Aritmetisk funktion - Arithmetic function

I talteori er en aritmetisk , aritmetisk eller talteoretisk funktion for de fleste forfattere enhver funktion f ( n ), hvis domæne er de positive heltal, og hvis område er en delmængde af de komplekse tal . Hardy & Wright inkluderer i deres definition kravet om, at en aritmetisk funktion "udtrykker en aritmetisk egenskab af n ".

Et eksempel på en aritmetisk funktion er divisorfunktionen, hvis værdi ved et positivt heltal n er lig med antallet af divisorer af n .

Der er en større klasse af talteoretiske funktioner, der ikke passer til ovenstående definition, for eksempel primtællingsfunktionerne . Denne artikel indeholder links til funktioner i begge klasser.

Aritmetiske funktioner er ofte ekstremt uregelmæssige (se tabel ), men nogle af dem har serieudvidelser med hensyn til Ramanujans sum .

Multiplikative og additive funktioner

En aritmetisk funktion a er

• fuldstændig additiv hvis a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) for alle naturlige tal m og n ;
• fuldstændig multiplikativ hvis a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) for alle naturlige tal m og n ;

To hele tal m og n kaldes coprime, hvis deres største fælles divisor er 1, det vil sige, hvis der ikke er noget primtal, der deler dem begge.

Så en aritmetisk funktion et er

• additiv hvis a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) for alle coprime naturlige tal m og n ;
• multiplikativ hvis a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) for alle coprime naturlige tal m og n .

Notation

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p)}$   og     betyder, at summen eller produktet er over alle primtal : ${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p) = f (2)+f (3)+f (5)+\ cdots}$

${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) \ cdots.}$

På samme måde     og     betyde, at summen eller produktet er over alle primære beføjelser med strengt positiv eksponent (så k = 0 er ikke inkluderet): ${\ displaystyle \ sum _ {p^{k}} f (p^{k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p^{k}} f (p^{k})}$

${\ displaystyle \ sum _ {p^{k}} f (p^{k}) = \ sum _ {p} \ sum _ {k> 0} f (p^{k}) = f (2)+ f (3)+f (4)+f (5)+f (7)+f (8)+f (9)+\ cdots}$

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} f (d)}$   og     betyder, at summen eller produktet er over alle positive divisorer af n , inklusive 1 og n . For eksempel, hvis n = 12, ${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d)}$

${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid 12} f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (6) f (12). \}$

Notationerne kan kombineres:     og     betyder, at summen eller produktet er over alle primære delere af n . For eksempel, hvis n = 18, ${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid n} f (p)}$${\ displaystyle \ prod _ {p \ mid n} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid 18} f (p) = f (2)+f (3), \}$

og på samme måde     og     betyde, at summen eller produktet er over alle primærkræfter, der deler n . For eksempel, hvis n = 24, ${\ displaystyle \ sum _ {p^{k} \ mid n} f (p^{k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p^{k} \ mid n} f (p^{k})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p^{k} \ mid 24} f (p^{k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). \}$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - nedbrydning af primær effekt

Den aritmetiske grundsætning angiver, at ethvert positivt heltal n kan repræsenteres entydigt som et produkt af primtal:     hvor p ₁ < p ₂ <... < p _k er primtal og a _j er positive heltal. (1 er givet af det tomme produkt.) ${\ displaystyle n = p_ {1}^{a_ {1}} \ cdots p_ {k}^{a_ {k}}}$

Det er ofte praktisk at skrive dette som et uendeligt produkt over alle primtalerne, hvor alle på nær et begrænset tal har en nul -eksponent. Definer den p -adiske værdiansættelse ν _p ( n ) til at være eksponent for den højeste effekt af primen p, der deler n . Det vil sige, at hvis p er en af p _i så ν _p ( n ) = a _i , ellers er den nul. Derefter

${\ displaystyle n = \ prod _ {p} p^{\ nu _ {p} (n)}.}$

Med hensyn til ovenstående er primære omega -funktionerne ω og Ω defineret af

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

For at undgå gentagelse, når det er muligt, er formler for de funktioner, der er anført i denne artikel, givet i form af n og de tilsvarende p _i , a _i , ω og Ω.

Multiplikative funktioner

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - divisorsummer

σ _k ( n ) er summen af k th -magterne for de positive divisorer for n , herunder 1 og n , hvor k er et komplekst tal.

σ ₁ ( n ) , summen af ​​de (positive) delere af n , er normalt betegnet med σ ( n ) .

Da et positivt tal til nuleffekten er et, er σ ₀ ( n ) derfor antallet af (positive) divisorer af n ; det er normalt betegnet med d ( n ) eller τ ( n ) (for den tyske Teiler = divisorer).

