Função aritmética - Arithmetic function

Na teoria dos números , uma função aritmética , aritmética ou teórica dos números é para a maioria dos autores qualquer função f ( n ) cujo domínio são os inteiros positivos e cujo intervalo é um subconjunto dos números complexos . Hardy & Wright incluem em sua definição o requisito de que uma função aritmética "expresse alguma propriedade aritmética de n ".

Um exemplo de função aritmética é a função divisora cujo valor em um inteiro positivo n é igual ao número de divisores de n .

Existe uma classe maior de funções teóricas dos números que não se enquadram na definição acima, por exemplo, as funções de contagem de primos . Este artigo fornece links para funções de ambas as classes.

As funções aritméticas são freqüentemente extremamente irregulares (veja a tabela ), mas algumas delas têm expansões em série em termos da soma de Ramanujan .

Funções multiplicativas e aditivas

Uma função aritmética a é

• completamente aditivo se a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos os números naturais m e n ;
• completamente multiplicativo se a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) para todos os números naturais m e n ;

Dois números inteiros m e n são chamados coprime se o seu maior divisor comum é 1, ou seja, se não houver um número primo que divide os dois.

Então, uma função aritmética a é

• aditivo se a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos os números naturais de coprime m e n ;
• multiplicativo se um ( Mn ) = uma ( m ) uma ( n ) para todos coprime números naturais m e n .

Notação

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p)}$   e     significa que a soma ou produto é sobre todos os números primos : ${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p) = f (2) + f (3) + f (5) + \ cdots}$

${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) \ cdots.}$

Da mesma forma,     e     significa que a soma ou produto é sobre todas as potências principais com expoente estritamente positivo (portanto, k = 0 não está incluído): ${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p ^ {k}} f (p ^ {k})}$

${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k}} f (p ^ {k}) = \ sum _ {p} \ sum _ {k> 0} f (p ^ {k}) = f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (7) + f (8) + f (9) + \ cdots}$

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} f (d)}$   e     significa que a soma ou produto é sobre todos os divisores positivos de n , incluindo 1 e n . Por exemplo, se n = 12, ${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d)}$

${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid 12} f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (6) f (12). \}$

As notações podem ser combinadas:     e     significam que a soma ou produto é sobre todos os divisores primos de n . Por exemplo, se n = 18, ${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid n} f (p)}$${\ displaystyle \ prod _ {p \ mid n} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid 18} f (p) = f (2) + f (3), \}$

e da mesma forma     e     significa que a soma ou produto é sobre todas as potências principais dividindo n . Por exemplo, se n = 24, ${\ displaystyle \ sum _ {p ^ {k} \ mid n} f (p ^ {k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p ^ {k} \ mid n} f (p ^ {k})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p ^ {k} \ mid 24} f (p ^ {k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). \}$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - decomposição de potência primária

O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer inteiro positivo n pode ser representado exclusivamente como um produto de potências de números primos:     onde p ₁ < p ₂ <... < p _k são primos e um _j são inteiros positivos. (1 é dado pelo produto vazio.) ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}$

Freqüentemente, é conveniente escrever isso como um produto infinito sobre todos os primos, onde todos, exceto um número finito, têm um expoente zero. Defina a valoração p -adic ν _p ( n ) como o expoente da maior potência do primo p que divide n . Ou seja, se p é um de p _i então ν _p ( n ) = a _i , caso contrário, é zero. Então

${\ displaystyle n = \ prod _ {p} p ^ {\ nu _ {p} (n)}.}$

Em termos do acima, as funções ômega principais ω e Ω são definidas por

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

Para evitar a repetição, sempre que possível, as fórmulas para as funções listadas neste artigo são fornecidas em termos de n e os correspondentes p _i , a _i , ω e Ω.

Funções multiplicativas

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - somas divisórias

σ _k ( n ) é a soma das k- ésimas potências dos divisores positivos de n , incluindo 1 e n , onde k é um número complexo.

σ ₁ ( n ) , a soma dos divisores (positivos) de n , geralmente é denotado por σ ( n ) .

Como um número positivo elevado à potência zero é um, σ ₀ ( n ) é, portanto, o número de divisores (positivos) de n ; geralmente é denotado por d ( n ) ou τ ( n ) (para o alemão Teiler = divisors ).

