ {n} = f_ {n-1} \ circ d_ {A, n}}$

Et kædekort sender cyklusser til cyklusser og grænser til grænser og inducerer således et kort om homologi . ${\ displaystyle (f _ {\ bullet}) _ {*}: H _ {\ bullet} (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet}) \ rightarrow H _ {\ bullet} (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$

En kontinuerlig kort f mellem topologiske rum X og Y inducerer en kæde kort mellem ental kæde-komplekser af X og Y , og dermed fremkalder en kort f _* mellem ental homologi af X og Y samt. Når X og Y begge er lig n -sfæren , definerer kortet induceret på homologi graden af kortet f .

Begrebet kædekort reduceres til en af grænsen gennem konstruktionen af keglen til et kædekort.

Kædehomotopi

En kædehomotopi giver en måde at relatere to kædekort, der inducerer det samme kort på homologigrupper, selvom kortene kan være forskellige. Givet to kædekomplekser A og B og to kædekort f , g : A → B , er en kædehomotopi en sekvens af homomorfier h _n : A _n → B _{n +1} således at hd _A + d _B h = f - g . Kortene kan skrives ud i et diagram som følger, men dette diagram er ikke kommutativt.

Kortet hd _A + d _B h er let at verificere for at inducere nul-kortet på homologi, for enhver h . Det følger straks, at f og g inducerer det samme kort i homologien. Man siger f og g er kædehomotopisk (eller bare homotopisk ), og denne egenskab definerer en ækvivalensrelation mellem kædekort.

Lad X og Y være topologiske rum. I tilfælde af ental homologi inducerer en homotopi mellem kontinuerlige kort f , g : X → Y en kædehomotopi mellem kædekortene, der svarer til f og g . Dette viser, at to homotopiske kort inducerer det samme kort i ental homologi. Navnet "kædehomotopi" er motiveret af dette eksempel.

Eksempler

Singular homologi

Lad X være et topologisk rum. Definer C _n ( X ) for naturlig n at være den frie abeliske gruppe formelt genereret af ental n-forenklinger i X , og definer grænsekortet, der skal ${\ displaystyle \ partial _ {n}: C_ {n} (X) \ til C_ {n-1} (X)}$

{\ displaystyle \ partial _ {n}: \, (\ sigma: [v_ {0}, \ ldots, v_ {n}] \ to X) \ mapsto \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} (\ sigma: [v_ {0}, \ ldots, {\ hat {v}} _ {i}, \ ldots, v_ {n}] \ til X)}

hvor hatten angiver udeladelsen af et toppunkt . Det vil sige, at grænsen for en ental simplex er den skiftende sum af begrænsninger for dens ansigter. Det kan vises, at ∂ ² = 0, så er et kædekompleks; den ental homologi er homologi af dette kompleks. ${\ displaystyle (C _ {\ bullet}, \ partial _ {\ bullet})}$ ${\ displaystyle H _ {\ bullet} (X)}$

Singular homologi er en nyttig invariant i topologiske rum op til homotopiækvivalens . Graden nul homologi gruppe er en fri abelsk gruppe på sti-komponenter i X .

de Rham kohomologi

Den forskellen k -formerne på enhver glat manifold M danner en reel vektorrum kaldet Ω ^k ( M ) under tilsætning. Det udvendige derivat d kortlægger Ω ^k ( M ) til Ω ^{k +1} ( M ), og d ² = 0 følger i det væsentlige af symmetri af andre derivater , så k- formers vektorrum sammen med det udvendige derivat er et cochain-kompleks.

{\ displaystyle \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ to \ Omega ^ {2} (M) \ to \ Omega ^ {3} (M) \ til \ cdots}

Den cohomology af dette komplekse kaldes de Rham cohomology af X . Homologien gruppe i dimension nul er isomorf til vektorrummet af lokalt konstant funktion fra M til F . For en kompakt manifold, dette er den virkelige vektorrum, hvis dimension er antallet af tilsluttede komponenter af M .

Glatte kort mellem manifolder inducerer kædekort, og glatte homotopier mellem kort inducerer kædehomotopier.

Kategori af kædekomplekser

Kædekomplekser af K- moduler med kædekort danner en kategori Ch _K , hvor K er en kommutativ ring.

Hvis V = V og W = W er kædekomplekser, er deres tensorprodukt et kædekompleks med grad n- elementer givet af ${\ displaystyle {} _ {*}}$ ${\ displaystyle {} _ {*}}$ ${\ displaystyle V \ otimes W}$

{\ displaystyle (V \ otimes W) _ {n} = \ bigoplus _ {\ {i, j | i + j = n \}} V_ {i} \ otimes W_ {j}}

og differentiel givet af

{\ displaystyle \ partial (a \ otimes b) = \ partial a \ otimes b + (- 1) ^ {\ left | a \ right |} a \ otimes \ partial b}

hvor a og b er to homogene vektorer i henholdsvis V og W og angiver graden af a . ${\ displaystyle \ left | a \ right |}$

Dette tensorprodukt gør kategorien Ch _K til en symmetrisk monoid kategori . Identitetsobjektet med hensyn til dette monoide produkt er basisringen K betragtet som et kædekompleks i grad 0. Fletningen er angivet på enkle tensorer af homogene elementer ved

{\ displaystyle a \ otimes b \ mapsto (-1) ^ {\ left | a \ right | \ left | b \ right |} b \ otimes a}

Tegnet er nødvendigt for at fletningen skal være et kædekort.

Desuden har kategorien af kædekomplekser af K- moduler også intern Hom : givne kædekomplekser V og W , den interne Hom af V og W , betegnet Hom ( V , W ), er kædekomplekset med grad n- elementer givet af og differentiel givet af ${\ displaystyle \ Pi _ {i} {\ text {Hom}} _ {K} (V_ {i}, W_ {i + n})}$