Aritmeettinen funktio - Arithmetic function

In lukuteoria , aritmeettinen , aritmeettista tai lukuteoreettisen toiminto on useimmille tekijöille tahansa funktio f ( n ), jonka domeeni on positiivisia kokonaislukuja , ja jonka kantama on osajoukko on kompleksilukuja . Hardy & Wright sisällyttävät määritelmäänsä vaatimuksen, jonka mukaan aritmeettinen funktio "ilmaisee jonkin aritmeettisen ominaisuuden n ".

Esimerkki aritmeettisesta funktiosta on jakajafunktio, jonka arvo positiivisella kokonaisluvulla n on yhtä suuri kuin jakajien lukumäärä n .

On olemassa suurempi lukumäärä teoreettisia funktioita, jotka eivät sovi yllä olevaan määritelmään, esimerkiksi alkulukutoiminnot . Tässä artikkelissa on linkkejä molempien luokkien toimintoihin.

Aritmeettiset funktiot ovat usein erittäin epäsäännöllisiä (katso taulukko ), mutta joillakin niistä on sarjalaajennuksia Ramanujanin summan suhteen .

Moninkertaiset ja lisätoiminnot

Aritmeettinen funktio a on

• täysin additiivinen, jos a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) kaikille luonnollisille numeroille m ja n ;
• täysin moninkertainen, jos a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) kaikille luonnollisille numeroille m ja n ;

Kaksi kokonaislukua m ja n kutsutaan yhteisrimeiksi, jos niiden suurin yhteinen jakaja on 1, eli jos ei ole alkulukua, joka jakaa ne molemmat.

Sitten aritmeettinen funktio a on

• lisäaine, jos a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) kaikille kopioluvun luonnollisille numeroille m ja n ;
• kertolasku, jos a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) kaikille rinnakkaisluvuille m ja n .

Merkintä

${\ displaystyle \ summa _ {p} f (p)}$   ja     tarkoittaa, että summa tai tuote on kaikkien alkulukujen päällä : ${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\ displaystyle \ summa _ {p} f (p) = f (2)+f (3)+f (5)+\ cdots}$

${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) \ cdots.}$

Samoin     ja     tarkoittaa, että summa tai tulo on kaikkien päätehtävien yli, joilla on ehdottomasti positiivinen eksponentti (joten k = 0 ei sisälly): ${\ displaystyle \ summa _ {p^{k}} f (p^{k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p^{k}} f (p^{k})}$

${\ displaystyle \ summa _ {p^{k}} f (p^{k}) = \ summa _ {p} \ summa _ {k> 0} f (p^{k}) = f (2)+ f (3)+f (4)+f (5)+f (7)+f (8)+f (9)+\ cdots}$

${\ displaystyle \ summa _ {d \ mid n} f (d)}$   ja     tarkoittavat, että summa tai tuote on kaikkien positiivisten n: n jakajien , mukaan lukien 1 ja n, yli . Jos esimerkiksi n = 12, ${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d)}$

${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid 12} f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (6) f (12). \}$

Merkinnät voidaan yhdistää:     ja ne     tarkoittavat, että summa tai tulo on kaikkien n: n pääjakajien päällä . Jos esimerkiksi n = 18, ${\ displaystyle \ summa _ {p \ mid n} f (p)}$${\ displaystyle \ prod _ {p \ mid n} f (p)}$

${\ displaystyle \ summa _ {p \ mid 18} f (p) = f (2)+f (3), \}$

ja vastaavasti     ja     tarkoittavat, että summa tai tuote on kaikkien päävoimien jakaessa n . Jos esimerkiksi n = 24, ${\ displaystyle \ summa _ {p^{k} \ mid n} f (p^{k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p^{k} \ mid n} f (p^{k})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p^{k} \ mid 24} f (p^{k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). \}$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - alkutehon hajoaminen

Aritmetiikan peruslause todetaan, että mikä tahansa positiivinen kokonaisluku n voidaan yksikäsitteisesti esittää kuin tuote valtuudet alkulukujen:     jossa p ₁ < p ₂ <... < p _k ovat alkuluvut ja _j ovat positiivisia kokonaislukuja. (1 on tyhjä tuote.) ${\ displaystyle n = p_ {1}^{a_ {1}} \ cdots p_ {k}^{a_ {k}}}$

Usein on kätevää kirjoittaa tämä äärettömäksi tuotteeksi kaikkien alukkeiden päälle, joissa kaikilla lukuun ottamatta äärellistä lukua on eksponentti nolla. Määritellä p -adic arvostus ν _p ( n ) on eksponentti Ylintä prime p , että jakaa n . Toisin sanoen, jos p on yksi p _i sitten ν _p ( n ) = _i , muuten se on nolla. Sitten

${\ displaystyle n = \ prod _ {p} p^{\ nu _ {p} (n)}.}$

Edellä esitetyn perusteella ensisijaiset omega -funktiot ω ja Ω määritellään

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

Toistumisen välttämiseksi tässä artikkelissa lueteltujen toimintojen kaavat annetaan aina, kun mahdollista, n: nä ja niitä vastaavina p _i , a _i , ω ja Ω.