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1}^{\ omega (n)} {\ frac {p_ {i}^{(a_ {i} +1) k}- 1} {p_ {i}^{k} -1}} = \ prod _ {i = 1}^{\ omega (n)} \ venstre (1+p_ {i}^{k}+p_ {i} ^{2k} +\ cdots +p_ {i}^{a_ {i} k} \ højre).}$

Indstilling k = 0 i det andet produkt giver

${\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1+a_ {1}) (1+a_ {2}) \ cdots (1+a _ {\ omega (n)}).}$

φ ( n ) - Euler totient funktion

φ ( n ) , Euler totientfunktionen, er antallet af positive heltal, der ikke er større end n, der er coprime til n .

${\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1-{\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} \ højre) \ venstre ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ højre) \ cdots \ venstre ({\ frac {p _ {\ omega (n)}-1} {p _ {\ omega (n)}}} \ højre).}$

J _k ( n ) - Jordans totientfunktion

J _k ( n ) , Jordans totientfunktion, er antallet af k -tupler af positive heltal alle mindre end eller lig med n, der danner en coprime ( k + 1) -tupel sammen med n . Det er en generalisering af Eulers totient, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\ displaystyle J_ {k} (n) = n^{k} \ prod _ {p \ mid n} \ left (1-{\ frac {1} {p^{k}}} \ right) = n^ {k} \ venstre ({\ frac {p_ {1}^{k} -1} {p_ {1}^{k}}} \ højre) \ venstre ({\ frac {p_ {2}^{k} -1} {p_ {2}^{k}}} \ højre) \ cdots \ venstre ({\ frac {p _ {\ omega (n)}^{k} -1} {p _ {\ omega (n)} ^{k}}} \ højre).}$

μ ( n ) - Möbius -funktion

μ ( n ) , Möbius -funktionen, er vigtig på grund af Möbius inversionsformlen . Se Dirichlet -konvolvering herunder.

${\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {cases} (-1)^{\ omega (n)} = (-1)^{\ Omega (n)} & {\ text {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ text {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {cases}}}$

Dette indebærer, at μ (1) = 1. (Fordi Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - Ramanujan tau -funktion

τ ( n ) , Ramanujan tau -funktionen, er defineret af dens genererende funktionsidentitet :

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ tau (n) q^{n} = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q^{n})^{24}.}$

Selvom det er svært at sige præcis, hvilken "aritmetisk egenskab af n " den "udtrykker", ( τ ( n ) er (2π) ⁻¹² gange den n. Fourier-koefficient i q-udvidelsen af den modulære diskriminerende funktion) er den inkluderet blandt de aritmetiske funktioner, fordi den er multiplikativ, og den forekommer i identiteter, der involverer visse σ _k ( n ) og r _k ( n ) funktioner (fordi disse også er koefficienter i udvidelsen af modulære former ).

c _q ( n ) - Ramanujans sum

c _q ( n ) , Ramanujan s sum, er summen af denth beføjelser primitiveqthrødder enhed:

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq a \ leq q} {\ gcd (a, q) = 1}} e^{2 \ pi i {\ tfrac {a } {q}} n}.}$

Selvom det er defineret som en sum af komplekse tal (irrationel for de fleste værdier af q ), er det et helt tal. For en fast værdi på n er den multiplikativ i q :

Hvis q og r er coprime , så${\ displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ ( n ) - Dedekind psi -funktion

Den Dedekind psi funktion , der anvendes i teorien om modulære funktioner , er defineret ved formlen

${\ displaystyle \ psi (n) = n \ prod _ {p | n} \ venstre (1+{\ frac {1} {p}} \ højre).}$

Helt multiplikative funktioner

λ ( n ) - Liouville -funktion

λ ( n ) , Liouville -funktionen, er defineret af

${\ displaystyle \ lambda (n) = (-1)^{\ Omega (n)}.}$

χ ( n ) - tegn

Alle Dirichlet -tegn χ ( n ) er fuldstændig multiplikative. To karakterer har særlige notationer:

Den vigtigste tegn (mod n ) er angivet ved χ ₀ ( a ) (eller χ ₁ ( a )). Det er defineret som

${\ displaystyle \ chi _ {0} (a) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ gcd (a, n) = 1, \\ 0 & {\ text {if}} \ gcd ( a, n) \ neq 1. \ end {cases}}}$

Det kvadratiske tegn (mod n ) er angivet med Jacobi -symbolet for ulige n (det er ikke defineret for lige n .):