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} {\ frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) k} - 1} {p_ {i} ^ {k} -1}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} \ left (1 + p_ {i} ^ {k} + p_ {i} ^ {2k} + \ cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} k} \ right).}$

Definir k = 0 no segundo produto dá

${\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1 + a_ {1}) (1 + a_ {2}) \ cdots (1 + a _ {\ omega (n)}).}$

φ ( n ) - função Euler totient

φ ( n ) , a função de Euler totient, é o número de inteiros positivos não maiores que n que são coprimes com n .

${\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} - 1} {p _ {\ omega (n)}}} \ direita).}$

J _k ( n ) - função do totiente de Jordan

J _k ( n ) , a função totiente Jordan, é o número de k -tuples de inteiros positivos todos menos do que ou igual a N que formam um coprime ( k + 1), juntamente com -tuple n . É uma generalização do totiente de Euler, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\ displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} \ prod _ {p \ mid n} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {k}}} \ right) = n ^ {k} \ left ({\ frac {p_ {1} ^ {k} -1} {p_ {1} ^ {k}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} ^ {k} -1} {p_ {2} ^ {k}}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} ^ {k} -1} {p _ {\ omega (n)} ^ {k}}} \ right).}$

μ ( n ) - função Möbius

μ ( n ) , a função de Möbius, é importante por causa dafórmula de inversão de Möbius . Veja a convolução de Dirichlet , abaixo.

${\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {cases} (- 1) ^ {\ omega (n)} = (- 1) ^ {\ Omega (n)} & {\ text {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ text {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {cases}}}$

Isso implica que μ (1) = 1. (Porque Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - função Ramanujan tau

τ ( n ) , a função Ramanujan tau, é definida por suaidentidade de função geradora :

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ tau (n) q ^ {n} = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q ^ {n}) ^ {24}.}$

Embora seja difícil dizer exatamente o que "propriedade aritmética de n " ele "expressa", ( τ ( n ) é (2π) ^-12 vezes o n º coeficiente de Fourier no q-expansão do discriminante modular função) é incluído entre as funções aritméticas porque é multiplicativa e ocorre em identidades envolvendo certas funções σ _k ( n ) e r _k ( n ) (porque também são coeficientes na expansão de formas modulares ).

c _q ( n ) - soma de Ramanujan

c _q ( n ) , soma de Ramanujan, é a soma dosnº poderes do primitivoqthraízes da unidade:

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq a \ leq q} {\ gcd (a, q) = 1}} e ^ {2 \ pi i {\ tfrac {a } {q}} n}.}$

Embora seja definido como uma soma de números complexos (irracional para a maioria dos valores de q ), é um número inteiro. Para um valor fixo de n , é multiplicativo em q :

Se q e r são coprime , então${\ displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ ( n ) - função Dedekind psi

A função Dedekind psi , usada na teoria das funções modulares , é definida pela fórmula

${\ displaystyle \ psi (n) = n \ prod _ {p | n} \ left (1 + {\ frac {1} {p}} \ right).}$

Funções completamente multiplicativas

λ ( n ) - função Liouville

λ ( n ) , a função de Liouville, é definida por

${\ displaystyle \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)}.}$

χ ( n ) - caracteres

Todos os caracteres de Dirichlet χ ( n ) são completamente multiplicativos. Dois caracteres têm notações especiais:

O caractere principal (mod n ) é denotado por χ ₀ ( a ) (ou χ ₁ ( a )). É definido como

${\ displaystyle \ chi _ {0} (a) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ gcd (a, n) = 1, \\ 0 & {\ text {if}} \ gcd ( a, n) \ neq 1. \ end {casos}}}$

O caractere quadrático (mod n ) é denotado pelo símbolo de Jacobi para n ímpar (não é definido para n par ):

${\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right) ^ {a_ {1}} \ left ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ right) ^ {a_ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}} \ right ) ^ {a _ {\ omega (n)}}.}$

Nesta fórmula está o símbolo de Legendre , definido para todos os inteiros a e todos os primos ímpares p por ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a \ equiv 0 {\ pmod {p} }, \\ + 1 & {\ text {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {e para algum inteiro}} x, \; a \ equiv x ^ {2} {\ pmod {p}} \\ - 1 & {\ text {se não existir}} x. \ end {casos}}}$

Seguindo a convenção normal para o produto vazio, ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$

Funções aditivas

ω ( n ) - divisores primos distintos

ω ( n ) , definido acima como o número de primos distintos dividindo n , é aditivo (consulte Função ômega principal ).

