Aritmetikai függvény - Arithmetic function

A számelméletben egy aritmetikai , aritmetikai vagy számelméleti függvény a legtöbb szerző számára bármely olyan f ( n ) függvény, amelynek tartománya a pozitív egész szám, és amelynek tartománya a komplex számok részhalmaza . Hardy és Wright meghatározásába belefoglalja azt a követelményt, hogy egy számtani függvény "kifejezze n néhány számtani tulajdonságát ".

A számtani függvényre példa az osztófüggvény, amelynek értéke pozitív egész n -nél egyenlő n osztóinak számával .

Van egy nagyobb számelméleti függvényosztály, amely nem felel meg a fenti definíciónak, például a prímszámláló függvények . Ez a cikk hivatkozásokat tartalmaz mindkét osztály funkcióira.

Az aritmetikai függvények gyakran rendkívül szabálytalanok (lásd a táblázatot ), de néhányuk sorozatosan bővül a Ramanujan összegét tekintve .

Többszörös és additív funkciók

Egy aritmetikai funkció egy van

• teljesen additív, ha a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) minden m és n természetes számra;
• teljesen multiplikatív, ha a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) minden m és n természetes számra;

Két m és n egész számot nevezünk coprime -nak, ha legnagyobb közös osztójuk 1, vagyis ha nincs prímszám , amely mindkettőt megosztja.

Ezután egy aritmetikai funkció egy van

• additív, ha a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) az összes m és n együttes természetes számra;
• multiplikatív, ha a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) az összes m és n természetes számra.

Jelölés

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p)}$   és     azt jelenti, hogy az összeg vagy szorzat minden prímszám fölött van : ${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p} f (p) = f (2)+f (3)+f (5)+\ cdots}$

${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p) = f (2) f (3) f (5) \ cdots.}$

Hasonlóképpen,     és     azt jelenti, hogy az összeg vagy szorzat felülmúlja a szigorúan pozitív kitevőjű elsődleges hatványokat (tehát k = 0 nincs benne): ${\ displaystyle \ sum _ {p^{k}} f (p^{k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p^{k}} f (p^{k})}$

${\ displaystyle \ sum _ {p^{k}} f (p^{k}) = \ sum _ {p} \ sum _ {k> 0} f (p^{k}) = f (2)+ f (3)+f (4)+f (5)+f (7)+f (8)+f (9)+\ cdots}$

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} f (d)}$   és     azt jelenti, hogy az összeg, vagy a termék az összes pozitív osztója N , beleértve 1 és n . Például, ha n = 12, ${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d)}$

${\ displaystyle \ prod _ {d \ mid 12} f (d) = f (1) f (2) f (3) f (4) f (6) f (12). \}$

A jelölések kombinálhatók:     és     azt jelentik, hogy az összeg vagy szorzat n minden prímosztója felett van . Például, ha n = 18, ${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid n} f (p)}$${\ displaystyle \ prod _ {p \ mid n} f (p)}$

${\ displaystyle \ sum _ {p \ mid 18} f (p) = f (2)+f (3), \}$

és hasonlóképpen     , és     azt jelentik, hogy az összeg, vagy a termék egész elsődleges hatáskörét elosztjuk n . Például, ha n = 24, ${\ displaystyle \ sum _ {p^{k} \ mid n} f (p^{k})}$${\ displaystyle \ prod _ {p^{k} \ mid n} f (p^{k})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p^{k} \ mid 24} f (p^{k}) = f (2) f (3) f (4) f (8). \}$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - elsődleges teljesítménybontás

Az aritmetika alaptétele azt állítja, hogy bármely pozitív n egész szám egyedileg ábrázolható a prímhatványok szorzataként:     ahol p ₁ < p ₂ <... < p _k prímszámok, és a a _j pozitív egész számok. (1 -et az üres termék adja.) ${\ displaystyle n = p_ {1}^{a_ {1}} \ cdots p_ {k}^{a_ {k}}}$

Gyakran kényelmes ezt végtelen szorzatként írni az összes prímszámra, ahol véges szám kivételével mindegyiknek nulla kitevője van. Határozza meg a p ádikus értékelést ν _p ( n ) , hogy az p prím legnagyobb hatványának kitevője, amely osztja az n -t . Vagyis ha p az egyik p _i, akkor ν _p ( n ) = a _i , különben nulla. Azután

${\ displaystyle n = \ prod _ {p} p^{\ nu _ {p} (n)}.}$

A fentiek értelmében a ome és Ω elsődleges omega -függvényeket a

ω ( n ) = k ,

Ω ( n ) = a ₁ + a ₂ + ... + a _k .

Az ismétlés elkerülése érdekében, amikor csak lehetséges, az ebben a cikkben felsorolt ​​függvények képleteit n és a megfelelő p _i , a _i , ω és Ω kifejezésekben adjuk meg .

Multiplikatív függvények

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - osztóösszegek

σ _k ( n ) az összege a k th hatáskörét a pozitív osztója N , beleértve 1 és n , ahol k egy komplex szám.

σ ₁ ( n ) , az összeget a (pozitív) osztója N , általában jelöljük σ ( n ) .

Mivel pozitív szám, hogy a nulla teljesítmény az egyik, σ ₀ ( n ) tehát a számát (pozitív) osztója N ; ezt általában d ( n ) vagy τ ( n ) jelöli (a német Teiler esetében = osztók).

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1}^{\ omega (n)} {\ frac {p_ {i}^{(a_ {i} +1) k}- 1} {p_ {i}^{k} -1}} = \ prod _ {i = 1}^{\ omega (n)} \ bal (1+p_ {i}^{k}+p_ {i} ^{2k} +\ cdots +p_ {i}^{a_ {i} k} \ right).}$

A k = 0 beállítás a második termékben megadja

${\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1+a_ {1}) (1+a_ {2}) \ cdots (1+a _ {\ omega (n)}).}$

φ ( n ) - Euler totient függvény

φ ( n ) , az Euler totient függvény, azoknak a pozitív egész számoknak a száma, amelyek nem nagyobbak n -nél, és amelyek n -hez hasonlóak.