Moninkertaiset toiminnot

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - jakajasummat

σ _k ( n ) on summa k: nnen toimivalta positiiviset tekijät n , mukaan lukien 1 ja n , missä k on kompleksiluku.

σ ₁ ( n ) , n: n (positiivisten) jakajien summa , on yleensä merkitty σ ( n ): llä .

Koska positiivinen luku nollan teholle on yksi, σ ₀ ( n ) on siis n: n (positiivisten) jakajien lukumäärä ; se on yleensä merkitty d ( n ) tai τ ( n ) (saksalainen Teiler = jakajat).

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1}^{\ omega (n)} {\ frac {p_ {i}^{(a_ {i} +1) k}- 1} {p_ {i}^{k} -1}} = \ prod _ {i = 1}^{\ omega (n)} \ vasen (1+p_ {i}^{k}+p_ {i} ^{2k} +\ cdots +p_ {i}^{a_ {i} k} \ oikea).}$

Asetus k = 0 toisessa tuotteessa antaa

${\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1+a_ {1}) (1+a_ {2}) \ cdots (1+a _ {\ omega (n)}).}$

φ ( n ) - Euler -kokonaisfunktio

ler ( n ) , Euler -kokonaisfunktio, on niiden positiivisten kokonaislukujen määrä,jotka ovatenintään n ja jotka ovat coprime n: ään .

${\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1-{\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ oikea) \ cdots \ vasen ({\ frac {p _ {\ omega (n)}-1} {p _ {\ omega (n)}}} \ oikea).}$

J _k ( n ) - Jordanin kokonaisfunktio

J _k ( n ) , Jordanin kokonaisfunktio, onpositiivisten kokonaislukujen k -pisteidenlukumäärä,jotka ovat kaikki pienempiä tai yhtä suuria kuin n ja muodostavatyhdessä n: n kanssa yhteistoiminnallisen( k + 1) -yhtymän. Se on Eulerin totientin yleistys, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\ displaystyle J_ {k} (n) = n^{k} \ prod _ {p \ mid n} \ left (1-{\ frac {1} {p^{k}}} \ right) = n^ {k} \ vasen ({\ frac {p_ {1}^{k} -1} {p_ {1}^{k}}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {p_ {2}^{k} -1} {p_ {2}^{k}}} \ oikea) \ cdots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)}^{k} -1} {p _ {\ omega (n)} ^{k}}} \ oikea).}$

μ ( n ) - Möbius -funktio

μ ( n ) , Möbiuksen funktio, on tärkeä Möbiuksen käänteiskaavan vuoksi . Katso Dirichletin konvoluutio alla.

${\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {case} (-1)^{\ omega (n)} = (-1)^{\ Omega (n)} & {\ text {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ text {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {tapaukset}}}$

Tämä tarkoittaa, että μ (1) = 1. (Koska Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - Ramanujan tau -funktio

τ ( n ) , Ramanujan tau -funktio, määritetään sen generoivan funktion identiteetillä:

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ tau (n) q^{n} = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q^{n})^{24}.}$

Vaikka se on vaikea sanoa, mitä "aritmeettinen ominaisuus n " se "ilmaisee", ( τ ( n ) on (2π) ^-12 kertaa n : nnen Fourier-kerroin on q-laajennus on modulaarinen erotteluanalyysi toiminto) se on sisällytetty aritmeettisten funktioiden joukossa, koska se on kertolaskuinen ja esiintyy identiteeteissä, joihin liittyy tiettyjä funktioita σ _k ( n ) ja r _k ( n ) (koska nämä ovat myös kertoimia modulaaristen muotojen laajentamisessa ).

c _q ( n ) - Ramanujanin summa

c _q ( n ) , Ramanujanin summa, on summan: nnen valtuudet primitiivisenq: nnenykkösenjuuresta:

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ summa _ {\ pino {1 \ leq a \ leq q} {\ gcd (a, q) = 1}} e^{2 \ pi i {\ tfrac {a } {q}} n}.}$

Vaikka se on määritelty kompleksilukujen summana (irrationaalinen useimmille q -arvoille ), se on kokonaisluku. Kiinteällä arvolla n se on kertolasku q : ssä:

Jos q ja r ovat rinnakkaisia , niin${\ displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ ( n ) - Dedekind psi -toiminto

Dedekind psi funktio , jota käytetään teorian modulaarinen toimintoja , on määritetty kaavalla

${\ displaystyle \ psi (n) = n \ prod _ {p | n} \ vasen (1+{\ frac {1} {p}} \ oikea).}$

Täysin moninkertaiset toiminnot

λ ( n ) - Liouvillen funktio

λ ( n ) , Liouville -funktio, määritellään

${\ displaystyle \ lambda (n) = (-1)^{\ Omega (n)}.}$

χ ( n ) - merkkiä

Kaikki Dirichlet -merkit χ ( n ) ovat täysin kertoja. Kahdella merkillä on erikoismerkinnät:

Pääasiallinen merkki (mod n ) merkitään χ ₀ ( ) (tai χ ₁ ( )). Se määritellään

${\ displaystyle \ chi _ {0} (a) = {\ aloita {tapaukset 1 ja {\ teksti {if}} \ gcd (a, n) = 1, \\ 0 & {\ teksti {if}} \ gcd ( a, n) \ neq 1. \ end {tapaukset}}$