${\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ venstre ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ højre)^{a_ {1}} \ venstre ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ højre)^{a_ {2}} \ cdots \ venstre ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}}} \ højre )^{a _ {\ omega (n)}}.}$

I denne formel er Legendre -symbolet , defineret for alle heltal a og alle ulige primtal p ved ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a \ equiv 0 {\ pmod {p} }, \\+1 & {\ text {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {og for et helt tal}} x, \; a \ equiv x^{2} {\ pmod {p}} \\-1 & {\ text {hvis der ikke er sådan}} x. \ end {cases}}}$

Efter den normale konvention for det tomme produkt, ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$

Additive funktioner

ω ( n ) - særskilte prime divisors

ω ( n ) , defineret ovenfor som antallet af forskellige primtal, der deler n , er additiv (se Prime omega -funktion ).

Helt additive funktioner

Ω ( n ) - primedelere

Ω ( n ) , defineret ovenfor som antallet af primfaktorer for n talt med multiplikationer, er fuldstændig additiv (se Prime omega -funktion ).

ν _p ( n ) - p -adic værdiansættelse af et heltal n

For et fast primtal p er ν _p ( n ) , defineret ovenfor som eksponent for den største effekt af p, der deler n , fuldstændigt additiv.

Hverken multiplikativ eller additiv

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x )-primtællingsfunktioner

Disse vigtige funktioner (som ikke er aritmetiske funktioner) er defineret for ikke-negative reelle argumenter og bruges i de forskellige udsagn og beviser for primtaletningen . De er summeringsfunktioner (se hovedafsnittet lige nedenfor) af aritmetiske funktioner, der hverken er multiplikative eller additive.

π ( x ) , primtællingsfunktionen, er antallet af primtal, der ikke overstigerx. Det er summeringsfunktionen for primtalerneskarakteristiske funktion.

${\ displaystyle \ pi (x) = \ sum _ {p \ leq x} 1}$

En relateret funktion tæller primære kræfter med vægt 1 for primtal, 1/2 for deres firkanter, 1/3 for terninger, ... Det er summeringsfunktionen for den aritmetiske funktion, der tager værdien 1/ k på heltal, som er k -th effekt af et eller andet primtal, og værdien 0 på andre heltal.

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {p^{k} \ leq x} {\ frac {1} {k}}.}$

θ ( x ) og ψ ( x ), Chebyshev -funktionerne, defineres som summer af de naturlige logaritmer for primtalerne, der ikke overstigerx.

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p,}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p^{k} \ leq x} \ log s.}$

Chebyshev -funktionen ψ ( x ) er summeringsfunktionen for von Mangoldt -funktionen lige nedenfor.

Λ ( n ) - von Mangoldt -funktion

Λ ( n ) , von Mangoldt -funktionen, er 0, medmindre argumentet n er en primær effekt p ^k , i hvilket tilfælde det er den naturlige log for primæren p :

${\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ log p & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, \ ldots = p^{k} {\ tekst {er en primær effekt}} \\ 0 og {\ tekst {if}} n = 1,6,10,12,14,15,18,20,21, \ dots \; \ ; \; \; {\ text {er ikke en primær kraft}}. \ end {cases}}}$

p ( n ) - partitionsfunktion

p ( n ) , partitionsfunktionen, er antallet af måder at repræsenterensom en sum af positive heltal, hvor to repræsentationer med de samme summands i en anden rækkefølge ikke tælles som værende forskellige:

${\ displaystyle p (n) = | \ venstre \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ cdots \ leq a_ {k} \; \ land \; n = a_ {1}+a_ {2}+\ cdots+a_ {k} \ right \} |.}$

λ ( n ) - Carmichael -funktion

λ ( n ) , Carmichael -funktionen, er det mindste positive tal, således at   for alleencoprime tiln. Tilsvarende er det detmindst almindelige multiplumaf ordenerne i elementerne i denmultiplikative gruppe af heltal modulo n . ${\ displaystyle a^{\ lambda (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

For magt af ulige primtal og for 2 og 4 er λ ( n ) lig med Euler totient funktion af n ; for kræfter på 2 større end 4 er det lig med halvdelen af ​​Eulers totientfunktion n :

${\ displaystyle \ lambda (n) = {\ begin {cases} \; \; \ phi (n) & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13, 17,19,23,25,27, \ dots \\ {\ tfrac {1} {2}} \ phi (n) & {\ text {if}} n = 8,16,32,64, \ dots \ slut {cases}}}$

og for generel n er det det mindst almindelige multiplum af λ af hver af primeffektfaktorerne for n :