${\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1-{\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} -1} {p_ {1}}} \ jobb) \ bal ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ jobb) \ cdots \ bal ({\ frac {p _ {\ omega (n)}-1} {p _ {\ omega (n)}}} \ jobb).}$

J _k ( n ) - Jordan totient függvény

J _K ( n ) , a Jordán Totient funkció, az a szám, k -tuples pozitív egészek mind kevesebb vagy egyenlő, mint N , hogy alkotnak relatív prím ( k + 1) -tuple együtt n . Ez Euler totiensének általánosítása, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\ displaystyle J_ {k} (n) = n^{k} \ prod _ {p \ mid n} \ left (1-{\ frac {1} {p^{k}}} \ right) = n^ {k} \ bal ({\ frac {p_ {1}^{k} -1} {p_ {1}^{k}}} \ jobb) \ bal ({\ frac {p_ {2}^{k} -1} {p_ {2}^{k}}} \ jobb) \ cdots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)}^{k} -1} {p _ {\ omega (n)} ^{k}}} \ ugye).}$

μ ( n ) - Möbius -függvény

A μ ( n ) , a Möbius függvény fontos a Möbius inverziós képlet miatt. Lásd Dirichlet -konvolúció alább.

${\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {case} (-1)^{\ omega (n)} = (-1)^{\ Omega (n)} & {\ text {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ text {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {tokok}}}$

Ez azt jelenti, hogy μ (1) = 1. (Mivel Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - Ramanujan tau funkció

τ ( n ) , a Ramanujan tau függvényt a generáló függvény azonosságahatározza meg:

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ tau (n) q^{n} = q \ prod _ {n \ geq 1} (1-q^{n})^{24}.}$

Annak ellenére, hogy nehéz megmondani, hogy pontosan mit jelent a „számtani tulajdonsága n ” ez „kifejezi” ( τ ( n ) a (2π) ^-12 -szerese n edik Fourier együttható q-bővítés a moduláris diszkriminancia függvény) benne van a számtani függvények között, mert multiplikatív, és bizonyos σ _k ( n ) és r _k ( n ) függvényeket magában foglaló azonosságokban fordul elő (mert ezek is együtthatók a moduláris formák bővítésében ).

c _q ( n ) - Ramanujan összege

c _q ( n ) , Ramanujan összege, az összege azn-edik hatáskörét a primitívqedikegységgyök:

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq a \ leq q} {\ gcd (a, q) = 1}} e^{2 \ pi i {\ tfrac {a } {q}} n}.}$

Annak ellenére, hogy komplex számok összegeként van definiálva (a q legtöbb értéke irracionális ), egész szám. Egy fix n értéknél szorzó q -ban :

Ha q és r coprime , akkor${\ displaystyle c_ {q} (n) c_ {r} (n) = c_ {qr} (n).}$

ψ ( n ) - Dedekind psi függvény

A moduláris függvények elméletében használt Dedekind psi függvényt a képlet határozza meg

${\ displaystyle \ psi (n) = n \ prod _ {p | n} \ left (1+{\ frac {1} {p}} \ right).}$

Teljesen multiplikatív funkciók

λ ( n ) - Liouville függvény

λ ( n ) , a Liouville függvényt a következő határozza meg

${\ displaystyle \ lambda (n) = (-1)^{\ Omega (n)}.}$

χ ( n ) - karakter

Az összes Dirichlet -karakter χ ( n ) teljesen multiplikatív. Két karakter különleges jelöléssel rendelkezik:

A fő karaktert (mod n ) χ ₀ ( a ) (vagy χ ₁ ( a )) jelöli . Ez úgy van definiálva

${\ displaystyle \ chi _ {0} (a) = {\ begin {case} 1 & {\ text {if}} \ gcd (a, n) = 1, \\ 0 & {\ text {if}} \ gcd ( a, n) \ neq 1. \ end {esetek}}}$

A kvadratikus karakter (mod n ) jelöli a Jacobi szimbólum páratlan n (ez nincs definiálva még n .):

${\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right)^{a_ {1}} \ bal ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ jobb)^{a_ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}} \ jobb )^{a _ {\ omega (n)}}.}$

Ebben a képletben a Legendre szimbólum , meghatározott minden egész szám egy és minden páratlan prímszám p által ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {case} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a \ equiv 0 {\ pmod {p} }, \\+1 & {\ text {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ text {és néhány egész szám esetén}} x, \; a \ equiv x^{2} {\ pmod {p}} \\-1 & {\ text {ha nincs ilyen}} x. \ end {tokok}}}$

Az üres termékre vonatkozó szokásos szabályok szerint, ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$

Additív funkciók

ω ( n ) - különálló prím osztók

ω ( n ) , amelyet fent az n -t osztó prímszámokként határozunk meg , additív (lásd a Prime omega függvényt ).

Teljesen additív funkciók

Ω ( n ) - prím osztók

Ω ( n ) , amelyet fentebb n többszörösszámokkalszámoltprímtényezőinek számaként definiálunk, teljesen additív (lásd Prime omega függvény ).

ν _p ( n ) - p -adic értékelése az egész szám N

Rögzített p prím esetén ν _p ( n ) , amelyet fentebb a p legnagyobb n osztó erejének kitevőjeként definiáltunk , teljesen additív.

Sem multiplikatív, sem additív

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x )-prímszámláló függvények

Ezeket a fontos függvényeket (amelyek nem számtani függvények) a nem negatív valós argumentumok határozzák meg, és a prímszám-tétel különböző állításaiban és bizonyításaiban használják . Ezek az aritmetikai függvények összegző függvényei (lásd az alábbi fő részt), amelyek nem szorzók és nem additívak.

π ( x ) , a prímszámláló függvény, azx-tnem meghaladó prímszám. Eza prímszámokjellemzőfüggvényénekösszegző függvénye.

${\ displaystyle \ pi (x) = \ összeg _ {p \ leq x} 1}$

Egy kapcsolódó függvény prímhatványokat számol 1 -es súllyal prímszámoknál, 1/2 a négyzeteknél, 1/3 kockáknál, ... Ez az aritmetikai függvény összegző függvénye, amely az 1/ k értéket veszi fel az egész számokra, amelyek a k -néhány prímszám hatodik hatalma, más egészeknél pedig 0.

