Modulform - Modular form

I matematik er en modulær form en (kompleks) analytisk funktion på det øvre halvplan, der tilfredsstiller en bestemt form for funktionel ligning med hensyn til gruppevirkningen af den modulære gruppe og også tilfredsstiller en vækstbetingelse. Teorien om modulformer hører derfor til kompleks analyse, men teoriens vigtigste betydning har traditionelt været i dens forbindelser med talteori . Modulære former vises i andre områder, såsom algebraisk topologi , kuglepakning og strengteori .

En modulær funktion er en funktion, der ligesom en modulær form er uforanderlig i forhold til den modulære gruppe, men uden den betingelse, at f  ( z ) er holomorf i det øverste halvplan. I stedet er modulære funktioner meromorfe (det vil sige, de er næsten holomorfe bortset fra et sæt isolerede punkter).

Modulær formteori er et specielt tilfælde af den mere generelle teori om automatiske former og kan derfor nu ses som den mest konkrete del af en rig teori om diskrete grupper .

Generel definition af modulformularer

Generelt, givet en undergruppe af endeligt indeks , kaldet en aritmetisk gruppe , er en modulær form for niveau og vægt en holomorf funktion fra det øverste halvplan, således at følgende to betingelser er opfyldt:${\ displaystyle \ Gamma \ subset {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {H}} \ to \ mathbb {C}}$

1. ( automorfisk tilstand ) For enhver er der lighed${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$${\ displaystyle f (\ gamma (z)) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$

2. ( væksttilstand ) For enhver er funktionen begrænset til${\ displaystyle \ gamma \ i {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle (cz + d) ^ {- k} f (\ gamma (z))}$${\ displaystyle {\ text {im}} (z) \ til \ infty}$

hvor:

${\ displaystyle \ gamma = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ i {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

Derudover kaldes det en cusp-form, hvis den opfylder følgende vækstbetingelse:

3. ( cuspidal condition ) For enhver funktion som${\ displaystyle \ gamma \ i {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle (cz + d) ^ {- k} f (\ gamma (z)) \ til 0}$${\ displaystyle {\ text {im}} (z) \ til \ infty}$

Som sektioner af et linjebundt

Modulære former kan også fortolkes som sektioner af en bestemt linjebundt om modulvarianter . For en modulær form for niveau og vægt kan defineres som et element af${\ displaystyle \ Gamma \ subset {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle f \ i H ^ {0} (X _ {\ Gamma}, \ omega ^ {\ otimes k}) = M_ {k} (\ Gamma)}$

hvor er et kanonisk linjebundt på modulkurven${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle X _ {\ Gamma} = \ Gamma \ backslash ({\ mathcal {H}} \ cup \ mathbb {P} ^ {1} (\ mathbb {Q}))}$

Dimensionerne på disse rum af modulære former kan beregnes ved hjælp af Riemann – Roch sætningen . De klassiske modulformularer til er sektioner af et linjebundt på modulstakken af ​​elliptiske kurver . ${\ displaystyle \ Gamma = {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

Modulformularer til SL (2, Z)

Standard definition

En modulær form for vægt k for den modulære gruppe

${\ displaystyle {\ text {SL}} (2, \ mathbf {Z}) = \ venstre \ {\ venstre. {\ begynder {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ højre | a, b, c, d \ in \ mathbf {Z}, \ ad-bc = 1 \ højre \}}$

er en komplekse værdier funktion f på øvre halvplan H = { z ∈ C , Im ( z )> 0}, der opfylder følgende tre betingelser:   

1.  f  er en holomorf funktion på H .
2. For enhver z ∈ H og enhver matrix i SL (2, Z ) som ovenfor har vi:

   ${\ displaystyle f \ left ({\ frac {az + b} {cz + d}} \ right) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$

3.  f  kræves for at være holomorf som z → i ∞ .