${\ displaystyle \ lambda (p_ {1}^{a_ {1}} p_ {2}^{a_ {2}} \ prikker p _ {\ omega (n)}^{a _ {\ omega (n)}}) = \ operatorname {lcm} [\ lambda (p_ {1}^{a_ {1}})), \; \ lambda (p_ {2}^{a_ {2}}), \ dots, \ lambda (p _ {\ omega (n)}^{a _ {\ omega (n)}})].}$

h ( n ) - Klassens nummer

h ( n ) , klassetalsfunktionen, er rækkefølgen af ​​denideelle klassegruppei en algebraisk forlængelse af rationalerne meddiskriminerende n. Notationen er tvetydig, da der generelt er mange udvidelser med den samme diskriminerende. Sekvadratisk feltogcyklotomisk feltfor klassiske eksempler.

r _k ( n ) - Summen af k kvadrater

r _k ( n ) er antallet af måder,nkan repræsenteres som summen afk-kvadrater, hvor repræsentationer, der kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​summen eller i tegnene på kvadratrødderne, tælles som forskellige.

${\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}): n = a_ {1}^{2}+a_ {2}^ {2} +\ cdots +a_ {k}^{2} \} |}$

D ( n ) - Aritmetisk derivat

Ved hjælp af Heaviside -notationen for derivatet er D ( n ) en sådan funktion

${\ displaystyle D (n) = 1}$hvis n prime, og

${\ displaystyle D (mn) = mD (n)+D (m) n}$( Produktregel )

Summationsfunktioner

I betragtning af en aritmetisk funktion a ( n ) er dens summeringsfunktion A ( x ) defineret af

${\ displaystyle A (x): = \ sum _ {n \ leq x} a (n).}$

A kan betragtes som en funktion af en reel variabel. I betragtning af et positivt heltal m er A konstant langs åbne intervaller m < x < m + 1 og har en springdiskontinuitet ved hvert heltal, for hvilket a ( m ) ≠ 0.

Da sådanne funktioner ofte er repræsenteret ved serier og integraler, er det normalt for at opnå punktvis konvergens at definere værdien ved diskontinuiteterne som gennemsnittet af værdierne til venstre og højre:

${\ displaystyle A_ {0} (m): = {\ frac {1} {2}} \ venstre (\ sum _ {n <m} a (n)+\ sum _ {n \ leq m} a (n ) \ højre) = A (m)-{\ frac {1} {2}} a (m).}$

Individuelle værdier af aritmetiske funktioner kan svinge vildt - som i de fleste af de ovenstående eksempler. Summationsfunktioner "udjævner" disse udsving. I nogle tilfælde kan det være muligt at finde asymptotisk adfærd for summeringsfunktionen for store x .

Et klassisk eksempel på dette fænomen er givet ved den delende summatoriske funktion , summeringsfunktionen af d ( n ), antallet af delere af n :

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} d (n) = 2}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log d (n) \ log \ log n} {\ log n}} = \ log 2}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d (1)+d (2)+\ cdots+d (n)} {\ log (1)+\ log (2)+\ cdots +\ log (n)}} = 1.}$

En gennemsnitlig rækkefølge for en aritmetisk funktion er en enklere eller bedre forstået funktion, der har den samme summeringsfunktion asymptotisk og derfor tager de samme værdier "i gennemsnit". Vi siger, at g er en gennemsnitlig rækkefølge på f hvis

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} f (n) \ sim \ sum _ {n \ leq x} g (n)}$

som x har tendens til uendelig. Eksemplet ovenfor viser, at d ( n ) har den gennemsnitlige ordrelog ( n ).

Dirichlet -konvolution

I betragtning af en aritmetisk funktion a ( n ), lad F _a ( s ) for komplekse s være funktionen defineret af den tilsvarende Dirichlet -serie (hvor den konvergerer ):

${\ displaystyle F_ {a} (s): = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {a (n)} {n^{s}}}.}$

F _a ( s ) kaldes en genererende funktion af a ( n ). Den enkleste sådan serie, der svarer til den konstante funktion a ( n ) = 1 for alle n , er ς ( s ) Riemann zeta -funktionen .