Funções totalmente aditivas

Ω ( n ) - divisores primos

Ω ( n ) , definido acima como o número de fatores primos de n contados com multiplicidades, é completamente aditivo (consulte Função ômega principal ).

ν _p ( n ) - valoração p -adica de um inteiro n

Para um primo fixo p , ν _p ( n ) , definido acima como o expoente da maior potência de p dividindo n , é completamente aditivo.

Nem multiplicativo nem aditivo

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x ) - funções de contagem de primos

Essas funções importantes (que não são funções aritméticas) são definidas para argumentos reais não negativos e são usadas nas várias declarações e provas do teorema dos números primos . Elas são funções de soma (veja a seção principal logo abaixo) de funções aritméticas que não são multiplicativas nem aditivas.

π ( x ) , a função de contagem de primos, é o número de primos que não excedex. É a função de soma da funçãocaracterísticados números primos.

${\ displaystyle \ pi (x) = \ sum _ {p \ leq x} 1}$

Uma função relacionada conta potências primos com peso 1 para primos, 1/2 para seus quadrados, 1/3 para cubos, ... É a função de soma da função aritmética que assume o valor 1 / k em inteiros que são k -ésima potência de algum número primo e o valor 0 em outros inteiros.

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} {\ frac {1} {k}}.}$

θ ( x ) e ψ ( x ), as funções de Chebyshev, são definidas como somas dos logaritmos naturais dos primos não excedendox.

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p,}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p.}$

A função Chebyshev ψ ( x ) é a função de soma da função de von Mangoldt logo abaixo.

Λ ( n ) - função de von Mangoldt

Λ ( n ) , a função de von Mangoldt, é 0, a menos que o argumento n seja uma potência primo p ^k , caso em que é o logarítmico natural do primo p :

${\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ log p & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, \ ldots = p ^ {k} {\ text {é uma potência primária}} \\ 0 & {\ text {if}} n = 1,6,10,12,14,15,18,20,21, \ dots \; \ ; \; \; {\ text {não é uma potência primária}}. \ end {cases}}}$

p ( n ) - função de partição

p ( n ) , a função de partição, é o número de maneiras de representarncomo uma soma de inteiros positivos, onde duas representações com os mesmos somas em uma ordem diferente não são contadas como sendo diferentes:

${\ displaystyle p (n) = | \ left \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ cdots \ leq a_ {k} \; \ land \; n = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {k} \ right \} |.}$

λ ( n ) - função Carmichael

λ ( n ) , a função de Carmichael, é o menor número positivo tal que   para todoumcoprime an. Equivalentemente, é omínimo múltiplo comumdas ordens dos elementos dogrupo multiplicativo de inteiros módulo n . ${\ displaystyle a ^ {\ lambda (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

Para potências de números primos ímpares e para 2 e 4, λ ( n ) é igual à função totiente de Euler de n ; para potências de 2 maiores que 4, é igual a metade da função de Euler totient de n :

${\ displaystyle \ lambda (n) = {\ begin {cases} \; \; \ phi (n) & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13, 17,19,23,25,27, \ dots \\ {\ tfrac {1} {2}} \ phi (n) & {\ text {if}} n = 8,16,32,64, \ dots \ fim {casos}}}$

e para n geral é o mínimo múltiplo comum de λ de cada um dos fatores de potência principais de n :

${\ displaystyle \ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}} p_ {2} ^ {a_ {2}} \ dots p _ {\ omega (n)} ^ {a _ {\ omega (n)}}) = \ operatorname {lcm} [\ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}}), \; \ lambda (p_ {2} ^ {a_ {2}}), \ dots, \ lambda (p _ {\ omega (n)} ^ {a _ {\ omega (n)}})].}$

h ( n ) - Número da classe

h ( n ) , a função de número de classe, é a ordem dogrupodeclasses idealde uma extensão algébrica dos racionais comdiscriminante n. A notação é ambígua, pois em geral existem muitas extensões com o mesmo discriminante. Vejacampo quadráticoecampociclotômicopara exemplos clássicos.

r _k ( n ) - Soma de k quadrados

r _k ( n ) é o número de maneiras comonpode ser representado como a soma dekquadrados, onde representações que diferem apenas na ordem das somas ou nos sinais das raízes quadradas são contadas como diferentes.