Bemærkninger:

• Vægten k er typisk et positivt heltal.
• For ulige k kan kun nul-funktionen opfylde den anden betingelse.
• Den tredje betingelse formuleres også ved at sige, at f er "holomorf ved cusp", en terminologi, der forklares nedenfor.  
• Den anden betingelse for

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ qquad T = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

læser

${\ displaystyle f \ left (- {\ frac {1} {z}} \ right) = z ^ {k} f (z), \ qquad f (z + 1) = f (z)}$

henholdsvis. Da S og T genererer den modulære gruppe SL (2, Z ) , svarer den anden betingelse ovenfor til disse to ligninger.

• Da f  ( z + 1) =   f  ( z ) , er modulformer periodiske funktioner med periode 1 og har således en Fourier-serie . 

Definition i form af gitter eller elliptiske kurver

En modulær form kan ækvivalent defineres som en funktion F fra sættet af gitter i C til sættet med komplekse tal, der opfylder visse betingelser:

1. Hvis vi betragter gitteret Λ = Z α + Z z genereret af en konstant α og en variabel z , så er F (Λ) en analytisk funktion af z .
2. Hvis α er et komplekst tal, der ikke er nul, og α Λ er gitteret opnået ved at multiplicere hvert element af Λ med α , så er F ( α α ) = α ^{- k} F ( where ) hvor k er en konstant (typisk et positivt heltal) kaldes formens vægt .
3. Den absolutte værdi af F (Λ) forbliver afgrænset over, så længe den absolutte værdi for det mindste element uden for nul i Λ er afgrænset væk fra 0.

Hovedideen bevise ligestilling af de to definitioner er, at en sådan funktion F bestemmes, på grund af den anden betingelse, ved sine værdier på gitre af formen Z + Z τ , hvor τ ∈ H .

Eksempler

Eisenstein-serien

De enkleste eksempler fra dette synspunkt er Eisenstein-serien . For hvert lige heltal k > 2 definerer vi E _k (Λ) til at være summen af λ ^{- k} over alle ikke-nul-vektorer λ af Λ :

${\ displaystyle E_ {k} (\ Lambda) = \ sum _ {0 \ neq \ lambda \ in \ Lambda} \ lambda ^ {- k}.}$

Derefter E _k er en modulær form af vægt k .

For Λ = Z + Z τ har vi

${\ displaystyle E_ {k} (\ Lambda) = E_ {k} (\ tau) = \ sum _ {(0,0) \ neq (m, n) \ in \ mathbf {Z} ^ {2}} { \ frac {1} {(m + n \ tau) ^ {k}}},}$

og

${\ displaystyle {\ begin {align} E_ {k} \ left (- {\ frac {1} {\ tau}} \ right) & = \ tau ^ {k} E_ {k} (\ tau) \\ E_ {k} (\ tau +1) & = E_ {k} (\ tau) \ slut {justeret}}}$.

Betingelsen k > 2 er nødvendig for konvergens ; for ulige k er der annullering mellem λ ^{- k} og (- λ ) ^{- k} , så sådanne serier er identisk nul.

Theta fungerer af selv unimodular gitter

En selv unimodul gitter L i R ⁿ er et gitter genereret af n vektorer danner kolonner i en matrix af determinant 1 og opfylder den betingelse, at kvadratet på længden af hver vektor i L er et lige helt tal. Den såkaldte theta-funktion

${\ displaystyle \ vartheta _ {L} (z) = \ sum _ {\ lambda \ in L} e ^ {\ pi i \ Vert \ lambda \ Vert ^ {2} z}}$

konvergerer når Im (z)> 0, og som en konsekvens af Poisson-summeringsformlen kan det vises at være en modulær form for vægt n / 2 . Det er ikke så let at konstruere selv unimodulære gitter, men her er en måde: Lad n være et heltal, der kan deles med 8, og betragt alle vektorer v i R ⁿ således, at 2 v har heltalskoordinater, enten alle lige eller alle ulige, og sådan at summen af ​​koordinaterne for v er et lige heltal. Vi kalder dette gitter L _n . Når n = 8 , er dette gitteret genereret af rødderne i rodsystemet kaldet E ₈ . Fordi der kun er en modulær form af vægt 8 op til skalar multiplikation,

${\ displaystyle \ vartheta _ {L_ {8} \ times L_ {8}} (z) = \ vartheta _ {L_ {16}} (z),}$

selvom gitterene L ₈ × L ₈ og L ₁₆ ikke er ens. John Milnor bemærkede, at den 16-dimensionelle tori opnået ved at dividere R ¹⁶ med disse to gitter er følgelig eksempler på kompakte Riemannian-manifolder, som er isospektrale men ikke isometriske (se Hørelse af formen på en tromle .)