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {p^{k} \ leq x} {\ frac {1} {k}}.}$

θ ( x ) és ψ ( x ), a Chebyshev -függvények, a prímszámok természetes logaritmusainak összegeként vannak meghatározva, amelyek nem haladják meg azx-et.

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ összeg _ {p \ leq x} \ log p,}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ összeg _ {p^{k} \ leq x} \ napló o.}$

A Chebyshev függvény ψ ( x ) a von Mangoldt függvény összegző függvénye.

Λ ( n ) - von Mangoldt -függvény

Λ ( n ) , a von Mangoldt funkció, értéke 0, kivéve, ha az érv n prímhatvány p ^k , mely esetben ez a természetes logaritmusát az elsődleges p :

${\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {case} \ log p & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, \ ldots = p^{k} {\ text {a prime power}} \\ 0 & {\ text {if}} n = 1,6,10,12,14,15,18,20,21, \ dots \; \ ; \; \; {\ text {nem elsődleges erő}}. \ end {tokok}}}$

p ( n ) - partíciófüggvény

p ( n ) , a partíciófüggvény, azn-nek a pozitív egész számok összegekéntvaló ábrázolásának módja, ahol két, azonos sorrendű, különböző sorrendű ábrázolás nem számít különbözőnek:

${\ displaystyle p (n) = | \ left \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ cdots \ leq a_ {k} \; \ land \; n = a_ {1}+a_ {2}+\ cdots+a_ {k} \ right \} |.}$

λ ( n ) - Carmichael függvény

λ ( n ) , a Carmichael funkció, az a legkisebb pozitív szám olyan, hogy   az összesolyanrelatív prím an. Hasonlóképpen, ez amodulo n egész számok multiplikatív csoportjaelemeinekrendjeineklegkevésbé gyakori többszöröse. ${\ displaystyle a^{\ lambda (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

Powers páratlan prímszám és 2 és 4, λ ( n ) egyenlő az Euler Totient funkciója N ; a 2 -nél nagyobb hatványoknál n -nél egyenlő Euler -totiens függvény felével :

${\ displaystyle \ lambda (n) = {\ begin {case} \; \; \ phi (n) & {\ text {if}} n = 2,3,4,5,7,9,11,13, 17,19,23,25,27, \ pontok \\ {\ tfrac {1} {2}} \ phi (n) & {\ text {if}} n = 8,16,32,64, \ pontok \ vége {esetek}}}$

és az általános n ez a legkisebb közös többszöröse λ az egyes fő teljesítmény tényezői N :

${\ displaystyle \ lambda (p_ {1}^{a_ {1}} p_ {2}^{a_ {2}} \ dots p _ {\ omega (n)}^{a _ {\ omega (n)}}) = \ operatornév {lcm} [\ lambda (p_ {1}^{a_ {1}}), \; \ lambda (p_ {2}^{a_ {2}}), \ pontok, \ lambda (p _ {\ omega (n)}^{a _ {\ omega (n)}}}]].}$

h ( n ) - Osztályszám

h ( n ) , az osztályszámfüggvény, a racionálisokndiszkriminánsalgebrai kiterjesztésénekideális osztálycsoportjánaksorrendje. A jelölés kétértelmű, mivel általában sok kiterjesztés létezik ugyanazzal a megkülönböztetővel. Lásd amásodfokú mezőtés aciklotómiai mezőta klasszikus példákért.

r _k ( n ) - k négyzet összege

r _k ( n ) azoknak a módoknak a száma, ahogyannábrázolhatóknégyzetekösszegeként, ahol azok az ábrázolások, amelyek csakaz összegzéseksorrendjében vagy a négyzetgyök jeleiben különböznek egymástól, különbözőnek számítanak.

${\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ pöttyök, a_ {k}): n = a_ {1}^{2}+a_ {2}^ {2} +\ cdots +a_ {k}^{2} \} |}$

D ( n ) - Aritmetikai származék

A származék Heaviside jelölését használva D ( n ) olyan függvény, hogy

${\ displaystyle D (n) = 1}$ha n prím, és

${\ displaystyle D (mn) = mD (n)+D (m) n}$( Termékszabály )

Összegző függvények

Ha adott egy a ( n ) számtani függvény , az A ( x ) összegzési függvényét a

${\ displaystyle A (x): = \ összeg _ {n \ leq x} a (n).}$

Az A valós változó függvényének tekinthető. Ha pozitív m egész számot kapunk , A állandó az m < x < m + 1 nyitott intervallumok mentén , és ugrás -megszakadással rendelkezik minden olyan egész számnál, amelyre a ( m ) ≠ 0.

Mivel az ilyen függvényeket gyakran sorozatok és integrálok képviselik, a pontszerű konvergencia elérése érdekében általában a diszkontinuitásoknál a balra és jobbra eső értékek átlagát határozzuk meg:

${\ displaystyle A_ {0} (m): = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n <m} a (n)+\ sum _ {n \ leq m} a (n) ) \ right) = A (m)-{\ frac {1} {2}} a (m).}$

Az aritmetikai függvények egyes értékei vadul ingadozhatnak - mint a fenti példák többségében. Az összegző függvények "kisimítják" ezeket az ingadozásokat. Bizonyos esetekben előfordulhat, hogy aszimptotikus viselkedést találunk a nagy x összegzési függvényéhez .

A jelenség klasszikus példáját az osztó összegző függvény , a d ( n ) összegző függvénye , az n osztóinak száma adja :

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} d (n) = 2}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log d (n) \ log \ log n} {\ log n}} = \ napló 2}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {d (1)+d (2)+\ cdots+d (n)} {\ log (1)+\ log (2)+\ cdots +\ napló (n)}} = 1.}$

Egy aritmetikai függvény átlagos sorrendje egy egyszerűbb vagy jobban érthető függvény, amelynek aszimptotikusan ugyanaz az összegző függvénye, és ezért "átlagosan" ugyanazokat az értékeket veszi fel. Azt mondjuk, hogy g egy átlagos rendelési Az f ha

${\ displaystyle \ sum _ {n \ leq x} f (n) \ sim \ sum _ {n \ leq x} g (n)}$

ahogy x hajlik a végtelenbe. A fenti példa azt mutatja, hogy d ( n ) átlagos rendelési naplója ( n ).