${\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}): n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {k} ^ {2} \} |}$

D ( n ) - Derivada aritmética

Usando a notação de Heaviside para a derivada, D ( n ) é uma função tal que

${\ displaystyle D (n) = 1}$se n primo, e

${\ displaystyle D (mn) = mD (n) + D (m) n}$( Regra do produto )

Funções de soma

Dada uma função aritmética a ( n ), sua função de soma A ( x ) é definida por

${\ displaystyle A (x): = \ sum _ {n \ leq x} a (n).}$

A pode ser considerado uma função de uma variável real. Dado um inteiro positivo m , A é constante ao longo dos intervalos abertos m < x < m + 1, e tem uma descontinuidade de salto em cada inteiro para o qual a ( m ) ≠ 0.

Uma vez que tais funções são frequentemente representadas por séries e integrais, para atingir a convergência pontual, é comum definir o valor nas descontinuidades como a média dos valores à esquerda e à direita:

${\ displaystyle A_ {0} (m): = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n <m} a (n) + \ sum _ {n \ leq m} a (n ) \ right) = A (m) - {\ frac {1} {2}} a (m).}$

Os valores individuais das funções aritméticas podem flutuar descontroladamente - como na maioria dos exemplos acima. As funções de soma "suavizam" essas flutuações. Em alguns casos, pode ser possível encontrar um comportamento assintótico para a função de soma para x grande .

Um exemplo clássico desse fenômeno é dado pela função somatória do divisor , a função de soma de d ( n ), o número de divisores de n :

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} d (n) = 2}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log d (n) \ log \ log n} {\ log n}} = \ log 2}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d (1) + d (2) + \ cdots + d (n)} {\ log (1) + \ log (2) + \ cdots + \ log (n)}} = 1.}$

Uma ordem média de uma função aritmética é alguma função mais simples ou melhor compreendida que tem a mesma função de soma assintoticamente e, portanto, assume os mesmos valores "em média". Dizemos que g é uma ordem média de f se

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} f (n) \ sim \ sum _ {n \ leq x} g (n)}$

já que x tende ao infinito. O exemplo acima mostra que d ( n ) possui o log de pedido médio ( n ).

Convolução de Dirichlet

Dada uma função aritmética a ( n ), seja F _a ( s ), para s complexos , a função definida pela série de Dirichlet correspondente (onde ela converge ):

${\ displaystyle F_ {a} (s): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}}.}$

F _a ( s ) é chamada de função geradora de a ( n ). A mais simples dessas séries, correspondendo à função constante a ( n ) = 1 para todo n , é ς ( s ) a função zeta de Riemann .

A função geradora da função Möbius é o inverso da função zeta:

${\ displaystyle \ zeta (s) \, \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = 1, \; \; {\ mathfrak {R}} \, s> 0.}$

Considere duas funções aritméticas um e B e as suas respectivas funções de geração de F _uma ( s ) e F _b ( s ). O produto F _a ( s ) F _b ( s ) pode ser calculado da seguinte forma:

${\ displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = \ left (\ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (m)} {m ^ {s}} } \ right) \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {b (n)} {n ^ {s}}} \ right).}$

É um exercício simples mostrar que se c ( n ) é definido por

${\ displaystyle c (n): = \ sum _ {ij = n} a (i) b (j) = \ sum _ {i \ mid n} a (i) b \ left ({\ frac {n} { eu certo),}$

então

${\ displaystyle F_ {c} (s) = F_ {a} (s) F_ {b} (s).}$

Esta função c é chamada a convolução Dirichlet de um e b , e é denotado por . ${\ displaystyle a * b}$

Um caso particularmente importante é a convolução com a função constante a ( n ) = 1 para todo n , correspondendo à multiplicação da função geradora pela função zeta:

${\ displaystyle g (n) = \ sum _ {d \ mid n} f (d).}$

Multiplicando pelo inverso da função zeta dá a fórmula de inversão de Möbius :

${\ displaystyle f (n) = \ sum _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) g (d).}$

Se f é multiplicativo, então g também é . Se f é completamente multiplicativo, então g é multiplicativo, mas pode ou não ser completamente multiplicativo.