Asteen merkki (mod n ) on merkitty Jacobin symboli parittomille n (sitä ei ole määritelty jopa n .):

${\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ vasen ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ oikea)^{a_ {1}} \ vasen ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ oikea)^{a_ {2}} \ cdots \ vasen ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}} \ oikea )^{a _ {\ omega (n)}}.}$

Tässä kaavassa on Legendren symboli , määritellään kaikki kokonaisluvut ja kaikki parittomat alkuluvut p mukaan ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {case} \; \; \, 0 & {\ text {if}} \ equiv 0 {\ pmod {p} }, \\+1 & {\ text {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {ja joillekin kokonaisluvuille}} x, \; a \ equiv x^{2} {\ pmod {p}} \\-1 & {\ text {jos sellaista ei ole}} x. \ end {tapaukset}}}$

Tyhjän tuotteen tavanomaisen käytännön mukaisesti ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$

Lisätoiminnot

ω ( n ) - erilliset pääjakajat

ω ( n ) , joka on määritelty edellä n: n jakavien alkulukujen lukumääräksi , on additiivinen (katso Prime omega -funktio ).

Täysin lisätoiminnot

Ω ( n ) - pääjakajat

Ω ( n ) , joka on määritelty edellä n: n alkutekijöiden lukumääränämonikertoimilla, on täysin additiivinen (katso Prime omega -funktio ).

ν _p ( n ) - p -adic arvostus kokonaisluvun n

Jos kiinteä prime p , ν _p ( n ) , määritelty edellä eksponentti suurin teho p jakamalla n , on täysin lisäaine.

Ei multiplikatiivinen eikä additiivinen

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x )-esilukutoiminnot

Nämä tärkeät funktiot (jotka eivät ole aritmeettisia funktioita) on määritelty ei-negatiivisille todellisille argumentteille, ja niitä käytetään alkuluvun lauseen eri lauseissa ja todisteissa . Ne ovat aritmeettisten funktioiden summatoimintoja (katso pääosa alla), jotka eivät ole kertoja- tai additiivisia.

π ( x ) , alkuluvun laskentafunktio, on alukkeiden lukumäärä, joka on enintäänx. Se on summattu funktiokarakteristinen funktioon alkulukuja.

${\ displaystyle \ pi (x) = \ summa _ {p \ leq x} 1}$

Aiheeseen liittyvä funktio laskee alkutehot painolla 1 alkeilla, 1/2 niiden neliöillä, 1/3 kuutioilla, ... Aritmeettisen funktion summausfunktio ottaa arvon 1/ k kokonaisluvuilla, jotka ovat k -jonkin alkuluvun teho ja muiden kokonaislukujen arvo 0.

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ summa _ {p^{k} \ leq x} {\ frac {1} {k}}.}$

θ ( x ) ja ψ ( x ), Chebyshev -funktiot, määritellään primaarien luonnollisten logaritmien summina, jotka ovat enintäänx.

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ summa _ {p \ leq x} \ log p,}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ summa _ {p^{k} \ leq x} \ loki s.}$

Chebyshev -funktio ψ ( x ) on alla olevan von Mangoldt -funktion summausfunktio.

Λ ( n ) - von Mangoldt -funktio

Λ ( n ) , von Mangoldt toiminto, on 0 ellei argumentti n on alkuluku teho p ^k , jolloin se on luonnollisen logaritmin prime p :

${\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ aloita {tapaukset} \ log p & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, \ ldots = p^{k} {\ text {on ensisijainen voima}} \\ 0 & {\ text {if}} n = 1,6,10,12,14,15,18,20,21, \ pisteitä \; \ ; \; \; {\ text {ei ole ensisijainen voima}}. \ end {tapaukset}}}$

p ( n ) - osiointitoiminto

p ( n ) , osiointitoiminto, on useiden tapojen määrä esittäänpositiivisten kokonaislukujen summana, jolloin kahta esitystä, joilla on samat kutsut eri järjestyksessä, ei lasketa erilaisiksi:

${\ displaystyle p (n) = | \ vasen \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ pisteitä a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ cdots \ leq a_ {k} \; \ maa \; n = a_ {1}+a_ {2}+\ cdots+a_ {k} \ oikea \} |.}$

λ ( n ) - Carmichaelin funktio

λ ( n ) , Carmichaelin toiminto, on pienin positiivinen numero siten, että   kaikkiyhteisiä tekijöitä onn. Vastaavasti se onkokonaislukujen modulo n -ryhmänalkuaineiden järjestystenvähiten yhteinen monikerta. ${\ displaystyle a^{\ lambda (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

Parittomien alkutekijöiden ja 2 ja 4 osalta λ ( n ) on yhtä suuri kuin Eulerin kokonaisfunktio n ; jos teho 2 on suurempi kuin 4, se on puolet Eulerin kokonaisfunktiosta n :

${\ displaystyle \ lambda (n) = {\ begin {case} \; \; \ phi (n) & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13, 17,19,23,25,27, \ pisteitä \\ {\ tfrac {1} {2}} \ phi (n) & {\ teksti {if}} n = 8,16,32,64, \ pisteitä \ loppu {tapaukset}}}$

ja yleiseen n se on pienimmän yhteisen jaettavan λ kunkin Päävoimalähteeseen tekijät n :