Den genererende funktion af Möbius -funktionen er den inverse af zeta -funktionen:

${\ displaystyle \ zeta (s) \, \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}} = 1, \; \; {\ mathfrak {R}} \, s> 0.}$

Overvej to aritmetiske funktioner a og b og deres respektive genererende funktioner F _a ( s ) og F _b ( s ). Produktet F _a ( s ) F _b ( s ) kan beregnes som følger:

${\ displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = \ left (\ sum _ {m = 1}^{\ infty} {\ frac {a (m)} {m^{s}} } \ højre) \ venstre (\ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {b (n)} {n^{s}}} \ højre).}$

Det er en ligetil øvelse at vise, at hvis c ( n ) er defineret af

${\ displaystyle c (n): = \ sum _ {ij = n} a (i) b (j) = \ sum _ {i \ mid n} a (i) b \ venstre ({\ frac {n} { i}} \ højre),}$

derefter

${\ displaystyle F_ {c} (r) = F_ {a} (r) F_ {b} (r).}$

Denne funktion c kaldes Dirichlet -konvolutionen af a og b og betegnes med . ${\ displaystyle a*b}$

Et særligt vigtigt tilfælde er konvolvering med den konstante funktion a ( n ) = 1 for alle n , svarende til at multiplicere den genererende funktion med zeta -funktionen:

${\ displaystyle g (n) = \ sum _ {d \ mid n} f (d).}$

Multiplicering med inversen af ​​zeta -funktionen giver Möbius inversionsformlen :

${\ displaystyle f (n) = \ sum _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) g (d).}$

Hvis f er multiplikativ, så er g . Hvis f er fuldstændig multiplikativ, så er g multiplikativ, men kan være fuldstændig multiplikativ.

Forhold mellem funktionerne

Der er rigtig mange formler, der forbinder aritmetiske funktioner med hinanden og med analysefunktionerne, især kræfter, rødder og eksponentielle og logfunktioner. De side divisor sum identiteter indeholder mange flere generaliserede og relaterede eksempler på identiteter, der involverer regnefunktioner.

Her er et par eksempler:

Dirichlet -krumninger

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu (\ delta) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) | \ mu (\ delta) | = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 1 \\ 0 & {\ text {if}} n \ neq 1 \ end {cases}}}$     hvor λ er Liouville -funktionen.

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) = n.}$      

${\ displaystyle \ varphi (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta = n \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta}}.}$       Möbius inversion

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} J_ {k} (d) = n^{k}.}$      

${\ displaystyle J_ {k} (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta ^{k} = n ^{ k} \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta ^{k}}}.}$       Möbius inversion

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ delta ^{s} J_ {r} (\ delta) J_ {s} \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = J_ {r+s} (n)}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = \ sigma (n).}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} | \ mu (\ delta) | = 2^{\ omega (n)}.}$      

${\ displaystyle | \ mu (n) | = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ venstre ({\ frac {n} {\ delta}} \ højre) 2^{\ omega (\ delta)} .}$       Möbius inversion

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} 2^{\ omega (\ delta)} = d (n^{2}).}$      

${\ displaystyle 2 ^{\ omega (n)} = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d (\ delta ^{2} ).}$       Möbius inversion

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta ^{2}) = d ^{2} (n).}$      

${\ displaystyle d (n^{2}) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d^{2} (\ delta) .}$       Möbius inversion

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2^{\ omega (\ delta)} = d^{2} (n) .}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda (\ delta) = {\ begin {cases} & 1 {\ text {if}} n {\ text {er en firkant}} \\ & 0 {\ tekst {if}} n {\ text {er ikke firkantet.}} \ end {cases}}}$     hvor λ er Liouville -funktionen .

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ Lambda (\ delta) = \ log n.}$      

${\ displaystyle \ Lambda (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ log (\ delta).}$       Möbius inversion

Summer af firkanter

For alle     ( Lagranges firkantede sætning ). ${\ displaystyle k \ geq 4, \; \; \; r_ {k} (n)> 0.}$

${\ displaystyle r_ {2} (n) = 4 \ sum _ {d \ mid n} \ venstre ({\ frac {-4} {d}} \ højre),}$

hvor Kronecker -symbolet har værdierne

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right) = {\ begin {cases} +1 & {\ text {if}} n \ equiv 1 {\ pmod {4}} \\- 1 & {\ text {if}} n \ equiv 3 {\ pmod {4}} \\\; \; \; 0 & {\ text {if}} n {\ tekst {er lige}}. \\\ ende { sager}}}$

Der er en formel for r ₃ i afsnittet om klassetal nedenfor.

${\ displaystyle r_ {4} (n) = 8 \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {4 \, \ nmid \, d}} d = 8 (2+(-1)^{n}) \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d = {\ begin {cases} 8 \ sigma (n) & {\ text {if}} n {\ text { er ulige}} \\ 24 \ sigma \ venstre ({\ frac {n} {2^{\ nu}}} \ højre) & {\ tekst {if}} n {\ tekst {er lige}} \ slut { sager}},}$    

hvor ν = ν ₂ ( n ) .    