Relações entre as funções

Existem muitas fórmulas que conectam as funções aritméticas entre si e com as funções de análise, especialmente poderes, raízes e as funções exponencial e logarítmica. As identidades da soma do divisor da página contém muitos exemplos mais generalizados e relacionados de identidades envolvendo funções aritméticas.

Aqui estão alguns exemplos:

Convoluções de Dirichlet

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu (\ delta) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) | \ mu (\ delta) | = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} n = 1 \\ 0 & {\ text {if}} n \ neq 1 \ end {cases}}}$     onde λ é a função de Liouville.

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) = n.}$      

${\ displaystyle \ varphi (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta = n \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta}}.}$       Inversão de Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} J_ {k} (d) = n ^ {k}.}$      

${\ displaystyle J_ {k} (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta ^ {k} = n ^ { k} \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta ^ {k}}}.}$       Inversão de Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ delta ^ {s} J_ {r} (\ delta) J_ {s} \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = J_ {r + s} (n)}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = \ sigma (n).}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} | \ mu (\ delta) | = 2 ^ {\ omega (n)}.}$      

${\ displaystyle | \ mu (n) | = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2 ^ {\ omega (\ delta)} .}$       Inversão de Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} 2 ^ {\ omega (\ delta)} = d (n ^ {2}).}$      

${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (n)} = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d (\ delta ^ {2} ).}$       Inversão de Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta ^ {2}) = d ^ {2} (n).}$      

${\ displaystyle d (n ^ {2}) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d ^ {2} (\ delta) .}$       Inversão de Möbius

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2 ^ {\ omega (\ delta)} = d ^ {2} (n) .}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda (\ delta) = {\ begin {cases} & 1 {\ text {if}} n {\ text {is a square}} \\ & 0 {\ text {if}} n {\ text {não é quadrado.}} \ end {cases}}}$     onde λ é a função de Liouville .

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ Lambda (\ delta) = \ log n.}$      

${\ displaystyle \ Lambda (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ log (\ delta).}$       Inversão de Möbius

Soma dos quadrados

Para todos     ( teorema dos quatro quadrados de Lagrange ). ${\ displaystyle k \ geq 4, \; \; \; r_ {k} (n)> 0.}$

${\ displaystyle r_ {2} (n) = 4 \ sum _ {d \ mid n} \ left ({\ frac {-4} {d}} \ right),}$

onde o símbolo Kronecker contém os valores

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right) = {\ begin {cases} +1 & {\ text {if}} n \ equiv 1 {\ pmod {4}} \\ - 1 & {\ text {if}} n \ equiv 3 {\ pmod {4}} \\\; \; \; 0 & {\ text {if}} n {\ text {is even}}. \\\ end { casos}}}$

Há uma fórmula para r ₃ na seção sobre os números das classes abaixo.

${\ displaystyle r_ {4} (n) = 8 \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {4 \, \ nmid \, d}} d = 8 (2 + (- 1) ^ {n}) \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d = {\ begin {cases} 8 \ sigma (n) & {\ text {if}} n {\ text { é ímpar}} \\ 24 \ sigma \ left ({\ frac {n} {2 ^ {\ nu}}} \ right) & {\ text {if}} n {\ text {is even}} \ end { casos}},}$    

onde ν = ν ₂ ( n ) .    