Dirichlet -konvolúció

Ha egy a ( n ) számtani függvényt adunk meg , legyen F _a ( s ) az s komplex esetében a megfelelő Dirichlet -sorozat által definiált függvény (ahol konvergál ):

${\ displaystyle F_ {a} (s): = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {a (n)} {n^{s}}}.}$

F _a ( ek ) nevezzük generáló függvény a a ( N ). A legegyszerűbb ilyen sorozat, amely megfelel a konstans függvényt a ( n ) = 1 minden n , jelentése ς ( ek ) a Riemann zéta-függvény .

A Möbius függvény generáló függvénye a zéta függvény fordítottja:

${\ displaystyle \ zeta (s) \, \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}} = 1, \; \; {\ mathfrak {R}} \, s> 0.}$

Tekintsünk két aritmetikai függvényt a és b, valamint a hozzájuk tartozó F _a ( s ) és F _b ( s ) függvényeket . Az F _a ( k ) F _b ( s ) szorzat a következőképpen számítható ki:

${\ displaystyle F_ {a} (s) F_ {b} (s) = \ left (\ sum _ {m = 1}^{\ infty} {\ frac {a (m)} {m^{s}} } \ jobb) \ bal (\ összeg _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {b (n)} {n^{s}}} \ jobb).}$

Egyszerű gyakorlat annak bemutatása, hogy ha c ( n ) a

${\ displaystyle c (n): = \ összeg _ {ij = n} a (i) b (j) = \ összeg _ {i \ mid n} a (i) b \ bal ({\ frac {n} { i}} \ ugye),}$

azután

${\ displaystyle F_ {c} (s) = F_ {a} (s) F_ {b} (s).}$

Ezt a c függvényt az a és b Dirichlet -konvolúciójának nevezzük , és jelöli . ${\ displaystyle a*b}$

Különösen fontos eset a konvolúció, amelyben az a ( n ) = 1 konstans függvény minden n esetében , ami megfelel a generáló függvénynek a zéta függvénnyel való megszorozásához:

${\ displaystyle g (n) = \ sum _ {d \ mid n} f (d).}$

A zeta függvény inverzével megszorozva kapjuk a Möbius inverziós képletet:

${\ displaystyle f (n) = \ sum _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) g (d).}$

Ha f multiplikatív, akkor g is . Ha f teljesen multiplikatív, akkor g multiplikatív, de lehet vagy nem teljesen multiplikatív.

A függvények közötti összefüggések

Nagyon sok képlet kapcsolja össze az aritmetikai függvényeket egymással és az elemzés funkcióival, különösen a hatványokkal, gyökökkel, valamint az exponenciális és naplófüggvényekkel. Az oldalosztó összeg -azonosságok sokkal általánosabb és kapcsolódó példákat tartalmaznak az aritmetikai függvényeket tartalmazó identitásokra.

Íme néhány példa:

Dirichlet -fordulatok

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu (\ delta) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda \ bal ({\ frac {n} {\ delta}} \ jobb) | \ mu (\ delta) | = {\ begin {case} 1 & {\ text {if}} n = 1 \\ 0 & {\ text {if}} n \ neq 1 \ end {case}}}$     ahol λ a Liouville -függvény.

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) = n.}$      

${\ displaystyle \ varphi (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta = n \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta}}.}$       Möbius inverzió

${\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} J_ {k} (d) = n^{k}.}$      

${\ displaystyle J_ {k} (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ delta ^{k} = n ^{ k} \ sum _ {\ delta \ mid n} {\ frac {\ mu (\ delta)} {\ delta ^{k}}}.}$       Möbius inverzió

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ delta ^{s} J_ {r} (\ delta) J_ {s} \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = J_ {r+s} (n)}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ varphi (\ delta) d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) = \ sigma (n).}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} | \ mu (\ delta) | = 2^{\ omega (n)}.}$      

${\ displaystyle | \ mu (n) | = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2^{\ omega (\ delta)} .}$       Möbius inverzió

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} 2^{\ omega (\ delta)} = d (n^{2}).}$      

${\ displaystyle 2 ^{\ omega (n)} = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d (\ delta ^{2} ).}$       Möbius inverzió

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta ^{2}) = d ^{2} (n).}$      

${\ displaystyle d (n^{2}) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) d^{2} (\ delta) .}$       Möbius inverzió

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) 2^{\ omega (\ delta)} = d^{2} (n) .}$      

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ lambda (\ delta) = {\ begin {case} & 1 {\ text {if}} n {\ text {négyzet}} \\ & 0 {\ text {if}} n {\ text {nem négyzet alakú.}} \ end {case}}}$     ahol λ a Liouville -függvény .

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} \ Lambda (\ delta) = \ log n.}$      

${\ displaystyle \ Lambda (n) = \ sum _ {\ delta \ mid n} \ mu \ left ({\ frac {n} {\ delta}} \ right) \ log (\ delta).}$       Möbius inverzió

Négyzetösszegek

Mindenkinek     ( Lagrange négy négyzet tétele ). ${\ displaystyle k \ geq 4, \; \; \; r_ {k} (n)> 0.}$

${\ displaystyle r_ {2} (n) = 4 \ összeg _ {d \ mid n} \ bal ({\ frac {-4} {d}} \ jobb),}$

ahol a Kronecker szimbólum rendelkezik az értékekkel

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right) = {\ begin {case} +1 & {\ text {if}} n \ equiv 1 {\ pmod {4}} \\- 1 & {\ text {if}} n \ equiv 3 {\ pmod {4}} \\\; \; \; 0; {\ text {if}} n {\ text {is even}}. \\\ end { esetek}}}$

Van egy képlet r ₃ -ra az alábbi osztályszámokról szóló részben .