Den modulære forskelsbehandling

Den Dedekind eta funktion er defineret som

${\ displaystyle \ eta (z) = q ^ {1/24} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {n}), \ qquad q = e ^ {2 \ pi iz }.}$

hvor q kaldes nomen . Derefter er den modulære diskriminant Δ ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ²⁴ en modulær form for vægt 12. Tilstedeværelsen af ​​24 er relateret til det faktum, at Leech-gitteret har 24 dimensioner. En fejret formodning om Ramanujan hævdede, at når Δ ( z ) udvides som en effektserie i q, har koefficienten q ^p for enhver primær p den absolutte værdi ≤ 2 p ^11/2 . Dette blev bekræftet af arbejdet fra Eichler , Shimura , Kuga , Ihara og Pierre Deligne som et resultat af Delignes bevis for Weil-formodningerne , som blev vist at antyde Ramanujans formodninger.

Det andet og tredje eksempel giver et antydning til forbindelsen mellem modulformer og klassiske spørgsmål i talteori, såsom repræsentation af heltal ved kvadratiske former og partitionsfunktionen . Den afgørende konceptuelle sammenhæng mellem modulformer og talteori er tilvejebragt af teorien om Hecke-operatører , som også giver forbindelsen mellem teorien om modulære former og repræsentationsteorien .

Modulære funktioner

Når vægten k er nul, kan det vises ved hjælp af Liouville's sætning, at de eneste modulformer er konstante funktioner. Imidlertid fører lempelse af kravet om, at f er holomorf, til forestillingen om modulære funktioner . En funktion f  : H → C kaldes modulær iff, den opfylder følgende egenskaber:

1. f er meromorf i den åbne øvre halvplan H .
2. For hvert heltal matrix i modulære gruppe Γ , .${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle f \ left ({\ frac {az + b} {cz + d}} \ right) = f (z)}$
3. Som påpeget ovenfor indebærer den anden betingelse, at f er periodisk og derfor har en Fourier-serie . Den tredje betingelse er, at denne serie er af formen

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = -m} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2i \ pi nz}.}$

Det skrives ofte med (kvadratet i nomen ), som: ${\ displaystyle q = \ exp (2 \ pi iz)}$

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = -m} ^ {\ infty} a_ {n} q ^ {n}.}$

Dette kaldes også q- udvidelsen af f . Koefficienterne er kendt som Fourier-koefficienterne for f , og tallet m kaldes rækkefølgen af ​​polen på f ved i∞. Denne tilstand kaldes "meromorf ved spidsen", hvilket betyder, at kun endeligt mange negative- n- koefficienter er ikke-nul, så q- udvidelsen er afgrænset nedenfor, hvilket garanterer, at den er meromorf ved q  = 0.  ${\ displaystyle a_ {n}}$

En anden måde at udtrykke definitionen af ​​modulære funktioner på er at bruge elliptiske kurver : hvert gitter Λ bestemmer en elliptisk kurve C / Λ over C ; to gitter bestemmer isomorfe elliptiske kurver, hvis og kun hvis den ene opnås fra den anden ved at gange med et ikke-nul komplekst tal α . Således kan en modulær funktion også betragtes som en meromorf funktion på sæt af isomorfiske klasser af elliptiske kurver. For eksempel er j-invarianten j ( z ) af en elliptisk kurve, betragtet som en funktion på sættet af alle elliptiske kurver, en modulær funktion. Mere konceptuelt kan modulære funktioner betragtes som funktioner på modulrummet for isomorfismeklasser af komplekse elliptiske kurver.