${\ displaystyle r_ {6} (n) = 16 \ sum _ {d \ mid n} \ chi \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) d ^ {2} -4 \ sum _ { d \ mid n} \ chi (d) d ^ {2},}$

Onde ${\ displaystyle \ chi (n) = \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right).}$

Defina a função σ _k ^* ( n ) como

${\ displaystyle \ sigma _ {k} ^ {*} (n) = (- 1) ^ {n} \ sum _ {d \ mid n} (- 1) ^ {d} d ^ {k} = {\ começar {casos} \ sum _ {d \ mid n} d ^ {k} = \ sigma _ {k} (n) & {\ text {if}} n {\ text {é ímpar}} \\\ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ mid \, d}} d ^ {k} - \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d ^ {k} & {\ text {if}} n {\ text {is even}}. \ end {cases}}}$

Ou seja, se n for ímpar, σ _k ^* ( n ) é a soma das k ésimas potências dos divisores de n , ou seja, σ _k ( n ), e se n for par é a soma das k ésimas potências dos divisores pares de n menos a soma das k- ésimas potências dos divisores ímpares de n .

${\ displaystyle r_ {8} (n) = 16 \ sigma _ {3} ^ {*} (n).}$    

Adote a convenção de que τ ( x ) = 0 de Ramanujan se x não for um inteiro.

${\ displaystyle r_ {24} (n) = {\ frac {16} {691}} \ sigma _ {11} ^ {*} (n) + {\ frac {128} {691}} \ left \ {( -1) ^ {n-1} 259 \ tau (n) -512 \ tau \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) \ right \}}$    

Convoluções de soma divisora

Aqui, "convolução" não significa "convolução de Dirichlet", mas se refere à fórmula para os coeficientes do produto de duas séries de potências :

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n } x ^ {n} \ right) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {i} b_ {j} x ^ {i + j } = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ right) x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} x ^ {n}.}$

A sequência é chamada de convolução ou produto de Cauchy das sequências a _n e b _n . Essas fórmulas podem ser comprovadas analiticamente (ver série de Eisenstein ) ou por métodos elementares. ${\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} (n) = {\ frac {1} {5}} \ left \ {6n \ sigma _ {1} (n) - \ sigma _ {1} (n) +12 \ soma _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {1} (nk) \ right \}.}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {5} (n) = {\ frac {1} {21}} \ left \ {10 (3n-1) \ sigma _ {3} (n) + \ sigma _ {1} ( n) +240 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {3} (nk) \ right \}.}$    

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sigma _ {7} (n) & = {\ frac {1} {20}} \ left \ {21 (2n-1) \ sigma _ {5} (n) - \ sigma _ {1} (n) +504 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \} \\ & = \ sigma _ {3} (n) +120 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {3} (nk). \ End {alinhado}}}$    

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sigma _ {9} (n) & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {10 (3n-2) \ sigma _ {7} (n) + \ sigma _ {1} (n) +480 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {7} (nk) \ right \} \\ & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {21 \ sigma _ {5} (n) -10 \ sigma _ {3} (n) +5040 \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \}. \ end {alinhado}}}$    

${\ displaystyle \ tau (n) = {\ frac {65} {756}} \ sigma _ {11} (n) + {\ frac {691} {756}} \ sigma _ {5} (n) - { \ frac {691} {3}} \ sum _ {0 <k <n} \ sigma _ {5} (k) \ sigma _ {5} (nk),}$     onde τ ( n ) é a função de Ramanujan.    

Como σ _k ( n ) (para número natural k ) e τ ( n ) são inteiros, as fórmulas acima podem ser usadas para provar congruências para as funções. Veja a função Ramanujan tau para alguns exemplos.

Estenda o domínio da função de partição definindo p (0) = 1.

${\ displaystyle p (n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ sigma (k) p (nk).}$       Essa recorrência pode ser usada para calcular p ( n ).

Número de classe relacionado

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descobriu fórmulas que relacionam o número de classe h de campos de números quadráticos ao símbolo de Jacobi.

Um inteiro D é chamado de discriminante fundamental se for o discriminante de um campo de número quadrático. Isso é equivalente a D ≠ 1 e a) D é livre de quadrados e D ≡ 1 (mod 4) ou b) D ≡ 0 (mod 4), D / 4 é livre de quadrados e D / 4 ≡ 2 ou 3 (mod 4 )

Estenda o símbolo Jacobi para aceitar números pares no "denominador", definindo o símbolo Kronecker :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a {\ text {is even}} \ \ (- 1) ^ {\ frac {a ^ {2} -1} {8}} & {\ text {if}} a {\ text {é ímpar. }} \ end {cases}}}$