${\ displaystyle r_ {4} (n) = 8 \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {4 \, \ nmid \, d}} d = 8 (2+(-1)^{n}) \ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d = {\ begin {case} 8 \ sigma (n) & {\ text {if}} n {\ text { páratlan}} \\ 24 \ sigma \ left ({\ frac {n} {2^{\ nu}}} \ right) & {\ text {if}} n {\ text {is even}} \ end { esetek}},}$    

ahol ν = ν ₂ ( n ) .    

${\ displaystyle r_ {6} (n) = 16 \ sum _ {d \ mid n} \ chi \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) d^{2} -4 \ sum _ { d \ mid n} \ chi (d) d^{2},}$

ahol ${\ displaystyle \ chi (n) = \ left ({\ frac {-4} {n}} \ right).}$

Határozza meg a σ _k ^* ( n ) függvényt as

${\ displaystyle \ sigma _ {k}^{*} (n) = (-1)^{n} \ sum _ {d \ mid n} (-1)^{d} d^{k} = {\ kezdődik {esetek} \ összeg _ {d \ közepén n} d^{k} = \ sigma _ {k} (n) & {\ text {if}} n {\ szöveg {páratlan}} \\\ összeg _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ mid \, d}} d^{k}-\ sum _ {\ stackrel {d \ mid n} {2 \, \ nmid \, d}} d ^{k} & {\ text {if}} n {\ text {is par}}. \ end {case}}}$

Azaz, ha n páratlan, σ _k ^* ( n ) az összege a k th hatáskörét a osztója n , azaz σ _k ( n ), és ha n jelentése még ez az összege a k th hatáskörét a még osztója N mínusz az összeg a k th hatásköre a páratlan osztója n .

${\ displaystyle r_ {8} (n) = 16 \ sigma _ {3}^{*} (n).}$    

El kell fogadni a konvencióval, hogy Ramanujan τ ( x ) = 0 , ha X jelentése nem egész szám.

${\ displaystyle r_ {24} (n) = {\ frac {16} {691}} \ sigma _ {11}^{*} (n)+{\ frac {128} {691}} \ left \ {( -1)^{n-1} 259 \ tau (n) -512 \ tau \ bal ({\ frac {n} {2}} \ jobb) \ jobb \}}$    

Osztóösszevonások

A "konvolúció" itt nem "Dirichlet -konvolúciót" jelent, hanem két teljesítménysorozat szorzatának együtthatóinak képletére utal :

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} x^{n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} b_ {n } x^{n} \ jobb) = \ összeg _ {i = 0}^{\ infty} \ összeg _ {j = 0}^{\ infty} a_ {i} b_ {j} x^{i+j } = \ összeg _ {n = 0}^{\ infty} \ bal (\ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} b_ {ni} \ jobb) x^{n} = \ összeg _ {n = 0}^{\ infty} c_ {n} x^{n}.}$

A szekvenciát az a _n és b _n sorozatok konvolúciójának vagy Cauchy -szorzatának nevezzük . Ezeket a képleteket analitikusan (lásd Eisenstein sorozat ) vagy elemi módszerekkel lehet bizonyítani . ${\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} b_ {ni}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} (n) = {\ frac {1} {5}} \ left \ {6n \ sigma _ {1} (n)-\ sigma _ {1} (n) +12 \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {1} (nk) \ jobb \}.}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {5} (n) = {\ frac {1} {21}} \ left \ {10 (3n-1) \ sigma _ {3} (n)+\ sigma _ {1} ( n) +240 \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {3} (nk) \ jobb \}.}$    

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma _ {7} (n) & = {\ frac {1} {20}} \ left \ {21 (2n-1) \ sigma _ {5} (n)- \ sigma _ {1} (n) +504 \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \} \\ & = \ sigma _ {3} (n) +120 \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {3} (nk). \ End {igazított}}}$    

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma _ {9} (n) & = {\ frac {1} {11}} \ left \ {10 (3n-2) \ sigma _ {7} (n)+ \ sigma _ {1} (n) +480 \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {1} (k) \ sigma _ {7} (nk) \ right \} \\ & = {\ frac {1} {11}} \ bal \ {21 \ sigma _ {5} (n) -10 \ sigma _ {3} (n) +5040 \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {3} (k) \ sigma _ {5} (nk) \ right \}. \ end {igazítva}}}$    

${\ displaystyle \ tau (n) = {\ frac {65} {756}} \ sigma _ {11} (n)+{\ frac {691} {756}} \ sigma _ {5} (n)-{ \ frac {691} {3}} \ összeg _ {0 <k <n} \ sigma _ {5} (k) \ sigma _ {5} (nk),}$     ahol τ ( n ) Ramanujan függvénye.    

Mivel σ _k ( n ) ( k természetes szám esetén ) és τ ( n ) egész számok, a fenti képletek felhasználhatók a függvények kongruenciáinak bizonyítására. Lásd néhány példát a Ramanujan tau függvényben .

Bővítse a partíciófüggvény tartományát a p (0) = 1 beállításával.

${\ displaystyle p (n) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ sigma (k) p (nk).}$       Ez az ismétlődés használható a p ( n ) kiszámítására .

Az osztályszámhoz kapcsolódik

Peter Gustav Lejeune Dirichlet olyan képleteket fedezett fel, amelyek a másodfokú számmezők h osztályszámát a Jacobi szimbólumhoz kapcsolják .

A D egész számot akkor nevezzük alapvető diszkriminánsnak, ha egy másodfokú számmező megkülönböztetője . Ez ekvivalens a D ≠ 1, és vagy a) D jelentése squarefree és D ≡ 1 (mod 4), vagy b) D ≡ 0 (mod 4), a D / 4 squarefree, és a D / 4 ≡ 2 vagy 3 (mod 4 ).