${\ displaystyle \ lambda (p_ {1}^{a_ {1}} p_ {2}^{a_ {2}} \ pisteitä p _ {\ omega (n)}^{a _ {\ omega (n)}}) = \ operaattorinimi {lcm} [\ lambda (p_ {1}^{a_ {1}}), \; \ lambda (p_ {2}^{a_ {2}}), \ pisteitä, \ lambda (p _ {\ omega (n)}^{a _ {\ omega (n)}})]]}$

h ( n ) - Luokan numero

h ( n ) , luokan numerofunktio, onjärjenideaaliluokkaryhmä, joka on rationaalien algebrallinen laajennussyrjivällä n: llä. Merkintä on epäselvä, koska yleensä on monia laajennuksia, joilla on sama erottelija. Katsoneliömäinen kentänjacyclotomic kentänklassisen esimerkkejä.

r _k ( n ) - k neliön summa

r _k ( n ) on tapa, jollanvoidaan esittääk: nneliöiden summana, jos esitykset, jotka eroavat vain summausjärjestyksessä tai neliöjuuren merkeissä, lasketaan erilaisiksi.

${\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ pisteitä, a_ {k}): n = a_ {1}^{2}+a_ {2}^ {2} +\ cdots +a_ {k}^{2} \} |}$

D ( n ) - Aritmeettinen johdannainen

Käyttämällä Heaviside -merkintää johdannaiselle D ( n ) on sellainen funktio, että

${\ displaystyle D (n) = 1}$jos n prime, ja

${\ displaystyle D (mn) = mD (n)+D (m) n}$( Tuotesääntö )

Yhteenvetotoiminnot

Kun on annettu aritmeettinen funktio a ( n ), sen summausfunktio A ( x ) määritellään

${\ displaystyle A (x): = \ summa _ {n \ leq x} a (n).}$

A: ta voidaan pitää reaalimuuttujan funktiona. Kun positiivinen kokonaisluku m on , A on vakio avoimilla aikaväleillä m < x < m + 1, ja sillä on hyppy -epäjatkuvuus jokaisella kokonaisluvulla, jolle a ( m ) ≠ 0.

Koska tällaisia ​​toimintoja edustavat usein sarjat ja integraalit, pistekohtaisen lähentymisen saavuttamiseksi on tavallista määritellä epäjatkuvuusarvo vasemmalla ja oikealla olevien arvojen keskiarvona:

${\ displaystyle A_ {0} (m): = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n <m} a (n)+\ summa _ {n \ leq m} a (n ) \ right) = A (m)-{\ frac {1} {2}} a (m).}$

Aritmeettisten funktioiden yksittäiset arvot voivat vaihdella villisti - kuten useimmissa yllä olevissa esimerkeissä. Yhteenlaskutoiminnot "tasoittavat" nämä vaihtelut. Joissakin tapauksissa voi olla mahdollista löytää asymptoottinen käyttäytyminen summatoiminnolle suurelle x: lle .

Klassisen esimerkin tästä ilmiöstä antaa jakajan summausfunktio , d ( n ): n summausfunktio, n : n jakajien lukumäärä :

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} d (n) = 2}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log d (n) \ log \ log n} {\ log n}} = \ log 2}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d (1)+d (2)+\ cdots+d (n)} {\ log (1)+\ log (2)+\ cdots +\ loki (n)}} = 1.}$

Keskimääräinen järjestyksessä aritmeettisen funktion on noin yksinkertaisempaa tai paremmin ymmärtää toiminto, joka on sama summaustoimintoon asymptoottisesti, ja siten ottaa samat arvot "keskimäärin". Sanomme, että g on keskimäärin järjestys on f , jos

${\ displaystyle \ summa _ {n \ leq x} f (n) \ sim \ sum _ {n \ leq x} g (n)}$

kuten x pyrkii äärettömyyteen. Yllä oleva esimerkki osoittaa, että d ( n ): llä on keskimääräinen tilausloki ( n ).

Dirichletin konvoluutio

Kun otetaan huomioon aritmeettinen funktio a ( n ), olkoon F _a ( s ) kompleksin s tapauksessa funktio, joka on määritelty vastaavassa Dirichlet -sarjassa (missä se yhtyy ):

${\ displaystyle F_ {a} (s): = \ summa _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {a (n)} {n^{s}}}.}$

F ( t ) kutsutaan generoiva funktio on ( n ). Yksinkertaisin tällainen sarja, joka vastaa vakiofunktiota a ( n ) = 1 kaikille n , on ς ( s ) Riemannin zeta -funktio .