Então, se D <−4 é um discriminante fundamental

${\ displaystyle {\ begin {align} h (D) & = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {r = 1} ^ {| D |} r \ left ({\ frac {D} { r}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2- \ left ({\ tfrac {D} {2}} \ right)}} \ sum _ {r = 1} ^ {| D | / 2} \ left ({\ frac {D} {r}} \ right). \ End {alinhado}}}$

Também existe uma fórmula que relaciona r ₃ e h . Novamente, seja D um discriminante fundamental, D <−4. Então

${\ displaystyle r_ {3} (| D |) = 12 \ left (1- \ left ({\ frac {D} {2}} \ right) \ right) h (D).}$

Relacionado com a contagem principal

Vamos   ser o n º número harmônica . Então ${\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}$

${\ displaystyle \ sigma (n) \ leq H_ {n} + e ^ {H_ {n}} \ log H_ {n}}$   é verdadeiro para todo número natural n se e somente se a hipótese de Riemann for verdadeira.    

A hipótese de Riemann também é equivalente à afirmação de que, para todo n > 5040,

${\ displaystyle \ sigma (n) <e ^ {\ gamma} n \ log \ log n}$     (onde γ é a constante de Euler-Mascheroni ). Este é o teorema de Robin .

${\ displaystyle \ sum _ {p} \ nu _ {p} (n) = \ Omega (n).}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$    

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$    

${\ displaystyle e ^ {\ theta (x)} = \ prod _ {p \ leq x} p.}$    

${\ displaystyle e ^ {\ psi (x)} = \ operatorname {lcm} [1,2, \ dots, \ lfloor x \ rfloor].}$    

Identidade de Menon

Em 1965, P Kesava Menon provou

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ gcd (k-1, n) = \ varphi (n) d (n). }$

Isso foi generalizado por vários matemáticos. Por exemplo,

B. Sury

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -1, k_ {2}, \ dots, k_ {s}, n) = \ varphi (n) \ sigma _ {s-1} (n).}$

N. Rao

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, k_ {2}, \ dots , k_ {s}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -a_ {1}, k_ {2} -a_ {2}, \ dots, k_ {s} -a_ {s}, n) ^ {s} = J_ {s} (n) d (n),}$

onde a ₁ , a ₂ , ..., a _s são inteiros, gcd ( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.

László Fejes Tóth

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq m} {\ gcd (k, m) = 1}} \ gcd (k ^ {2} -1, m_ {1}) \ gcd (k ^ {2} -1, m_ {2}) = \ varphi (n) \ sum _ {\ stackrel {d_ {1} \ mid m_ {1}} {d_ {2} \ mid m_ {2}}} \ varphi (\ gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2 ^ {\ omega (\ operatorname {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))},}$

onde m ₁ e m ₂ são ímpares, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ).

Na verdade, se f é qualquer função aritmética

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} f (\ gcd (k-1, n)) = \ varphi (n) \ sum _ {d \ mid n} {\ frac {(\ mu * f) (d)} {\ varphi (d)}},}$

onde * representa a convolução de Dirichlet.

Diversos

Sejam m e n distintos, ímpares e positivos. Então, o símbolo de Jacobi satisfaz a lei da reciprocidade quadrática :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (- 1) ^ {(m-1) (n- 1) / 4}.}$    

Seja D ( n ) a derivada aritmética. Então, a derivada logarítmica

${\ displaystyle {\ frac {D (n)} {n}} = \ sum _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} {\ frac {v_ {p} (n )} {p}}}$

Seja λ ( n ) a função de Liouville. Então

${\ displaystyle | \ lambda (n) | \ mu (n) = \ lambda (n) | \ mu (n) | = \ mu (n),}$     e

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = | \ mu (n) | = \ mu ^ {2} (n).}$    

Seja λ ( n ) a função de Carmichael. Então

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mid \ phi (n).}$     Avançar,

${\ displaystyle \ lambda (n) = \ phi (n) {\ text {se e somente se}} n = {\ begin {cases} 1,2,4; \\ 3,5,7,9,11, \ ldots {\ text {(isto é,}} p ^ {k} {\ text {, onde}} p {\ text {é um primo ímpar)}}; \\ 6,10,14,18, \ ldots {\ text {(isto é,}} 2p ^ {k} {\ text {, onde}} p {\ text {é um primo ímpar)}}. \ end {casos}}}$

Consulte Grupo multiplicativo de módulos inteiros n e Módulo raiz primitiva n .  