Bővítse ki a Jacobi szimbólumot a páros számok elfogadására a "nevezőben" a Kronecker szimbólum meghatározásával :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right) = {\ begin {case} \; \; \, 0 & {\ text {if}} a {\ text {is par}} \ \ (-1)^{\ frac {a^{2} -1} {8}} és {{text {if}} a {\ text {páratlan. }} \ vége {esetek}}}$

Ekkor ha D <−4 alapvető diszkrimináns

${\ displaystyle {\ begin {aligned} h (D) & = {\ frac {1} {D}} \ sum _ {r = 1}^{| D |} r \ left ({\ frac {D} { r}} \ jobb) \\ & = {\ frac {1} {2- \ bal ({\ tfrac {D} {2}} \ jobb)}} \ sum _ {r = 1}^{| D | /2} \ balra ({\ frac {D} {r}} \ jobbra). \ End {igazítva}}}$

Létezik egy képlet is, amely r ₃ -ra és h -ra vonatkozik . Ismét legyen D alapvető diszkrimináns, D <−4. Azután

${\ displaystyle r_ {3} (| D |) = 12 \ bal (1- \ bal ({\ frac {D} {2}} \ jobb) \ jobb) h (D).}$

Prímszámmal kapcsolatos

Legyen   az n . Harmonikus szám . Azután ${\ displaystyle H_ {n} = 1+{\ frac {1} {2}}+{\ frac {1} {3}}+\ cdots+{\ frac {1} {n}}}$

${\ displaystyle \ sigma (n) \ leq H_ {n}+e^{H_ {n}} \ log H_ {n}}$   igaz minden természetes n számra, és csak akkor, ha a Riemann -hipotézis igaz.    

A Riemann -hipotézis azzal a kijelentéssel is egyenértékű, hogy minden n > 5040 esetén

${\ displaystyle \ sigma (n) <e^{\ gamma} n \ log \ log n}$     (ahol γ az Euler – Mascheroni -állandó ). Ez Robin tétele .

${\ displaystyle \ sum _ {p} \ nu _ {p} (n) = \ Omega (n).}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$    

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}$    

${\ displaystyle e^{\ theta (x)} = \ prod _ {p \ leq x} p.}$    

${\ displaystyle e^{\ psi (x)} = \ operatornév {lcm} [1,2, \ pontok, \ padló x \ rfloor].}$    

Menon kiléte

1965 -ben P Kesava Menon bebizonyította

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} \ gcd (k-1, n) = \ varphi (n) d (n). }$

Ezt számos matematikus általánosította. Például,

B. Sury

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, n) = 1}} \ gcd (k_ {1} -1, k_ {2}, \ pontok, k_ {s}, n) = \ varphi (n) \ sigma _ {s-1} (n).}$

N. Rao

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {s} \ leq n} {\ gcd (k_ {1}, k_ {2}, \ dots , k_ {s}, n) = 1}} gcd (k_ {1} -a_ {1}, k_ {2} -a_ {2}, \ pontok, k_ {s} -a_ {s}, n) ^{s} = J_ {s} (n) d (n),}$

ahol egy ₁ , egy ₂ , ..., a _s jelentése egész szám, GCD ( egy ₁ , egy ₂ , ..., egy _s , n ) = 1.

Fejes Tóth László

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq m} {\ gcd (k, m) = 1}} \ gcd (k^{2} -1, m_ {1}) \ gcd (k ^{2} -1, m_ {2}) = \ varphi (n) \ sum _ {\ stackrel {d_ {1} \ m m_ {1}} {d_ {2} \ m_ közepén {2}}} \ varphi (\ gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2^{\ omega (\ operatornév {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))}},}$

ahol m ₁ és m ₂ páratlan, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ).

Valójában, ha f bármilyen számtani függvény

${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} f (\ gcd (k-1, n)) = \ varphi (n) \ összeg _ {d \ mid n} {\ frac {(\ mu *f) (d)} {\ varphi (d)}},}$

ahol * a Dirichlet -konvolúciót jelenti.

Vegyes

Legyen m és n különálló, páratlan és pozitív. Ekkor a Jacobi szimbólum kielégíti a másodfokú viszonosság törvényét :

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) = (-1)^{(m-1) (n- 1)/4}.}$    

Legyen D ( n ) a számtani derivált. Ezután a logaritmikus derivált

${\ displaystyle {\ frac {D (n)} {n}} = \ sum _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} {\ frac {v_ {p} (n )} {p}}}$

Legyen λ ( n ) Liouville függvénye. Azután

${\ displaystyle | \ lambda (n) | \ mu (n) = \ lambda (n) | \ mu (n) | = \ mu (n),}$     és

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mu (n) = | \ mu (n) | = \ mu ^{2} (n).}$    

Legyen λ ( n ) Carmichael függvénye. Azután

${\ displaystyle \ lambda (n) \ mid \ phi (n).}$     További,

${\ displaystyle \ lambda (n) = \ phi (n) {\ text {ha és csak akkor}} n = {\ begin {case} 1,2,4; \\ 3,5,7,9,11, \ ldots {\ text {(azaz}} p^{k} {\ text {, ahol}} p {\ text {páratlan prím)}}; \\ 6,10,14,18, \ ldots {\ text {(vagyis}} 2p^{k} {\ text {, ahol}} p {\ text {páratlan prím)}}. \ end {tokok}}}$

Lásd: modulo n és Primitive root modulo n egész számok többszörös csoportja .  

${\ displaystyle 2^{\ omega (n)} \ leq d (n) \ leq 2^{\ Omega (n)}.}$    

${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^{2}}} <{\ frac {\ phi (n) \ sigma (n)} {n ^{2}}} <1.}$    

${\ displaystyle {\ begin {aligned} c_ {q} (n) & = {\ frac {\ mu \ left ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ jobb)} {\ phi \ bal ({\ frac {q} {\ gcd (q, n)}} \ jobb)}} \ phi (q) \\ & = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (q, n)} \ mu \ bal ({\ frac {q} {\ delta}} \ jobb) \ delta. \ end {igazítva}}}$         Vegye figyelembe, hogy  ${\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {\ delta \ mid q} \ mu \ left ({\ frac {q} {\ delta}} \ right) \ delta.}$    

${\ displaystyle c_ {q} (1) = \ mu (q).}$

${\ displaystyle c_ {q} (q) = \ phi (q).}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ delta \ mid n} d^{3} (\ delta) = \ left (\ sum _ {\ delta \ mid n} d (\ delta) \ right)^{2}.}$       Hasonlítsa össze ezt az 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\ displaystyle d (uv) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ mu (\ delta) d \ left ({\ frac {u} {\ delta}} \ jobb) d \ balra ({\ frac {v} {\ delta}} \ jobbra).}$    

${\ displaystyle \ sigma _ {k} (u) \ sigma _ {k} (v) = \ összeg _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^{k} \ sigma _ {k} \ bal ({\ frac {uv} {\ delta ^{2}}} \ jobb).}$    

${\ displaystyle \ tau (u) \ tau (v) = \ sum _ {\ delta \ mid \ gcd (u, v)} \ delta ^{11} \ tau \ left ({\ frac {uv} {\ delta ^{2}}} \ ugye),}$     ahol τ ( n ) Ramanujan függvénye.    