Möbius -funktion tuottava funktio on zeta -funktion käänteisfunktio:

${\ displaystyle \ zeta (s) \, \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}} = 1, \; \; {\ matematiikka {R}} \, s> 0.}$

Tarkastellaan kahta aritmeettista funktiota a ja b ja niiden vastaavia generointitoimintoja F _a ( s ) ja F _b ( s ). Tuote F _a ( s ) F _b ( s ) voidaan laskea seuraavasti:

${\ displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = \ left (\ sum _ {m = 1}^{\ infty} {\ frac {a (m)} {m^{s}} } \ oikea) \ vasen (\ summa _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {b (n)} {n^{s}}} \ oikea).}$

Se on yksinkertainen tehtävä osoittaa, että jos c ( n ) on määritelty

${\ displaystyle c (n): = \ summa _ {ij = n} a (i) b (j) = \ summa _ {i \ mid n} a (i) b \ vasen ({\ frac {n} { Olen oikea),}$

sitten

${\ displaystyle F_ {c} (s) = F_ {a} (s) F_ {b} (}).}$

Tämä toiminto c kutsutaan dirichlet'n konvoluutio ja ja b , ja merkitään . ${\ displaystyle a*b}$

Erityisen tärkeä tapaus on konvoluutio, jossa vakiofunktio a ( n ) = 1 kaikille n , mikä vastaa generoivan funktion kertomista zeta -funktiolla:

${\ displaystyle g (n) = \ summa _ {d \ mid n} f (d).}$

Zeta -funktion käänteisellä kertomalla saadaan Möbiuksen käänteiskaava :

${\ displaystyle f (n) = \ summa _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) g (d).}$

Jos f on kertolasku, niin niin on myös g . Jos f on täysin multiplikatiivinen, niin g on multiplikatiivinen, mutta voi olla tai ei olla täysin multiplikatiivinen.

Suhteet toimintojen välillä

On olemassa monia kaavoja, jotka yhdistävät aritmeettiset funktiot toisiinsa ja analyysitoimintoihin, erityisesti tehot, juuret sekä eksponentiaaliset ja lokitoiminnot. Sivun jakajien summa -identiteetit sisältävät paljon yleisempiä ja niihin liittyviä esimerkkejä identiteeteistä, joihin liittyy aritmeettisia funktioita.

Tässä muutama esimerkki:

Dirichletin käänteet

${\ displaystyle \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu (\ delta) = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ lambda \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) | \ mu (\ delta) | = {\ aloita {tapaukset} 1 ja {\ teksti {if}} n = 1 \\ 0 & {\ teksti {if}} n \ neq 1 \ loppu {tapaukset}}}$     jossa λ on Liouvillen funktio.

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) = n.}$      

${\ displaystyle \ varphi (n) = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) \ delta = n \ summa _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta}}.}$       Möbiuksen inversio

${\ displaystyle \ summa _ {d \ mid n} J_ {k} (d) = n^{k}.}$      

${\ displaystyle J_ {k} (n) = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) \ delta ^{k} = n ^{ k} \ summa _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta ^{k}}}.}$       Möbiuksen inversio

${\ displaystyle \ summa _ {\ delta \ mid n} \ delta ^{s} J_ {r} (\ delta) J_ {s} \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) = J_ {r+s} (n)}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = \ sigma (n).}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} | \ mu (\ delta) | = 2^{\ omega (n)}.}$      

${\ displaystyle | \ mu (n) | = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) 2^{\ omega (\ delta)} .}$       Möbiuksen inversio

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} 2^{\ omega (\ delta)} = d (n^{2}).}$      

${\ displaystyle 2 ^{\ omega (n)} = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) d (\ delta ^{2} ).}$       Möbiuksen inversio

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta ^{2}) = d ^{2} (n).}$      

${\ displaystyle d (n^{2}) = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) d^{2} (\ delta) .}$       Möbiuksen inversio

${\ displaystyle \ summa _ {\ delta \ mid n} d \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) 2^{\ omega (\ delta)} = d^{2} (n) .}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda (\ delta) = {\ begin {case} & 1 {\ text {if}} n {\ text {is a square}} \\ & 0 {\ text {if}} n {\ teksti {ei ole neliö.}} \ end {tapaukset}}}$     jossa λ on Liouvillen funktio .

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ Lambda (\ delta) = \ log n.}$      

${\ displaystyle \ Lambda (n) = \ summa _ {\ delta \ mid n} \ mu \ vasen ({\ frac {n} {\ delta}} \ oikea) \ log (\ delta).}$       Möbiuksen inversio

Neliöiden summat

Kaikille     ( Lagrangen neljän neliön lause ). ${\ displaystyle k \ geq 4, \; \; \; r_ {k} (n)> 0.}$

${\ displaystyle r_ {2} (n) = 4 \ summa _ {d \ mid n} \ vasen ({\ frac {-4} {d}} \ oikea),}$

jossa Kronecker -symbolilla on arvot

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right) = {\ begin {case} +1 ja {\ text {if}} n \ equiv 1 {\ pmod {4}} \\- 1 & {\ text {if}} n \ equiv 3 {\ pmod {4}} \\\; \; \; 0; {\ text {if}} n {\ text {is even}}. \\\ end { tapaukset}}}$

Alla olevassa luokan numeroita koskevassa osassa on kaava r ₃ : lle .

${\ displaystyle r_ {4} (n) = 8 \ summa _ {\ pino {d \ mid n} {4 \, \ nmid \, d}} d = 8 (2+(-1)^{n}) \ sum _ {\ pino {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d = {\ aloita {tapaukset} 8 \ sigma (n) & {\ text {if}} n {\ text { on pariton}} \\ 24 \ sigma \ left ({\ frac {n} {2^{\ nu}}} \ right) & {\ text {if}} n {\ text {is even}} \ end { tapaukset}},}$    

jossa ν = ν ₂ ( n ) .    