En modulform f, der forsvinder ved q = 0 (svarende til en ₀ = 0 , også omskrevet som z = i ∞ ) kaldes en cusp-form ( Spitzenform på tysk ). Den mindste n, således at en _n ≠ 0 er rækkefølgen af ​​nul for f ved i ∞ .

En modulær enhed er en modulær funktion, hvis poler og nuller er begrænset til cusps.

Modulformularer til mere generelle grupper

Den funktionelle ligning, dvs. f 's adfærd med hensyn til kan lempes ved kun at kræve den til matricer i mindre grupper. ${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}}}$

Riemann-overfladen G \ H ^∗

Lad G være en undergruppe af SL (2, Z ), der har et endeligt indeks . En sådan gruppe G virker på H på samme måde som SL (2, Z ) . Den kvotienten topologisk rum G \ H kan vises at være en hausdorffrum . Det er typisk ikke kompakt, men kan komprimeres ved at tilføje et endeligt antal punkter kaldet cusps . Disse er punkter ved grænsen til H , dvs. i Q ∪ {∞}, således at der er et parabolisk element i G (en matrix med spor ± 2), der fastgør punktet. Dette giver et kompakt topologisk rum G \ H ^∗ . Desuden kan den være udstyret med strukturen af ​​en Riemann-overflade , som gør det muligt at tale om holo- og meromorfe funktioner.

Vigtige eksempler er for ethvert positivt heltal N en af kongruensundergrupperne

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {0} (N) & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ i {\ text {SL}} ( 2, \ mathbf {Z}): c \ equiv 0 {\ pmod {N}} \ right \} \\\ Gamma (N) & = \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end { pmatrix}} \ i {\ text {SL}} (2, \ mathbf {Z}): c \ equiv b \ equiv 0, a \ equiv d \ equiv 1 {\ pmod {N}} \ right \}. \ slutning {justeret}}}$

For G = Γ ₀ ( N ) eller Γ ( N ) betegnes mellemrummene G \ H og G \ H ^{∗ henholdsvis} Y ₀ ( N ) og X ₀ ( N ) og Y ( N ), X ( N ).

Geometrien af G \ H ^∗ kan forstås ved at studere grundlæggende domæner for G , dvs. delmængder D ⊂ H således, at D skærer hver kreds af G- handlingen på H nøjagtigt en gang og sådan, at lukningen af D møder alle kredsløb. For eksempel slægten af G \ H ^* kan beregnes.

Definition

En modulær form for G vægt k er en funktion på H tilfredsstiller ovennævnte funktionelle ligning for alle matricer i G , der er holomorf på H og på alle cusps af G . Igen er modulære former der forsvinder på alle cusps kaldet cusp formularer til G . De C -vector rum af modulære og cusp former for vægt k betegnes M _k ( G ) og S _k ( G ) , hhv. Tilsvarende er et meromorf funktion G \ H ^* kaldes en modulær funktion for G . I tilfælde G = Γ ₀ ( N ), er de også kaldet modulær / cusp former og funktioner niveau N . For G = Γ (1) = SL (2, Z ) giver dette de førnævnte definitioner tilbage.

Konsekvenser

Teorien om Riemann-overflader kan anvendes på G \ H ^{∗ for} at få yderligere information om modulære former og funktioner. For eksempel mellemrum M _k ( G ) og S _k ( G ) er endeligt dimensionale, og deres dimensioner kan beregnes takket være Riemann-Roch sætning med hensyn til geometrien af G -Aktion på H . For eksempel,

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbf {C}} M_ {k} \ left ({\ text {SL}} (2, \ mathbf {Z}) \ right) = {\ begin {cases} \ left \ lfloor k / 12 \ højre \ rfloor & k \ equiv 2 {\ pmod {12}} \\\ venstre \ lfloor k / 12 \ højre \ rfloor +1 & {\ text {ellers}} \ end {cases}}}$

hvor betegner gulvfunktionen og er jævn. ${\ displaystyle \ lfloor \ cdot \ rfloor}$${\ displaystyle k}$

De modulære funktioner udgør Riemann-overfladens funktionsfelt og danner derfor et felt af transcendens grad 1 (over C ). Hvis en modulær funktion f ikke er identisk 0, kan det vises, at antallet af nuller af f er lig med antallet af poler af f i lukningen af det fundamentale område R _Γ. Det kan vises, at feltet modul funktion af niveau N ( N ≥ 1) genereres af funktionerne j ( z ) og j ( Nz ).