${\ displaystyle r_ {6} (n) = 16 \ sum _ {d \ mid n} \ chi \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) d^{2} -4 \ sum _ { d \ mid n} \ chi (d) d^{2},}$

hvor ${\ displaystyle \ chi (n) = \ venstre ({\ frac {-4} {n}} \ højre).}$

Definer funktionen σ _k ^* ( n ) som

${\ displaystyle \ sigma _ {k}^{*} (n) = (-1)^{n} \ sum _ {d \ mid n} (-1)^{d} d^{k} = {\ begynde {cases} \ sum _ {d \ mid n} d^{k} = \ sigma _ {k} (n) & {\ text {if}} n {\ text {er ulige}} \\\ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ mid \, d}} d^{k}-\ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d ^{k} & {\ text {if}} n {\ tekst {er lige}}. \ end {cases}}}$

Det vil sige, at hvis n er ulige, σ _k ^* ( n ) er summen af k th -magterne for divisorerne for n , det vil sige σ _k ( n ), og hvis n er lige, er det summen af k th beføjelser for de lige divisorer af n minus summen af k th -magterne for de ulige divisorer i n .

${\ displaystyle r_ {8} (n) = 16 \ sigma _ {3}^{*} (n).}$    

Vedtage den konvention, Ramanujan s τ ( x ) = 0 , hvis x er ikke et heltal.

${\ displaystyle r_ {24} (n) = {\ frac {16} {691}} \ sigma _ {11}^{*} (n)+{\ frac {128} {691}} \ venstre \ {( -1)^{n-1} 259 \ tau (n) -512 \ tau \ venstre ({\ frac {n} {2}} \ højre) \ højre \}}$    

Divisorsum konvolutions

Her betyder "konvolvering" ikke "Dirichlet -konvolvering", men henviser i stedet til formlen for koefficienterne for produktet af to effektserier :

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} x^{n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} b_ {n } x^{n} \ right) = \ sum _ {i = 0}^{\ infty} \ sum _ {j = 0}^{\ infty} a_ {i} b_ {j} x^{i+j } = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ venstre (\ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} b_ {ni} \ højre) x^{n} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} c_ {n} x^{n}.}$

Sekvensen kaldes konvolutionen eller Cauchy -produktet af sekvenserne a _n og b _n . Disse formler kan bevises analytisk (se Eisenstein -serien ) eller ved elementære metoder. ${\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} b_ {ni}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} (n) = {\ frac {1} {5}} \ venstre \ {6n \ sigma _ {1} (n)-\ sigma _ {1} (n) +12 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {1} (nk) \ right \}.}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {5} (n) = {\ frac {1} {21}} \ venstre \ {10 (3n-1) \ sigma _ {3} (n)+\ sigma _ {1} ( n) +240 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {3} (nk) \ right \}.}$    

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {7} (n) & = {\ frac {1} {20}} \ left \ {21 (2n-1) \ sigma _ {5} (n)- \ sigma _ {1} (n) +504 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \} \\ & = \ sigma _ {3} (n) +120 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {3} (nk). \ End {align}}}$    

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {9} (n) & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {10 (3n-2) \ sigma _ {7} (n)+ \ sigma _ {1} (n) +480 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {7} (nk) \ right \} \\ & = {\ frac {1} {11}} \ venstre \ {21 \ sigma _ {5} (n) -10 \ sigma _ {3} (n) +5040 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ højre \}. \ slut {justeret}}}$    

${\ displaystyle \ tau (n) = {\ frac {65} {756}} \ sigma _ {11} (n)+{\ frac {691} {756}} \ sigma _ {5} (n)-{ \ frac {691} {3}} \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {5} (k) \ sigma _ {5} (nk),}$     hvor τ ( n ) er Ramanujans funktion.    

Da σ _k ( n ) (for naturligt tal k ) og τ ( n ) er heltal, kan ovenstående formler bruges til at bevise kongruenser for funktionerne. Se Ramanujan tau -funktionen for nogle eksempler.

Udvid partitionsfunktionens domæne ved at indstille p (0) = 1.

${\ displaystyle p (n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ sigma (k) p (nk).}$       Denne gentagelse kan bruges til at beregne p ( n ).

Klassens nummer relateret

Peter Gustav Lejeune Dirichlet opdagede formler, der relaterer klassetallet h i kvadratiske talfelter til Jacobi -symbolet.

Et helt tal D kaldes en grundlæggende diskriminant, hvis det er diskriminanten i et kvadratisk talfelt. Dette svarer til D ≠ 1 og enten a) D er kvadratfri og D ≡ 1 (mod 4) eller b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 er kvadratfri, og D /4 ≡ 2 eller 3 (mod 4 ).