${\ displaystyle r_ {6} (n) = 16 \ summa _ {d \ mid n} \ chi \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) d^{2} -4 \ sum _ { d \ mid n} \ chi (d) d^{2},}$

missä ${\ displaystyle \ chi (n) = \ vasen ({\ frac {-4} {n}} \ oikea).}$

Määrittele funktio σ _k ^* ( n ) as

${\ displaystyle \ sigma _ {k}^{*} (n) = (-1)^{n} \ summa _ {d \ mid n} (-1)^{d} d^{k} = {\ aloita {tapaukset} \ sum _ {d \ mid n} d^{k} = \ sigma _ {k} (n) & {\ text {if}} n {\ text {is pariton}} \\\ summa _ {\ pino {d \ mid n} {2 \, \ mid \, d}} d^{k}-\ sum _ {\ pino {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d ^{k} & {\ teksti {if}} n {\ teksti {on parillinen}}. \ end {tapaukset}}}$

Eli jos n on pariton, σ _k ^* ( n ) on summa k : nnen valtuuksia divisors n eli σ _k ( n ), ja jos n on parillinen se on summa k: nnen toimivalta jopa jakajat n miinus summa k: nnen toimivalta outoa divisors n .

${\ displaystyle r_ {8} (n) = 16 \ sigma _ {3}^{*} (n).}$    

Hyväksy käytäntö, jonka mukaan Ramanujanin τ ( x ) = 0, jos x ei ole kokonaisluku.

${\ displaystyle r_ {24} (n) = {\ frac {16} {691}} \ sigma _ {11}^{*} (n)+{\ frac {128} {691}} \ left \ {( -1)^{n-1} 259 \ tau (n) -512 \ tau \ vasen ({\ frac {n} {2}} \ oikea) \ oikea \}}$    

Jakajan summan käänteet

Tässä "konvoluutio" ei tarkoita "Dirichletin konvoluutiota", vaan viittaa sen sijaan kahden tehosarjan tulon kertoimien kaavaan :

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} x^{n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} b_ {n } x^{n} \ oikea) = \ summa _ {i = 0}^{\ infty} \ summa _ {j = 0}^{\ infty} a_ {i} b_ {j} x^{i+j } = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} \ vasen (\ summa _ {i = 0}^{n} a_ {i} b_ {ni} \ oikea) x^{n} = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} c_ {n} x^{n}.}$

Sekvenssiä kutsutaan sekvenssien a _n ja b _n konvoluutioksi tai Cauchy -tuotteeksi . Nämä kaavat voidaan todistaa analyyttisesti (katso Eisenstein -sarja ) tai alkeismenetelmillä. ${\ displaystyle c_ {n} = \ summa _ {i = 0}^{n} a_ {i} b_ {ni}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} (n) = {\ frac {1} {5}} \ left \ {6n \ sigma _ {1} (n)-\ sigma _ {1} (n) +12 \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {1} (nk) \ oikea \}.}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {5} (n) = {\ frac {1} {21}} \ left \ {10 (3n-1) \ sigma _ {3} (n)+\ sigma _ {1} ( n) +240 \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {3} (nk) \ oikea \}.}$    

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma _ {7} (n) & = {\ frac {1} {20}} \ left \ {21 (2n-1) \ sigma _ {5} (n)- \ sigma _ {1} (n) +504 \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ oikea \} \\ & = \ sigma _ {3} (n) +120 \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {3} (nk). \ End {aligned}}}$    

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma _ {9} (n) & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {10 (3n-2) \ sigma _ {7} (n)+ \ sigma _ {1} (n) +480 \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {7} (nk) \ oikea \} \\ & = {\ frac {1} {11}} \ vasen \ {21 \ sigma _ {5} (n) -10 \ sigma _ {3} (n) +5040 \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ oikea \}. \ loppu {tasattu}}}$    

${\ displaystyle \ tau (n) = {\ frac {65} {756}} \ sigma _ {11} (n)+{\ frac {691} {756}} \ sigma _ {5} (n)-{ \ frac {691} {3}} \ summa _ {0 <k <n} \ sigma _ {5} (k) \ sigma _ {5} (ei),}$     jossa τ ( n ) on Ramanujanin funktio.    

Koska σ _k ( n ) (luonnolliselle luvulle k ) ja τ ( n ) ovat kokonaislukuja, yllä olevia kaavoja voidaan käyttää funktioiden yhdenmukaisuuden osoittamiseen. Katso esimerkkejä Ramanujan tau -toiminnosta .

Laajenna osiointitoiminnon aluetta asettamalla p (0) = 1.

${\ displaystyle p (n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ sigma (k) p (nk).}$       Tätä toistumista voidaan käyttää p ( n ): n laskemiseen .

Luokan numeroon liittyvä

Peter Gustav Lejeune Dirichlet'n havaitsi kaavoja, jotka liittyvät aineen luokka h ja toisen asteen numeron kenttien ja Jacobin symboli.