Linjebundter

Situationen kan sammenlignes rentabelt med den, der opstår i søgningen efter funktioner i det projicerende rum P ( V ): I den indstilling vil man ideelt gerne have funktioner F på vektorrummet V, som er polynomiske i koordinaterne for v  ≠ 0 i V og tilfredsstil ligningen F ( cv ) =  F ( v ) for alle ikke-nul c . Desværre er de eneste sådanne funktioner konstanter. Hvis vi tillader nævnere (rationelle funktioner i stedet for polynomer), kan vi lade F være forholdet mellem to homogene polynomer i samme grad. Alternativt kan vi holde fast ved polynomer og løsne afhængigheden af c ved at lade F ( cv ) =  c ^k F ( v ). Opløsningerne er derefter de homogene polynomer med grad k . På den ene side danner disse et endeligt dimensionelt vektorrum for hver  k , og på den anden side, hvis vi lader k variere, kan vi finde tællere og nævnere til at konstruere alle de rationelle funktioner, der virkelig er funktioner på det underliggende projicerende rum P ( V ).

Man kan spørge, da de homogene polynomer ikke rigtig fungerer på P ( V ), hvad er de geometrisk set? Det algebrogeometriske svar er, at de er sektioner af en skive (man kan også sige et linjebund i dette tilfælde). Situationen med modulformer er nøjagtig analog.

Modulære former kan også tilgås med fordel fra denne geometriske retning, som sektioner af linjebundter på modulrummet for elliptiske kurver.

Ringe af modulære former

For en undergruppe Γ af SL (2, Z ) er ringen af ​​modulære former den graduerede ring, der genereres af de modulære former for Γ . Med andre ord, hvis M _k (Γ) være ringen af modulære former for vægt k , så ringen af modulære former af Γ er gradueret ring . ${\ displaystyle M (\ Gamma) = \ bigoplus _ {k> 0} M_ {k} (\ Gamma)}$

Ringe af modulære former for kongruensundergrupper af SL (2, Z ) genereres endeligt på grund af et resultat af Pierre Deligne og Michael Rapoport . Sådanne ringe med modulære former genereres i vægt højst 6, og forholdene genereres i vægt højst 12, når kongruensundergruppen har ikke-nul ulige vægt modulære former, og de tilsvarende grænser er 5 og 10, når der ikke er nogen ikke-nul ulige vægt modulære former .

Mere generelt er der formler for grænser for vægten af ​​generatorer af ringen af ​​modulære former og dens forhold til vilkårlige fuchsiske grupper .

Typer

Hele formularer

Hvis f er holomorf ved spidsen (har ingen pol ved q  = 0), kaldes det en hel modulær form .

Hvis f er meromorf, men ikke holomorf ved spidsen, kaldes det en ikke-hel modulær form . For eksempel er j-invarianten en ikke-hel modulær form af vægt 0 og har en simpel pol ved i∞.

Nye former

Nye former er et underrum af modulformer med en fast vægt, som ikke kan konstrueres ud fra modulære former med lavere vægte, der deler sig . De andre former kaldes gamle former . Disse gamle former kan konstrueres ved hjælp af følgende observationer: hvis de derefter giver en omvendt inkludering af modulformularer . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M | N}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1} (N) \ subseteq \ Gamma _ {1} (M)}$${\ displaystyle M_ {k} (\ Gamma _ {1} (M)) \ subseteq M_ {k} (\ Gamma _ {1} (N))}$

Cusp former

En cusp-form er en modulær form med en nul konstant koefficient i sin Fourier-serie. Det kaldes en cusp form, fordi formen forsvinder på alle cusps.