Udvid Jacobi -symbolet til at acceptere lige tal i "nævneren" ved at definere Kronecker -symbolet :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a {\ text {er lige}} \ \ (-1)^{\ frac {a^{2} -1} {8}} og {\ tekst {if}} a {\ tekst {er ulige. }} \ end {cases}}}$

Så hvis D <−4 er en grundlæggende diskriminant

${\ displaystyle {\ begin {align} h (D) & = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {r = 1}^{| D |} r \ venstre ({\ frac {D} { r}} \ højre) \\ & = {\ frac {1} {2- \ venstre ({\ tfrac {D} {2}} \ højre)}} \ sum _ {r = 1}^{| D | /2} \ venstre ({\ frac {D} {r}} \ højre). \ Slut {justeret}}}$

Der er også en formel vedrørende r ₃ og h . Igen, lad D være en grundlæggende diskriminant, D <−4. Derefter

${\ displaystyle r_ {3} (| D |) = 12 \ venstre (1- \ venstre ({\ frac {D} {2}} \ højre) \ højre) h (D).}$

Prime-count relateret

Lad   være det n th harmoniske tal . Derefter ${\ displaystyle H_ {n} = 1+{\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {3}}+\ cdots+{\ frac {1} {n}}}$

${\ displaystyle \ sigma (n) \ leq H_ {n}+e^{H_ {n}} \ log H_ {n}}$   er sandt for hvert naturligt tal n, hvis og kun hvis Riemann -hypotesen er sand.    

Riemann -hypotesen svarer også til udsagnet om, at for alle n > 5040,

${\ displaystyle \ sigma (n) <e^{\ gamma} n \ log \ log n}$     (hvor γ er Euler – Mascheroni -konstanten ). Dette er Robins sætning .

${\ displaystyle \ sum _ {p} \ nu _ {p} (n) = \ Omega (n).}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$    

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$    

${\ displaystyle e^{\ theta (x)} = \ prod _ {p \ leq x} s.}$    

${\ displaystyle e^{\ psi (x)} = \ operatorname {lcm} [1,2, \ dots, \ lfloor x \ rfloor].}$    

Menons identitet

I 1965 beviste P Kesava Menon

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ gcd (k-1, n) = \ varphi (n) d (n). }$

Dette er blevet generaliseret af en række matematikere. For eksempel,

B. Sury

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -1, k_ {2}, \ dots, k_ {s}, n) = \ varphi (n) \ sigma _ {s-1} (n).}$

N. Rao

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, k_ {2}, \ dots , k_ {s}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -a_ {1}, k_ {2} -a_ {2}, \ dots, k_ {s} -a_ {s}, n) ^{s} = J_ {s} (n) d (n),}$

hvor a ₁ , a ₂ , ..., a _s er heltal, gcd ( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.

László Fejes Tóth

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq m} {\ gcd (k, m) = 1}} \ gcd (k^{2} -1, m_ {1}) \ gcd (k ^{2} -1, m_ {2}) = \ varphi (n) \ sum _ {\ stackrel {d_ {1} \ mid m_ {1}} {d_ {2} \ mid m_ {2}}} \ varphi (\ gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2^{\ omega (\ operatorname {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))}},}$

hvor m ₁ og m ₂ er ulige, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ).

Faktisk hvis f er en aritmetisk funktion

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} f (\ gcd (k-1, n)) = \ varphi (n) \ sum _ {d \ mid n} {\ frac {(\ mu *f) (d)} {\ varphi (d)}},}$

hvor * står for Dirichlet -konvolvering.

Diverse

Lad m og n være forskellige, ulige og positive. Så opfylder Jacobi -symbolet loven om kvadratisk gensidighed :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (-1)^{(m-1) (n- 1)/4}.}$    

Lad D ( n ) være det aritmetiske derivat. Derefter det logaritmiske derivat

${\ displaystyle {\ frac {D (n)} {n}} = \ sum _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} {\ frac {v_ {p} (n )} {p}}}$

Lad λ ( n ) være Liouvilles funktion. Derefter

${\ displaystyle | \ lambda (n) | \ mu (n) = \ lambda (n) | \ mu (n) | = \ mu (n),}$     og

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = | \ mu (n) | = \ mu ^{2} (n).}$    

Lad λ ( n ) være Carmichaels funktion. Derefter

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mid \ phi (n).}$     Yderligere,

${\ displaystyle \ lambda (n) = \ phi (n) {\ text {if and only if}} n = {\ begin {cases} 1,2,4; \\ 3,5,7,9,11, \ ldots {\ text {(det vil sige}} p^{k} {\ text {, hvor}} p {\ text {er en ulige primtal)}}; \\ 6,10,14,18, \ ldots {\ text {(det vil sige}} 2p^{k} {\ text {, hvor}} p {\ text {er en ulige primtal)}}. \ end {cases}}}$

Se Multiplikativ gruppe af heltal modulo n og Primitiv rodmodul n .  