Kokonaisluku D kutsutaan perustavanlaatuinen erotteluanalyysi , jos se on erotteluanalyysi toisen asteen numero kenttään. Tämä vastaa D ≠ 1 ja joko a) D on neliötön ja D ≡ 1 (mod 4) tai b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 on neliötön ja D /4 ≡ 2 tai 3 (mod 4 ).

Laajenna Jacobi -symbolia hyväksymään parilliset luvut nimittäjässä määrittelemällä Kronecker -symboli :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {case} \; \; \, 0 & {\ text {if}} {\ text {is even}} \ \ (-1)^{\ frac {a^{2} -1} {8}} ja {\ text {if}} {\ text {on pariton. }} \ loppu {tapaukset}}}$

Sitten jos D <−4 on perustavanlaatuinen syrjijä

${\ displaystyle {\ begin {aligned} h (D) & = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {r = 1}^{| D |} r \ left ({\ frac {D} { r}} \ oikea) \\ & = {\ frac {1} {2- \ vasen ({\ tfrac {D} {2}} \ oikea)}} \ summa _ {r = 1}^{| D | /2} \ vasen ({\ frac {D} {r}} \ oikea). \ End {tasattu}}}$

On myös kaava, joka liittyy r ₃ ja h . Olkoon jälleen D perustavanlaatuinen syrjijä, D <−4. Sitten

${\ displaystyle r_ {3} (| D |) = 12 \ vasen (1- \ vasen ({\ frac {D} {2}} \ oikea) \ oikea) h (D).}$

Prime-count liittyvät

Antaa   olla n : nnen harmonisen numero . Sitten ${\ displaystyle H_ {n} = 1+{\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {3}}+\ cdots+{\ frac {1} {n}}}$

${\ displaystyle \ sigma (n) \ leq H_ {n}+e^{H_ {n}} \ log H_ {n}}$   on totta jokaiselle luonnolliselle luvulle n silloin ja vain, jos Riemannin hypoteesi on totta.    

Riemannin hypoteesi vastaa myös väitettä, että kaikilla n > 5040,

${\ displaystyle \ sigma (n) <e^{\ gamma} n \ log \ log n}$     (jossa γ on Euler – Mascheroni -vakio ). Tämä on Robinin lause .

${\ displaystyle \ sum _ {p} \ nu _ {p} (n) = \ Omega (n).}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ summa _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$    

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ summa _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$    

${\ displaystyle e^{\ theta (x)} = \ prod _ {p \ leq x} s.}$    

${\ displaystyle e^{\ psi (x)} = \ operaattorinimi {lcm} [1,2, \ pisteitä, \ lattia x \ rfloor].}$    

Menonin henkilöllisyys

Vuonna 1965 P Kesava Menon osoitti

${\ displaystyle \ sum _ {\ pino {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ gcd (k-1, n) = \ varphi (n) d (n). }$

Tämän ovat yleistäneet monet matemaatikot. Esimerkiksi,

B. Sury

${\ displaystyle \ sum _ {\ pino {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -1, k_ {2}, \ pisteitä, k_ {s}, n) = \ varphi (n) \ sigma _ {s-1} (n).}$

N. Rao

${\ displaystyle \ sum _ {\ pino {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, k_ {2}, \ dots , k_ {s}, n) = 1}} gcd (k_ {1} -a_ {1}, k_ {2} -a_ {2}, \ pisteitä, k_ {s} -a_ {s}, n) ^{s} = J_ {s} (n) d (n),}$

jossa ₁ , ₂ , ..., _s ovat kokonaislukuja, syt ( ₁ , ₂ , ..., _s , n ) = 1.

László Fejes Tóth

${\ displaystyle \ sum _ {\ pino {1 \ leq k \ leq m} {\ gcd (k, m) = 1}} \ gcd (k^{2} -1, m_ {1}) \ gcd (k ^{2} -1, m_ {2}) = \ varphi (n) \ summa _ {\ pino {d_ {1} \ puolivälissä m_ {1}} {d_ {2} \ keskellä m_ {2}}} \ varphi (\ gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2^{\ omega (\ operaattorinimi {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))}},}$

jossa m ₁ ja m ₂ ovat parittomia, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ).

Itse asiassa, jos f on jokin aritmeettinen funktio

${\ displaystyle \ sum _ {\ pino {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} f (\ gcd (k-1, n)) = \ varphi (n) \ summa _ {d \ mid n} {\ frac {(\ mu *f) (d)} {\ varphi (d)}},}$

jossa * tarkoittaa Dirichletin konvoluutiota.