Néhány számtani függvény első 100 értéke

n	faktorizáció	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )
1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	1	4	6	8
2	2	1	1	1	−1	−1	0,69	1	2	3	5	4	12	24
3	3	2	1	1	−1	−1	1.10	2	2	4	10	0	8	32
4	2 2	2	1	2	1	0	0,69	2	3	7	21	4	6	24
5	5	4	1	1	−1	−1	1.61	3	2	6	26	8	24	48
6	2 · 3	2	2	2	1	1	0	3	4	12	50	0	24	96
7	7	6	1	1	−1	−1	1,95	4	2	8	50	0	0	64
8	2 3	4	1	3	−1	0	0,69	4	4	15	85	4	12	24
9	3 2	6	1	2	1	0	1.10	4	3	13	91	4	30	104
10	2, 5	4	2	2	1	1	0	4	4	18	130	8	24	144
11	11	10	1	1	−1	−1	2.40	5	2	12	122	0	24	96
12	2 2 · 3	4	2	3	−1	0	0	5	6	28	210	0	8	96
13	13	12	1	1	−1	−1	2.56	6	2	14	170	8	24	112
14	2 · 7	6	2	2	1	1	0	6	4	24	250	0	48	192
15	3, 5	8	2	2	1	1	0	6	4	24	260	0	0	192
16	2 4	8	1	4	1	0	0,69	6	5	31	341	4	6	24
17	17	16	1	1	−1	−1	2.83	7	2	18	290	8	48	144
18	2 · 3 2	6	2	3	−1	0	0	7	6	39	455	4	36	312
19	19	18	1	1	−1	−1	2.94	8	2	20	362	0	24	160
20	2 2 · 5	8	2	3	−1	0	0	8	6	42	546	8	24	144
21	3 · 7	12	2	2	1	1	0	8	4	32	500	0	48	256
22	2 · 11	10	2	2	1	1	0	8	4	36	610	0	24	288
23	23	22	1	1	−1	−1	3.14	9	2	24	530	0	0	192
24	2 3 · 3	8	2	4	1	0	0	9	8	60	850	0	24	96
25	5 2	20	1	2	1	0	1.61	9	3	31	651	12	30	248
26	2 · 13	12	2	2	1	1	0	9	4	42	850	8	72	336
27	3 3	18	1	3	−1	0	1.10	9	4	40	820	0	32	320
28	2 2 · 7	12	2	3	−1	0	0	9	6	56	1050	0	0	192
29	29	28	1	1	−1	−1	3.37	10	2	30	842	8	72	240
30	2, 3, 5	8	3	3	−1	−1	0	10	8	72	1300	0	48	576
31	31	30	1	1	−1	−1	3.43	11	2	32	962	0	0	256
32	2 5	16	1	5	−1	0	0,69	11	6	63	1365	4	12	24
33	3 · 11	20	2	2	1	1	0	11	4	48	1220	0	48	384
34	2 · 17	16	2	2	1	1	0	11	4	54	1450	8	48	432
35	5 · 7	24	2	2	1	1	0	11	4	48	1300	0	48	384
36	2 2 3 2	12	2	4	1	0	0	11	9	91	1911	4	30	312
37	37	36	1	1	−1	−1	3.61	12	2	38	1370	8	24	304
38	2 · 19	18	2	2	1	1	0	12	4	60	1810	0	72	480
39	3 · 13	24	2	2	1	1	0	12	4	56	1700	0	0	448
40	2 3 · 5	16	2	4	1	0	0	12	8	90	2210	8	24	144
41	41	40	1	1	−1	−1	3.71	13	2	42	1682	8	96	336
42	2 · 3 · 7	12	3	3	−1	−1	0	13	8	96	2500	0	48	768
43	43	42	1	1	−1	−1	3.76	14	2	44	1850	0	24	352
44	2 2 · 11	20	2	3	−1	0	0	14	6	84	2562	0	24	288
45	3 2 · 5	24	2	3	−1	0	0	14	6	78	2366	8	72	624
46	2 · 23	22	2	2	1	1	0	14	4	72	2650	0	48	576
47	47	46	1	1	−1	−1	3,85	15	2	48	2210	0	0	384
48	2 4 · 3	16	2	5	−1	0	0	15	10	124	3410	0	8	96
49	7 2	42	1	2	1	0	1,95	15	3	57	2451	4	54	456
50	2 5 2	20	2	3	−1	0	0	15	6	93	3255	12	84	744
51	3 · 17	32	2	2	1	1	0	15	4	72	2900	0	48	576
52	2 2 · 13	24	2	3	−1	0	0	15	6	98	3570	8	24	336
53	53	52	1	1	−1	−1	3.97	16	2	54	2810	8	72	432
54	2 3 3	18	2	4	1	0	0	16	8	120	4100	0	96	960
55	5 · 11	40	2	2	1	1	0	16	4	72	3172	0	0	576
56	2 3 · 7	24	2	4	1	0	0	16	8	120	4250	0	48	192
57	3 · 19	36	2	2	1	1	0	16	4	80	3620	0	48	640
58	2 · 29	28	2	2	1	1	0	16	4	90	4210	8	24	720
59	59	58	1	1	−1	−1	4.08	17	2	60	3482	0	72	480
60	2 2 · 3 · 5	16	3	4	1	0	0	17	12	168	5460	0	0	576
61	61	60	1	1	−1	−1	4.11	18	2	62	3722	8	72	496
62	2 · 31	30	2	2	1	1	0	18	4	96	4810	0	96	768
63	3 2 · 7	36	2	3	−1	0	0	18	6	104	4550	0	0	832
64	2 6	32	1	6	1	0	0,69	18	7	127	5461	4	6	24
65	5 · 13	48	2	2	1	1	0	18	4	84	4420	16	96	672
66	2 · 3 · 11	20	3	3	−1	−1	0	18	8	144	6100	0	96	1152
67	67	66	1	1	−1	−1	4.20	19	2	68	4490	0	24	544
68	2 2 · 17	32	2	3	−1	0	0	19	6	126	6090	8	48	432
69	3 · 23	44	2	2	1	1	0	19	4	96	5300	0	96	768
70	2, 5, 7	24	3	3	−1	−1	0	19	8	144	6500	0	48	1152
71	71	70	1	1	−1	−1	4.26	20	2	72	5042	0	0	576
72	2 3 · 3 2	24	2	5	−1	0	0	20	12	195	7735	4	36	312
73	73	72	1	1	−1	−1	4.29	21	2	74	5330	8	48	592
74	2 · 37	36	2	2	1	1	0	21	4	114	6850	8	120	912
75	3 · 5 2	40	2	3	−1	0	0	21	6	124	6510	0	56	992
76	2 2 · 19	36	2	3	−1	0	0	21	6	140	7602	0	24	480
77	7 · 11	60	2	2	1	1	0	21	4	96	6100	0	96	768
78	2 · 3 · 13	24	3	3	−1	−1	0	21	8	168	8500	0	48	1344
79	79	78	1	1	−1	−1	4.37	22	2	80	6242	0	0	640
80	2 4 · 5	32	2	5	−1	0	0	22	10	186	8866	8	24	144
81	3 4	54	1	4	1	0	1.10	22	5	121	7381	4	102	968
82	2 · 41	40	2	2	1	1	0	22	4	126	8410	8	48	1008
83	83	82	1	1	−1	−1	4.42	23	2	84	6890	0	72	672
84	2 2 · 3 · 7	24	3	4	1	0	0	23	12	224	10500	0	48	768
85	5 · 17	64	2	2	1	1	0	23	4	108	7540	16	48	864
86	2 · 43	42	2	2	1	1	0	23	4	132	9250	0	120	1056
87	3 · 29	56	2	2	1	1	0	23	4	120	8420	0	0	960
88	2 3 · 11	40	2	4	1	0	0	23	8	180	10370	0	24	288
89	89	88	1	1	−1	−1	4.49	24	2	90	7922	8	144	720
90	2 3 2 5	24	3	4	1	0	0	24	12	234	11830	8	120	1872
91	7 · 13	72	2	2	1	1	0	24	4	112	8500	0	48	896
92	2 2 · 23	44	2	3	−1	0	0	24	6	168	11130	0	0	576
93	3 · 31	60	2	2	1	1	0	24	4	128	9620	0	48	1024
94	2 · 47	46	2	2	1	1	0	24	4	144	11050	0	96	1152
95	5 · 19	72	2	2	1	1	0	24	4	120	9412	0	0	960
96	2 5 · 3	32	2	6	1	0	0	24	12	252	13650	0	24	96
97	97	96	1	1	−1	−1	4.57	25	2	98	9410	8	48	784
98	2 · 7 2	42	2	3	−1	0	0	25	6	171	12255	4	108	1368
99	3 2 · 11	60	2	3	−1	0	0	25	6	156	11102	0	72	1248
100	2 2 · 5 2	40	2	4	1	0	0	25	9	217	13671	12	30	744
n	faktorizáció	𝜙 ( n )	ω ( n )	Ω ( n )	𝜆 ( n )	𝜇 ( n )	𝜆 ( n )	π ( n )	𝜎 0 ( n )	𝜎 1 ( n )	𝜎 2 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )

Megjegyzések

Hivatkozások

• Tom M. Apostol (1976), Bevezetés az analitikus számelméletbe , Springer egyetemi szövegek a matematikában , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2. kiadás) , New York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
• Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Analitikus számelmélet, bevezetés , World Scientific , ISBN 978-981-238-938-1
• Cohen, Henri (1993), A kurzus a számítási algebrai számelméletben , Berlin: Springer , ISBN 3-540-55640-0
• Edwards, Harold (1977). Fermat utolsó tétele . New York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.
• Hardy, GH (1999), Ramanujan: Tizenkét előadás az élete és munkája által javasolt témákról , Providence RI: AMS / Chelsea, hdl : 10115/1436 , ISBN 978-0-8218-2023-0
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. Bevezetés a számelméletbe (5. kiadás). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0. MR  0568909 . Zbl  0423.10001 .
• Jameson, GJO (2003), A prímszám tétel , Cambridge University Press, ISBN 0-521-89110-8
• Koblitz, Neal (1984), Bevezetés az elliptikus görbékbe és a moduláris formákba , New York: Springer, ISBN 0-387-97966-2
• Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory , New York: Chelsea
• William J. LeVeque (1996), A számelmélet alapjai , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-68906-9
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. kiadás), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Elliott Mendelson (1987), Bevezetés a matematikai logikába , CRC Press, ISBN 0-412-80830-7
• Nagell, Trygve (1964), Bevezetés a számelméletbe (2. kiadás) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
• Niven, Ivan M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), Bevezetés a számelméletbe (3. kiadás) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
• Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), A számelmélet elemei , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Williams, Kenneth S. (2011), Számelmélet Liouville szellemében , London Mathematical Society Student Texts, 76 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl  1227.11002

További irodalom

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Aritmetikai függvények. Bevezetés az aritmetikai függvények elemi és elemző tulajdonságaiba, valamint néhány szinte periodikus tulajdonságukba , London Mathematical Society Lecture Note Series, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

Külső linkek

• "Aritmetikai függvény" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Euler totális függvényének újabb általánosítása
• Huard, Ou, Spearman és Williams. Osztófunkciókat magában foglaló bizonyos konvolúciós összegek elemző értékelése
• Dineva, Rosica, Az Euler Totient, a Möbius és az osztó funkciók
• Tóth László, Menon azonossága és számtani összegek, amelyek több változó függvényeit ábrázolják