${\ displaystyle 2^{\ omega (n)} \ leq d (n) \ leq 2^{\ Omega (n)}.}$    

${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^{2}}} <{\ frac {\ phi (n) \ sigma (n)} {n ^{2}}} <1.}$    

${\ displaystyle {\ begin {justeret} c_ {q} (n) & = {\ frac {\ mu \ venstre ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ højre)} {\ phi \ venstre ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ højre)}} \ phi (q) \\ & = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (q, n)} \ mu \ venstre ({\ frac {q} {\ delta}} \ højre) \ delta. \ end {justeret}}}$         Noter det  ${\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {\ delta \ mid q} \ mu \ venstre ({\ frac {q} {\ delta}} \ højre) \ delta.}$    

${\ displaystyle c_ {q} (1) = \ mu (q).}$

${\ displaystyle c_ {q} (q) = \ phi (q).}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d^{3} (\ delta) = \ left (\ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta) \ right)^{2}.}$       Sammenlign dette med 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\ displaystyle d (uv) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ mu (\ delta) d \ left ({\ frac {u} {\ delta}} \ right) d \ venstre ({\ frac {v} {\ delta}} \ højre).}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (u) \ sigma _ {k} (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^{k} \ sigma _ {k} \ venstre ({\ frac {uv} {\ delta ^{2}}} \ højre).}$    

${\ displaystyle \ tau (u) \ tau (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^{11} \ tau \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^{2}}} \ højre),}$     hvor τ ( n ) er Ramanujans funktion.    

Første 100 værdier for nogle aritmetiske funktioner

n	faktorisering	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1,61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1,95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	−1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2,40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2,83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3 2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2,94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1,61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3,37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3,43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	16	1	5	−1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 · 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3,61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3,71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3,76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3,85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1,95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 · 5 2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3,97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 · 3 3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4,08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4,20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4,26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4,29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4,37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4,42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4,49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3 2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 · 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	faktorisering	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )

Noter

Referencer

• Tom M. Apostol (1976), Introduction to Analytic Number Theory , Springer Undergraduate Texts in Mathematics , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd Edition) , New York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
• Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Analytisk talteori, en introduktion , World Scientific , ISBN 978-981-238-938-1
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory , Berlin: Springer , ISBN 3-540-55640-0
• Edwards, Harold (1977). Fermats sidste sætning . New York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.
• Hardy, GH (1999), Ramanujan: Tolv Forelæsninger på motiverne Foreslået af sit liv og arbejde , Providence RI: AMS / Chelsea, HDL : 10115/1436 , ISBN 978-0-8218-2023-0
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. En introduktion til talteori (5. udgave). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909 . Zbl  0423.10001 .
• Jameson, GJO (2003), The Prime Number Theorem , Cambridge University Press, ISBN 0-521-89110-8
• Koblitz, Neal (1984), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms , New York: Springer, ISBN 0-387-97966-2
• Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory , New York: Chelsea
• William J. LeVeque (1996), Fundamentals of Number Theory , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-68906-9
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. udgave), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Elliott Mendelson (1987), Introduction to Mathematical Logic , CRC Press, ISBN 0-412-80830-7
• Nagell, Trygve (1964), Introduction to number theory (2. udgave) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
• Niven, Ivan M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), En introduktion til talteori (3. udgave) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
• Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Williams, Kenneth S. (2011), Talteori i Liouvilles ånd , London Mathematical Society Student Texts, 76 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl  1227.11002

Yderligere læsning

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Aritmetiske funktioner. En introduktion til elementære og analytiske egenskaber ved aritmetiske funktioner og til nogle af deres næsten periodiske egenskaber , London Mathematical Society Lecture Note Series, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

eksterne links

• "Aritmetic function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Endnu en generalisering af Eulers Totient Function
• Huard, Ou, Spearman og Williams. Elementær evaluering af visse konvolutionssummer, der involverer divisorfunktioner
• Dineva, Rosica, The Euler Totient, Möbius og Divisor -funktionerne
• László Tóth, Menons identitet og aritmetiske summer, der repræsenterer funktioner af flere variabler