${\ displaystyle 2 ^ {\ omega (n)} \ leq d (n) \ leq 2 ^ {\ Omega (n)}.}$    

${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} <{\ frac {\ phi (n) \ sigma (n)} {n ^ {2}}} <1.}$    

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} c_ {q} (n) & = {\ frac {\ mu \ left ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ right)} {\ phi \ left ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ right)}} \ phi (q) \\ & = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (q, n)} \ mu \ left ({\ frac {q} {\ delta}} \ right) \ delta. \ end {alinhado}}}$         Observe que  ${\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {\ delta \ mid q} \ mu \ left ({\ frac {q} {\ delta}} \ right) \ delta.}$    

${\ displaystyle c_ {q} (1) = \ mu (q).}$

${\ displaystyle c_ {q} (q) = \ phi (q).}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d ^ {3} (\ delta) = \ left (\ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta) \ right) ^ {2}.}$       Compare isso com 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\ displaystyle d (uv) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ mu (\ delta) d \ left ({\ frac {u} {\ delta}} \ right) d \ esquerda ({\ frac {v} {\ delta}} \ direita).}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (u) \ sigma _ {k} (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^ {k} \ sigma _ {k} \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^ {2}}} \ right).}$    

${\ displaystyle \ tau (u) \ tau (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^ {11} \ tau \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^ {2}}} \ right),}$     onde τ ( n ) é a função de Ramanujan.    

Os primeiros 100 valores de algumas funções aritméticas

n	fatoração	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	-1	-1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	-1	-1	1,10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	-1	-1	1,61	3	2	6	26	8	24	48
6	2,3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	-1	-1	1,95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	-1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1,10	4	3	13	91	4	30	104
10	2,5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	-1	-1	2,40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 · 3	4	2	3	-1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	-1	-1	2,56	6	2	14	170	8	24	112
14	2,7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3,5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	-1	-1	2,83	7	2	18	290	8	48	144
18	2, 3 2	6	2	3	-1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	-1	-1	2,94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 5	8	2	3	-1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3,7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	-1	-1	3,14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1,61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	-1	0	1,10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 7	12	2	3	-1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	-1	-1	3,37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	-1	-1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	-1	-1	3,43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	16	1	5	-1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2,17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5,7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 · 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	-1	-1	3,61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	-1	-1	3,71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	-1	-1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	-1	-1	3,76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	-1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	-1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2,23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	-1	-1	3,85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	16	2	5	-1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1,95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2,5 2	20	2	3	-1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3,17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	-1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	-1	-1	3,97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2, 3 3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2,29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	-1	-1	4,08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	-1	-1	4,11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2,31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	-1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5,13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	-1	-1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	-1	-1	4,20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 17	32	2	3	-1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3,23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2 · 5 · 7	24	3	3	-1	-1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	-1	-1	4,26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	-1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	-1	-1	4,29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2,37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3,5 2	40	2	3	-1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	-1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7,11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2,3,33	24	3	3	-1	-1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	-1	-1	4,37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	-1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1,10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2,41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	-1	-1	4,42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5,17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2,43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3,29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	-1	-1	4,49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 · 3 2 · 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7,13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	-1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3,31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2,47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5,19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	-1	-1	4,57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 2	42	2	3	-1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	-1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 · 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	fatoração	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )

Notas

Referências

• Tom M. Apostol (1976), Introdução à Teoria Analítica dos Números , Springer Undergraduate Texts in Mathematics , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2ª edição) , New York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
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Leitura adicional

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Arithmetical Functions. Uma introdução às propriedades elementares e analíticas das funções aritméticas e a algumas de suas propriedades quase periódicas , London Mathematical Society Lecture Note Series, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

links externos

• "Arithmetic function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Mais uma generalização da função totiente de Euler
• Huard, Ou, Spearman e Williams. Avaliação elementar de certas somas de convolução envolvendo funções do divisor
• Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius e as funções do Divisor
• László Tóth, Identidade de Menon e somas aritméticas representando funções de várias variáveis