Generaliseringer

Der er en række andre anvendelser af udtrykket "modulær funktion" bortset fra denne klassiske; i teorien om Haar-målinger er det for eksempel en funktion Δ ( g ) bestemt af konjugationshandlingen.

Maass-former er reelle analytiske egenfunktioner af laplacien, men behøver ikke være holomorfe . De holomorfe dele af visse svage Maass-bølgeformer viser sig i det væsentlige at være Ramanujans mock theta-funktioner . Grupper, der ikke er undergrupper af SL (2, Z ), kan overvejes.

Hilbert modulære former er funktioner i n variabler, hver et komplekst tal i det øverste halvplan, der tilfredsstiller et modulært forhold for 2 × 2 matricer med poster i et helt reelt talfelt .

Siegel-modulformer er forbundet med større symplektiske grupper på samme måde, som klassiske modulformer er knyttet til SL (2, R ) ; med andre ord er de relateret til abelske sorter i samme forstand som klassiske modulformer (som undertiden kaldes elliptiske modulformer for at understrege pointen) er relateret til elliptiske kurver.

Jacobi former er en blanding af modulære former og elliptiske funktioner. Eksempler på sådanne funktioner er meget klassiske - Jacobi theta-funktionerne og Fourier-koefficienterne i Siegel-modulformer af slægt to - men det er en relativt nylig observation, at Jacobi-formerne har en aritmetisk teori, der er meget analog med den sædvanlige teori om modulære former.

Automorfe former udvide begrebet modulære former på generelle Lie grupper .

Modulære integraler af vægt k er meromorfe funktioner på det øvre halvplan af moderat vækst ved uendeligt, som ikke er modulære for vægt k af en rationel funktion.

Automorfe faktorer er funktionerne i formen,der bruges til at generalisere modularitetsrelationen, der definerer modulære former, så ${\ displaystyle \ varepsilon (a, b, c, d) (cz + d) ^ {k}}$

${\ displaystyle f \ left ({\ frac {az + b} {cz + d}} \ right) = \ varepsilon (a, b, c, d) (cz + d) ^ {k} f (z). }$

Funktionen er nebentypus af den modulære form. Funktioner som Dedekind eta-funktionen , en modulær form for vægt 1/2, kan være omfattet af teorien ved at tillade automatiske faktorer. ${\ displaystyle \ varepsilon (a, b, c, d)}$

Historie

Teorien om modulformer blev udviklet i fire perioder: først i forbindelse med teorien om elliptiske funktioner , i den første del af det nittende århundrede; derefter af Felix Klein og andre mod slutningen af ​​det nittende århundrede, da det automatiske formbegreb blev forstået (for en variabel); derefter af Erich Hecke fra omkring 1925; og derefter i 1960'erne, da behovet for talteori og formuleringen af modularitetssætningen især gjorde det klart, at modulformer er dybt implicerede.

Udtrykket "modulær form", som en systematisk beskrivelse, tilskrives normalt Hecke.

Bemærkninger

Referencer

• Apostol, Tom M. (1990), Modular features and Dirichlet Series in Number Theory , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0
• Diamond, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005), A First Course in Modular Forms , Graduate Texts in Mathematics, 228 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387232294 Fører op til en oversigt over beviset for modularitetssætningen .
• Gelbart, Stephen S. (1975), Automorfe formularer på Adèle-grupper , Annaler for matematikstudier, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR  0379375. Giver en introduktion til modulære former ud fra repræsentationsteoriens synspunkt .
• Hecke, Erich (1970), Mathematische Werke , Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht
• Rankin, Robert A. (1977), Modularformer og funktioner , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X
• Ribet, K .; Stein, W., Forelæsninger om modulære formularer og Hecke-operatører (PDF)
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic , Graduate Texts in Mathematics, 7 , New York: Springer-Verlag. Kapitel VII giver en elementær introduktion til teorien om modulære former .
• Shimura, Goro (1971), Introduktion til den aritmetiske teori om automatiske funktioner , Princeton, NJ: Princeton University Press. Giver en mere avanceret behandling.
• Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988), "Jacobi former and a certain space of modulære former", Inventiones Mathematicae , Springer