Sekalaisia

Olkoon m ja n erilliset, parittomat ja positiiviset. Sitten Jacobin symboli täyttää toisen asteen vastavuoroisuuden lain :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (-1)^{(m-1) (n- 1)/4}.}$    

Olkoon D ( n ) aritmeettinen derivaatta. Sitten logaritminen johdannainen

${\ displaystyle {\ frac {D (n)} {n}} = \ summa _ {\ pino {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} {\ frac {v_ {p} (n )} {p}}}$

Olkoon λ ( n ) Liouvillen funktio. Sitten

${\ displaystyle | \ lambda (n) | \ mu (n) = \ lambda (n) | \ mu (n) | = \ mu (n),}$     ja

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = | \ mu (n) | = \ mu ^{2} (n).}$    

Olkoon λ ( n ) Carmichaelin funktio. Sitten

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mid \ phi (n).}$     Edelleen,

${\ displaystyle \ lambda (n) = \ phi (n) {\ teksti {jos ja vain jos}} n = {\ aloita {tapaukset} 1,2,4; \\ 3,5,7,9,11, \ ldots {\ text {(eli}} p^{k} {\ text {, jossa}} p {\ text {on pariton alkuluku)}}; \\ 6,10,14,18, \ ldots {\ text {(eli}} 2p^{k} {\ text {, jossa}} p {\ text {on pariton alkuluku)}}. \ end {tapaukset}}}$

Katso Monilukuinen kokonaislukuryhmä modulo n ja Primitive root modulo n .  

${\ displaystyle 2^{\ omega (n)} \ leq d (n) \ leq 2^{\ Omega (n)}.}$    

${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^{2}}} <{\ frac {\ phi (n) \ sigma (n)} {n ^{2}}} <1.}$    

${\ displaystyle {\ begin {aligned} c_ {q} (n) & = {\ frac {\ mu \ left ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ oikea)} {\ phi \ vasen ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ oikea)}} \ phi (q) \\ & = \ summa _ {\ delta \ mid \ gcd (q, n)} \ mu \ vasen ({\ frac {q} {\ delta}} \ oikea) \ delta. \ end {tasattu}}}$         Ota huomioon, että  ${\ displaystyle \ phi (q) = \ summa _ {\ delta \ mid q} \ mu \ vasen ({\ frac {q} {\ delta}} \ oikea) \ delta.}$    

${\ displaystyle c_ {q} (1) = \ mu (q).}$

${\ displaystyle c_ {q} (q) = \ phi (q).}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d^{3} (\ delta) = \ left (\ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta) \ right)^{2}.}$       Vertaa tätä 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\ displaystyle d (uv) = \ summa _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ mu (\ delta) d \ vasen ({\ frac {u} {\ delta}} \ \ oikea) d \ vasen ({\ frac {v} {\ delta}} \ oikea).}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (u) \ sigma _ {k} (v) = \ summa _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^{k} \ sigma _ {k} \ vasen ({\ frac {uv} {\ delta ^{2}}} \ oikea).}$    

${\ displaystyle \ tau (u) \ tau (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^{11} \ tau \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^{2}}} \ oikea),}$     jossa τ ( n ) on Ramanujanin funktio.    

Joidenkin aritmeettisten funktioiden ensimmäiset 100 arvoa

n	tekijä	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1.95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	−1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2 · 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3 · 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3 2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2 · 3 · 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	16	1	5	−1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3.85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1.95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 5 2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 3 3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2, 5, 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 3 2 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 7 2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	tekijä	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )

Huomautuksia

Viitteet

• Tom M. Apostol (1976), Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan , Springerin perustutkintotekstit matematiikassa , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2. painos) , New York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
• Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Analyyttinen lukuteoria, johdanto , World Scientific , ISBN 978-981-238-938-1
• Cohen, Henri (1993), Laskennallisen algebrallisen lukuteorian kurssi , Berliini: Springer , ISBN 3-540-55640-0
• Edwards, Harold (1977). Fermatin viimeinen lause . New York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.
• Hardy, GH (1999), Ramanujan: Kaksitoista Luentoja aiheet Ehdotti hänen elämästään ja työstään , Providence RI: AMS / Chelsea, HDL : 10115/1436 , ISBN 978-0-8218-2023-0
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. Johdatus numeroiden teoriaan (5. painos). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909 . Zbl  0423.10001 .
• Jameson, GJO (2003), Prime Number Theorem , Cambridge University Press, ISBN 0-521-89110-8
• Koblitz, Neal (1984), Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin , New York: Springer, ISBN 0-387-97966-2
• Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory , New York: Chelsea
• William J.LeVeque (1996), Numeroteorian perusteet , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-68906-9
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. painos), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Elliott Mendelson (1987), Johdatus matemaattiseen logiikkaan , CRC Press, ISBN 0-412-80830-7
• Nagell, Trygve (1964), Johdatus numeroteoriaan (2. painos) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
• Niven, Ivan M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), Johdatus numeroiden teoriaan (3. painos) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
• Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Williams, Kenneth S. (2011), Lukuteoria Liouvillen hengessä , London Mathematical Society Student Texts, 76 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl  1227.11002

Lue lisää

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Aritmeettiset funktiot. Johdanto aritmeettisten funktioiden alkeis- ja analyyttisiin ominaisuuksiin ja joihinkin niiden lähes jaksollisiin ominaisuuksiin , London Mathematical Society Lecture Note Series, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

Ulkoiset linkit

• "Aritmeettinen funktio" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Vielä yksi Eulerin kokonaisfunktion yleistys
• Huard, Ou, Spearman ja Williams. Osien jakotoimintoihin liittyvien tiettyjen kääntösummien perusarviointi
• Dineva, Rosica, The Euler Totient, Möbius ja Divisor Functions
• László Tóth, Menonin identiteetti ja aritmeettiset summat, jotka edustavat useiden muuttujien toimintoja